liga zadaniowa rozwiązania zadań z marca

LIGA ZADANIOWA
ROZWIĄZANIA ZADAŃ Z MARCA
Zad. 1.
Liczbę nazywamy palindromiczną, jeśli nie zmienia wartości czytana wprzód w wspak.
Kiedy po raz pierwszy w XXI wieku zdarzyło się święto palindromu, kiedy godzina i data
(zapisane w formacie gg mm dd mm rrrr) stanowiły zapis dziesiętny liczby
palindromicznej? A kiedy zdarzy się najbliższe takie święto?
Zad. 2.
Ile dzielników ma liczba 11 · 22 ·... · 1010?
Zad. 3.
Janek rzuca 3 razy ośmiościenną kostką do gry i mnoży liczbę oczek otrzymanych w
każdym z rzutów. Ile różnych wyników nieparzystych może uzyskać?
Odpowiedzi:
Zad. 1.
Należy pamiętać, że wiek XXI zaczął się 1 stycznia 2001 roku. W XXI wieku
święto takie zdarzyło się po raz pierwszy o godzinie 10:02 dnia 10 stycznia 2001
roku (100210012001). A najbliższe takie święto przypada na godzinę 02:02 dnia 10
stycznia 2020 roku (020210012020), jednak nie jest to zapis dziesiętny liczby,
dlatego poprawną odpowiedzią jest godzina 12:02 dnia 10 stycznia 2021 roku
(120210012021).
Zad. 2.
Daną liczbę tę można zapisać jako 11 · 22 · 33 · 28 · 55 · 26 · 36 · 77 · 224 · 318 · 210 ·
510 = 250 · 327 · 515 · 77. Tworząc dzielniki możemy wybrać dwójkę w dowolnej
potędze od 0 do 50 (co daje 51 możliwości), trójkę w dowolnej potędze od 0 do 27
(co daje 28 możliwości), piątkę w dowolnej potędze od 0 do 15 i siódemkę w
potędze od 0 do 7. Wszystkich możliwych sposób utworzenia dzielnika danej liczby
jest zatem 51·28·16·8 = 182 784.
Zad. 3.
Janek może uzyskać 20 różnych wyników. Aby iloczyn był nieparzysty, każdy czynnik
musi być nieparzysty, więc należy rozważyć wszystkie możliwe iloczyny trzech liczb
spośród 1, 3, 5 i 7 z możliwością powtarzania czynników. Cztery iloczyny wykorzystują
jedną liczbę (1·1·1, 3·3·3, 5·5·5 i 7·7·7) i cztery wykorzystują trzy liczby (1·3·5, 1·3·7,
1·5·7 i 3·5·7). Pozostają iloczyny wykorzytujące 2 liczby. Takich par liczb jest sześć (1-3,
1-5, 1-7, 3-5, 3-7, 5-7), a więc możliwych iloczynów jest 12, bo każda liczba w parze
moze się powtórzyć (1·1·3, 1·3·3, 1·1·5 i 1·5·5 itd). Zatem możliwych iloczynów jest
4+4+12 = 20. Bez obliczania tych iloczynów wiadomo, że każdy daje inny wynik, bo
rozkład liczby na czynniki pierwsze jest jednoznaczny.