Stereometria – podstawowe definicje, klasyfikacja

Stereometria – podstawowe definicje, klasyfikacja brył
Stereometria jest działem geometrii zajmującym się badaniem figur geometrycznych w przestrzeni.
W celu zrozumienia wszystkich pojęć związanych ze stereometrią należy na początku podać kilka podstawowych definicji:
1. Proste w przestrzeni:
Prostą w przestrzeni można wyznaczyć jako krawędź przecięcia się dwóch płaszczyzn i dwie proste mogą:
- pokrywać się,
- przecinać się w jednym punkcie,
- mogą należeć do jednej płaszczyzny i nie mieć punktów wspólnych;
- mogą nie należeć do jednej płaszczyzny – nazywamy je wtedy prostymi skośnymi.
2. Kąt między prostą a płaszczyzną:
Kątem między prostą k a płaszczyzną nazywamy kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym k’ na tę płaszczyznę.
Prosta k jest prostopadła do płaszczyzny p jeżeli jest prostopadła do każdej prostej zawartej w płaszczyźnie przechodzącej przez
wspólny prostej k i płaszczyzny p. Prosta k jest prostopadła do płaszczyzny p wtedy i tylko wtedy gdy jest prostopadła do dwóch
różnych prostych zawartych w płaszczyźnie p.
3. Kąt miedzy płaszczyznami
a) płaszczyzny które nie są równoległe nazywamy przecinającymi się. Częścią wspólną dwóch przecinających się płaszczyzn jest
prosta zwana krawędzią przecięcia płaszczyzn
b) dwie płaszczyzny nazywamy prostopadłymi jeżeli
istnieje taka prosta, która zawiera się w jednej z tych
płaszczyzn i jest prostopadła do drugiej płaszczyzny
c) kątem dwuściennym nazywamy zbiór złożony z dwóch
półpłaszczyzn o wspólnej krawędzi i jednej z dwóch
figur wyciętych z przestrzeni przez sumę tych
półpłaszczyzn
kątem liniowym kąta dwuściennego nazywamy kąt płaski
otrzymany w wyniku przecięcia kąta dwuściennego
płaszczyzną prostopadłą do jego krawędzi,
miarą kąta dwuściennego nazywamy miarę jego kąta
liniowego.
Wielościany
Wielościanem nazywamy część przestrzeni ograniczonej prze powierzchnię złożoną z wielokątów. Wielokąty te nazywamy ścianami
wielościanu, a wierzchołki – wierzchołkami wielościanu, odcinki łączące dwa dowolne wierzchołki, które nie są krawędziami nazywamy
przekątnymi, reasumując:
- ścianą wielościanu wypukłego nazywamy taki wielokąt, który jest częścią wspólną płaszczyzny i brzegu wielościanu;
- krawędzią wielościanu nazywamy bok jego ściany;
- wierzchołkiem wielościanu nazywamy wierzchołek jego ściany;
- pole powierzchni wielościanu równe jest sumie pól wszystkich jego ścian.
Twierdzenie Eulera
Jeżeli wielościan wypukły ma w wierzchołków, k krawędzi i s ścian, to: w - k + s = 2.
Wielościany foremne
Wielościanem foremnym nazywamy wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami
foremnymi i wszystkie kąty dwuścienne wyznaczone przez ściany są równe.
Liczba wielokątów foremnych jest ściśle określona, co wynika z własności kąta bryłowego (część przestrzeni
trójwymiarowe ograniczona przez wszystkie półproste wychodzące z pewnego ustalonego punktu (wierzchołek kąta
bryłowego) i przechodzące przez pewną ustaloną krzywą zamkniętą Jeśli weźmiemy sferę o promieniu r i środku
w wierzchołku danego kąta bryłowego, to wartość kąta bryłowego możemy wyrazić wzorem: Ω = S / r², gdzie S jest polem
powierzchni wyciętej ze sfery przez proste. Jednostką miary kąta bryłowego w układzie SI jest steradian (sr).
Łatwo zauważyć, że największą wartość jaką może mieć jakikolwiek kąt bryłowy to 4π, czyli kąt bryłowy wyznaczony
przez sferę).
Z powyższego wynika, że suma wszystkich kątów płaskich kąta bryłowego musi być mniejsza od 360°, czyli:
a) trójkątów można zbudować trzy wielościany foremne, gdzie z jednego wierzchołka mogą wychodzić:
- 3 krawędzie (60° × 3 = 180° < 360°)
- 4 krawędzie (60° × 4 = 240° < 360°)
- 5 krawędzi (60° × 5 = 300° < 360°).
b) kwadratów składać się może tylko jeden wielościan (3 × 90° = 270°);
c) pięciokątów foremnych składać się może również tylko jeden, gdyż kąt pięciokąta foremnego ma miarę 108°
(3 × 108° < 360°);
Z sześciokątów, ani tym bardziej z wielokątów o większej liczbie boków, wielościanu foremnego zbudować się nie da.
Nazwa wielokąta
Czworościan (tetraedr)
L  6a
P  a2 3
V 
Sześcian (heksaedr)
Ośmiościan (oktaedr)
Własności
Podstawowe wzory
(suma długości krawędzi)
2 2
a
12
4 ściany trójkątne,
4 wierzchołki,
6 krawędzi.
L  12a (suma długości krawędzi)
P  6a 2
V  a3
d a 3
6 ścian kwadratowych,
8 wierzchołków,
12 krawędzi.
L  12a (suma długości krawędzi)
P  2a 2 3
8 ścian trójkątnych,
6 wierzchołków,
12 krawędzi.
V 
2 3
a
3
Dwunastościan (dodekaedr)
L  12a (suma długości krawędzi)
P  15( 5  2)a 2
V 
Dwudziestościan (ikosaedr)
15  7 5 3
a
4
L  30a (suma długości krawędzi)
P  5 3a 2
V 
5(3  5 ) 3
a
12
12 ścian pięciokątnych,
20 wierzchołków,
30 krawędzi.
20 ścian trójkątnych,
12 wierzchołków,
30 krawędzi.
Klasyfikacja graniastosłupów
Graniastosłup to wielościan, którego wszystkie wierzchołki są położone na dwóch równoległych płaszczyznach zwanych podstawami
graniastosłupa i którego wszystkie krawędzie leżące poza tymi podstawami są do siebie równoległe;
-
wysokość graniastosłupa to odległość między jego podstawami;
przekątną graniastosłupa nazywamy każdy odcinek, którego końcami są wierzchołki obu podstaw graniastosłupa i który nie zawiera się
w żadnej ze ścian graniastosłupa.
przekrojem graniastosłupa nazywamy część wspólną graniastosłupa i płaszczyzny (przekrój poprzeczny - płaszczyzna przecina
wszystkie krawędzie boczne, przekrój przekątny – płaszczyzna przechodzi przez dwie krawędzie nie należące do jednej ściany).
Klasyfikacja graniastosłupów:
1. Graniastosłup prosty to graniastosłup o prostokątnych ścianach bocznych.
Pole całkowite: Pc  2 Pp  nPb , gdzie n  N 3 i oznacza liczbę ścian bocznych ;
Objętość: V  Pp  H , gdzie Pp to powierzchnia podstawy a H to wysokość graniastosłupa.
2. Graniastosłup prosty prawidłowy to graniastosłup prosty o podstawach będących wielokątami foremnymi.
Wzory dotyczące pola całkowitego i objętości są budowane na kanwie wzorów dot. graniastosłupów prostych;
3. Graniastosłup archimedesowy to graniastosłup o krawędzi podstawy tej samej długości co wysokość. Taki graniastosłup jest wielościanem
półforemnym czyli archimedesowym.
4. Graniastosłup pochyły to graniastosłup, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw.
Szczególnym przypadkiem graniastosłupa jest prostopadłościan.
Graniastosłup prosty, którego podstawy są prostokątami nazywamy prostopadłościanem.
a, b - krawędzie podstawy
c - krawędź boczna
d - przekątna prostopadłościanu
Prostopadłościan ma trzy wymiary: długość, szerokość i wysokość (a, b, c).
Każdy prostopadłościan ma 6 ścian (4 ściany boczne i 2 podstawy), 8 wierzchołków i 12 krawędzi.
Pole powierzchni całkowitej: Pc = 2ab + 2bc + 2ac
Objętość prostopadłościanu: V = abc
Długość przekątnej prostopadłościanu o krawędziach długości a, b i c: d  a 2  b 2  c 2
Cechy sześcianu, który jest szczególnym przypadkiem prostopadłościanu zostały omówione w trakcie omawiania wielościanów foremnych, do
których należy ta bryła.
Pojęcie ostrosłupa oraz wybrane zadania dot. ostrosłupów
Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą ostrosłupa, jest dowolnym wielokątem,
a pozostałe ściany, nazywane ścianami bocznymi ostrosłupa, są trójkątami o wspólnym wierzchołku.
Wspólny wierzchołek ścian bocznych ostrosłupa nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa.
Rzut prostokątny wierzchołka ostrosłupa na płaszczyznę podstawy nazywamy spodkiem wysokości
ostrosłupa.
Wysokością ostrosłupa nazywamy odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa ze spodkiem wysokości
ostrosłupa.
Ostrosłup, którego podstawa jest n-kątem nazywamy ostrosłupem n- kątnym.
Sumę wszystkich ścian bocznych ostrosłupa nazywamy powierzchnią boczną graniastosłupa.
Sumę powierzchni bocznej i podstawy ostrosłupa nazywamy powierzchnią całkowitą ostrosłupa.
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa o polu podstawy Pp i polu powierzchni bocznej Pb jest równe: Pc = Pb + Pp
Objętość ostrosłupa o polu podstawy Pp i wysokości h jest równa: V 
1
Pp  H
3
Inne cechy ostrosłupa
-
przekrojem ostrosłupa nazywamy część wspólną ostrosłupa i płaszczyzny (przekrój poprzeczny - płaszczyzna przecina wszystkie
krawędzie boczne, przekrój przekątny - płaszczyzna przechodzi przez dwie krawędzie nie należące do jednej ściany).
ostrosłup nazywamy ostrosłupem prawidłowym, gdy jego podstawą jest wielokąt foremny i spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem
okręgu opisanego na podstawie.
Jeżeli ostrosłup jest prawidłowy, to:
- wszystkie jego krawędzie boczne są równe,
- wszystkie kąty nachylenia krawędzi bocznych do płaszczyzny podstawy mają równe miary,
- wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.
Wybrane przykłady ostrosłupów:
Ostrosłup
trójkątny
Ostrosłup czworokątny
Ostrosłup pięciokątny
Kąty w ostrosłupie
Kąty w ostrosłupie zostaną przedstawione na przykładzie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, czyli takiego, który posiada trójkąt
równoboczny:


S
- kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy
- kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
- spodek wysokości
Bryły obrotowe
Powierzchnią obrotową otrzymaną w wyniku obrotu krzywej płaskiej C wokół prostej k, zawartej w płaszczyźnie zawierającą
krzywą C, nazywamy zbiór wszystkich punktów przestrzeni, będących obrazami punktów krzywej C w obrotach wokół prostej k o kąty
o mierze α, gdzie 0° < α < 360°.
Figurą obrotową otrzymaną w wyniku obrotu figury płaskiej f wokół prostej k, zawartej w płaszczyźnie zawierającą figurę f,
nazywamy zbiór wszystkich punktów przestrzeni, będących obrazami punktów figurę f w obrotach wokół prostej k o kąty o mierze α,
gdzie 0° < α < 360°.
Bryłą obrotową nazywamy figurę obrotową ograniczoną, domkniętą, mającą co najmniej jeden punkt wewnętrzny.
Do podstawowych brył obrotowych zaliczamy
a) walce,
b) stożki;
c) kule
Walec
Walec obrotowy (walec) jest bryłą obrotową powstałą przez obrót prostokąta wokół prostej zawierającej
jeden bok (oś walca).
Cechy walca
podstawą walca nazywamy każde z kół powstałych przez obrót boków prostopadłych do osi obrotu;
wysokością walca nazywamy dowolny odcinek o końcach należących do podstaw walca
i prostopadły do tych podstaw,
- powierzchnią boczną walca nazywamy powierzchnię obrotową powstałą przez obrót boku
prostokąta równoległego do osi obrotu i rozłącznego z osią obrotu,
- tworzącą walca nazywamy każdy odcinek zawarty w powierzchni bocznej walca o końcach
należących do jego podstaw,
- przekrojem osiowym walca nazywamy część wspólną walca i płaszczyzny zawierającej oś walca.
Jeżeli promień podstawy walca wynosi r, wysokość h, to: pole powierzchni bocznej walca:
Pb = 2πrh
pole powierzchni całkowitej walca:
Pc = 2πr(r + h)
2
objętość walca: V = π r h
-
Stożek
Stożek obrotowy (stożek) jest bryłą obrotową powstałą przez obrót trójkąta prostokątnego wokół prostej
zawierającej przyprostokątną tego trójkąta (oś stożka).
Cechy stożka
-
podstawą stożka nazywamy koło powstałe przez obrót przyprostokątnej prostopadłej do osi stożka,
wysokością stożka nazywamy przyprostokątną trójkąta zawartą w osi obrotu,
powierzchnią boczną stożka nazywamy powierzchnię wyznaczoną przez obrót przeciwprostokątnej trójkąta,
część wspólna osi obrotu i powierzchni bocznej stożka jest punktem, który nazywamy wierzchołkiem stożka,
tworzącą stożka nazywamy każdy odcinek zawarty w powierzchni bocznej stożka, którego
jednym końcem jest wierzchołek stożka, a drugi należy do podstawy stożka,
przekrojem osiowym stożka nazywamy część wspólną stożka i płaszczyzny zawierającej oś stożka.
Jeżeli promień podstawy walca wynosi r, wysokość h, tworząca l to: pole powierzchni bocznej stożka: Pb    r  l
pole powierzchni całkowitej stożka: Pb    r r  l 
1
objętość stożka: V    r 2  h
3
Kula
Kula jest bryłą obrotową powstałą przez obrót koła wokół osi zawartej w płaszczyźnie koła i do której
należy środek koła
Cechy stożka
-
Jeżeli promień kuli wynosi r to:
środek koła obracanego jest środkiem kuli, a promień koła obracanego - promieniem kuli,
obrót okręgu ograniczonego koło tworzy powierzchnie obrotową, którą nazywamy sferą lub
powierzchnią kuli. Sfera jest figurą obrotową, ale nie jest bryłą obrotową.
przekrojem kuli nazywamy część wspólną płaszczyzny i kuli. Przekrój kuli, do którego należy
środek kuli nazywamy kołem wielkim.
pole powierzchni kuli (sfery):
4
objętość kuli: V    r 3
3
P  4  r 2
Wzajemne położenie kuli i innych brył:
a) wielościan jest wpisany w kulę wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego wierzchołki należą do sfery tej kuli,
opisany na kuli wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego ściany są styczne do kuli,
b) walec jest wpisany w kulę wtedy i tylko wtedy, gdy okręgi jego podstaw są zawarte w sferze kuli,
opisany na kuli wtedy i tylko wtedy, gdy jego podstawy i tworzące są styczne do kuli,
c) stożek jest wpisany w kulę wtedy i tylko wtedy, gdy okrąg jego podstawy jest zawarty w sferze kuli i wierzchołek należy do sfery,
opisany na kuli wtedy i tylko wtedy, gdy jego podstawa i tworzące są styczne do kuli.