Tajemnice liczb pierwszych

advertisement
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Tajemnice liczb pierwszych
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Barbara Roszkowska-Lech
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Warszawa, 29 maja 2010
Tajemnice liczb
pierwszych
Razem z ojcami, którzy nas spłodzili
pochwalmy teraz liczby pierwsze:
Ich moc, ich przedziwna sława
stąd płynie, że ich nikt nie płodził:
Nie mają przodków i czynników,
Adamowie wśród mnożących się pokoleń.
(Helen Spalding)
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Definicja liczb pierwszych
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Liczbę naturalną p większą od 1
nazywamy liczbą pierwszą, jeśli ma
ona tylko dwa dzielniki 1 i p.
Tajemnice, tajemnice....pytania
Podstawowe twierdzenie arytmetyki
Twierdzenie
Każda liczba naturalna n > 1 może być przedstawiona w
postaci iloczynu liczb pierwszych. Przedstawienia takie są
jednoznaczne z dokładnością do kolejności czynników.
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Przykład
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Podstawowe twierdzenie arytmetyki
Twierdzenie
Każda liczba naturalna n > 1 może być przedstawiona w
postaci iloczynu liczb pierwszych. Przedstawienia takie są
jednoznaczne z dokładnością do kolejności czynników.
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Przykład
2183
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Podstawowe twierdzenie arytmetyki
Twierdzenie
Każda liczba naturalna n > 1 może być przedstawiona w
postaci iloczynu liczb pierwszych. Przedstawienia takie są
jednoznaczne z dokładnością do kolejności czynników.
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Przykład
2183 = 37 ⋅ 59
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Podstawowe twierdzenie arytmetyki
Twierdzenie
Każda liczba naturalna n > 1 może być przedstawiona w
postaci iloczynu liczb pierwszych. Przedstawienia takie są
jednoznaczne z dokładnością do kolejności czynników.
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Przykład
2183 = 37 ⋅ 59
7563371
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Podstawowe twierdzenie arytmetyki
Twierdzenie
Każda liczba naturalna n > 1 może być przedstawiona w
postaci iloczynu liczb pierwszych. Przedstawienia takie są
jednoznaczne z dokładnością do kolejności czynników.
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Przykład
2183 = 37 ⋅ 59
7563371 = 3761 ⋅ 2011.
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Twierdzenie (Euklides)
Jest więcej liczb pierwszych, niż każda dana liczba
(skończona) liczb pierwszych.
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Twierdzenie (Euklides)
Jest więcej liczb pierwszych, niż każda dana liczba
(skończona) liczb pierwszych.
Dowód.
▶
Niech A = {p1 , p2 , ..., pn } będzie niepustym,
skończonym zbiorem liczb pierwszych.
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Twierdzenie (Euklides)
Jest więcej liczb pierwszych, niż każda dana liczba
(skończona) liczb pierwszych.
Dowód.
▶
Niech A = {p1 , p2 , ..., pn } będzie niepustym,
skończonym zbiorem liczb pierwszych.
▶
Niech m = p1 ⋅ p2 ⋅ . . . ⋅ pn + 1.
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Twierdzenie (Euklides)
Jest więcej liczb pierwszych, niż każda dana liczba
(skończona) liczb pierwszych.
Dowód.
▶
Niech A = {p1 , p2 , ..., pn } będzie niepustym,
skończonym zbiorem liczb pierwszych.
▶
Niech m = p1 ⋅ p2 ⋅ . . . ⋅ pn + 1.
▶
Liczba m ma rozkład na czynniki pierwsze, w którym
występuje co najmniej jedna liczba pierwsza q.
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Twierdzenie (Euklides)
Jest więcej liczb pierwszych, niż każda dana liczba
(skończona) liczb pierwszych.
Dowód.
▶
Niech A = {p1 , p2 , ..., pn } będzie niepustym,
skończonym zbiorem liczb pierwszych.
▶
Niech m = p1 ⋅ p2 ⋅ . . . ⋅ pn + 1.
▶
Liczba m ma rozkład na czynniki pierwsze, w którym
występuje co najmniej jedna liczba pierwsza q.
▶
Liczba q jest pierwsza i q dzieli m.
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Twierdzenie (Euklides)
Jest więcej liczb pierwszych, niż każda dana liczba
(skończona) liczb pierwszych.
Dowód.
▶
Niech A = {p1 , p2 , ..., pn } będzie niepustym,
skończonym zbiorem liczb pierwszych.
▶
Niech m = p1 ⋅ p2 ⋅ . . . ⋅ pn + 1.
▶
Liczba m ma rozkład na czynniki pierwsze, w którym
występuje co najmniej jedna liczba pierwsza q.
▶
Liczba q jest pierwsza i q dzieli m.
▶
Liczba q nie może być elementem zbioru A, bo dla
każdego i liczba m daje resztę 1 z dzielenia przez pi .
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Skąd przybywają - nie wie nikt.
Nie rezerwują sobie miejsc
wsród innych naturalnych liczb:
przychodzą nieoczekiwane.
Jak niezwykli papieże
stoją w nieskończonym sznurze kardynałów.
Każda z nich absolutna, zagadkowa,
z własnego nadania.
(Helen Spalding)
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jak rozpoznać czy liczba naturalna jest pierwsza?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Każda liczba złożona n ma dzielnik
√
≤ n.
Tajemnice, tajemnice....pytania
Sito Eratostenesa
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
play/pause
Lista 500 pierwszych liczb pierwszych
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jak bardzo nieskończony jest zbiór liczb
pierwszych?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jak bardzo nieskończony jest zbiór liczb
pierwszych?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jak bardzo nieskończony jest zbiór liczb
pierwszych?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jak bardzo nieskończony jest zbiór liczb
pierwszych?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jak bardzo nieskończony jest zbiór liczb
pierwszych?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Suma
∑1
n
jest nieskończona.
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jak bardzo nieskończony jest zbiór liczb
pierwszych?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Suma
∑1
n
jest nieskończona.
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
∑1
n
=
∏
p∈P
1
1−
1
p
Jak bardzo nieskończony jest zbiór liczb
pierwszych?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Twierdzenie (Euler)
Suma
1
p∈P p
∑
jest nieskończona.
Tajemnice, tajemnice....pytania
Czy zawsze suma nieskończenie wielu składników
jest nieskończona?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Czy zawsze suma nieskończenie wielu składników
jest nieskończona?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
∞
∑
k=1
Tajemnice, tajemnice....pytania
1
=1
2k
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Trudniej się pokazuje, że
∞
∑
1
𝜋2
=
.
n2
6
n=1
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Trudniej się pokazuje, że
∞
∑
1
𝜋2
=
.
n2
6
n=1
Liczby pierwsze występują częściej niż kwadraty.
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
REKORD
Największa znana liczba pierwsza 243112609 − 1, ma
12978189 cyfr.
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Wielkie poszukiwane
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Aby pokazać, że jakaś bardzo duża liczba jest pierwsza trzeba
dysponowac ogromna mocą obliczeniową komputerów.
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Wielkie poszukiwane
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Aby pokazać, że jakaś bardzo duża liczba jest pierwsza trzeba
dysponowac ogromna mocą obliczeniową komputerów.
http://primes.utm.edu/top20
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jaki jest następny wyraz ciągu?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
▶
1, 2, 4, 9, 16, ?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jaki jest następny wyraz ciągu?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
▶
1, 2, 4, 9, 16, 25
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jaki jest następny wyraz ciągu?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
▶
1, 2, 4, 9, 16, 25
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
▶
5, 15, 25, 35, ?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jaki jest następny wyraz ciągu?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
▶
1, 2, 4, 9, 16, 25
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
▶
5, 15, 25, 35, 45
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jaki jest następny wyraz ciągu?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
▶
1, 2, 4, 9, 16, 25
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
▶
5, 15, 25, 35, 45
Poszukiwanie
formuły
▶
1, 1, 2, 3, 5, 8, ?
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jaki jest następny wyraz ciągu?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
▶
1, 2, 4, 9, 16, 25
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
▶
5, 15, 25, 35, 45
Poszukiwanie
formuły
▶
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jaki jest następny wyraz ciągu?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
▶
1, 2, 4, 9, 16, 25
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
▶
5, 15, 25, 35, 45
Poszukiwanie
formuły
▶
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13
▶
3, 9, 34, 39, 42, ?
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jaki jest następny wyraz ciągu?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
▶
1, 2, 4, 9, 16, 25
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
▶
5, 15, 25, 35, 45
Poszukiwanie
formuły
▶
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13
▶
3, 9, 34, 39, 42, 46
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jaki jest następny wyraz ciągu?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
▶
1, 2, 4, 9, 16, 25
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
▶
5, 15, 25, 35, 45
Poszukiwanie
formuły
▶
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13
▶
3, 9, 34, 39, 42, 46
▶
2, 3, 5, 7, 11, ?
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jaki jest następny wyraz ciągu?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
▶
1, 2, 4, 9, 16, 25
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
▶
5, 15, 25, 35, 45
Poszukiwanie
formuły
▶
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13
▶
3, 9, 34, 39, 42, 46
▶
2, 3, 5, 7, 11, 13
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jaki jest następny wyraz ciągu?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
▶
1, 2, 4, 9, 16, 25
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
▶
5, 15, 25, 35, 45
Poszukiwanie
formuły
▶
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13
▶
3, 9, 34, 39, 42, 46
▶
2, 3, 5, 7, 11, 13
▶
9833, 9839, 9851, 9857, 9859, ?
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jaki jest następny wyraz ciągu?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
▶
1, 2, 4, 9, 16, 25
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
▶
5, 15, 25, 35, 45
Poszukiwanie
formuły
▶
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13
▶
3, 9, 34, 39, 42, 46
▶
2, 3, 5, 7, 11, 13
▶
9833, 9839, 9851, 9857, 9859, 9871
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnicza funkcja 𝜋(x)
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Dla dowolnej liczby rzeczywistej x > 0 przez 𝜋(x)
oznaczymy liczbę takich liczb pierwszych p, że p ≤ x.
𝜋(10) = 4,
𝜋(100) = 25,
𝜋(1000) = 168.
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
x
10
𝜋(x)
4
x
𝜋(x)
2,5
Liczby pierwsze
przyrost
2,5
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
x
10
100
𝜋(x)
4
25
x
𝜋(x)
2,5
4,0
Liczby pierwsze
przyrost
2,5
1,5
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
x
10
100
1000
𝜋(x)
4
25
168
x
𝜋(x)
2,5
4,0
6,0
Liczby pierwsze
przyrost
2,5
1,5
2,0
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
x
10
100
1000
10000
𝜋(x)
4
25
168
1 229
x
𝜋(x)
2,5
4,0
6,0
8,1
Liczby pierwsze
przyrost
2,5
1,5
2,0
2,1
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
x
10
100
1000
10000
100000
𝜋(x)
4
25
168
1 229
9 592
x
𝜋(x)
2,5
4,0
6,0
8,1
10,4
Liczby pierwsze
przyrost
2,5
1,5
2,0
2,1
2,3
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
x
10
100
1000
10000
100000
1000000
𝜋(x)
4
25
168
1 229
9 592
78 498
x
𝜋(x)
2,5
4,0
6,0
8,1
10,4
12,7
Liczby pierwsze
przyrost
2,5
1,5
2,0
2,1
2,3
2,3
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
x
10
100
1000
10000
100000
1000000
10000000
𝜋(x)
4
25
168
1 229
9 592
78 498
664 579
x
𝜋(x)
2,5
4,0
6,0
8,1
10,4
12,7
15,0
Liczby pierwsze
przyrost
2,5
1,5
2,0
2,1
2,3
2,3
2,3
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
x
10
100
1000
10000
100000
1000000
10000000
..
.
𝜋(x)
4
25
168
1 229
9 592
78 498
664 579
..
.
x
𝜋(x)
2,5
4,0
6,0
8,1
10,4
12,7
15,0
..
.
Liczby pierwsze
przyrost
2,5
1,5
2,0
2,1
2,3
2,3
2,3
..
.
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Aproksymacje funkcji 𝜋(x)
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Twierdzenie (Twierdzenie o
liczbach pierwszych)
𝜋(x) ∼
x
lnx
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Aproksymacje funkcji 𝜋(x)
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Twierdzenie (Twierdzenie o
liczbach pierwszych)
𝜋(x) ∼
x
lnx
Szansa, że losowo wybrana liczba naturalna mniejsza od x
1
.
będzie pierwsza wynosi lnx
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnicza funkcja Riemanna
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
𝜁(s) :=
∑∞
1
n=1 ns ,
s > 1 (Euler)
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Tajemnicza funkcja Riemanna
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
𝜁(s) :=
∑∞
1
n=1 ns ,
Tajemnice, tajemnice....pytania
s > 1 (Euler)
Riemann
Hipoteza Riemanna
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
play/pause
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Z początku, tam gdzie się chaos
kończy i zero króluje,
tłoczą się w pierwszych rzędach nadaremnie
- las gęsty.
Lecz w środku tłum ich się rozsuwa,
a bliżej nieskończoności
zjawiaja się rzadko niczym bezpowrotne
komety.
(Helen Spalding)
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Lokalne prawidłowości
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
n-ta liczba pierwsza
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Twierdzenie (Postulat Bertranda)
Pomiędzy n ≥ 2 oraz 2n istnieje liczba pierwsza.
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
n-ta liczba pierwsza
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Twierdzenie (Postulat Bertranda)
Pomiędzy n ≥ 2 oraz 2n istnieje liczba pierwsza.
Dowód.
Czebyszew, 1852
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
n-ta liczba pierwsza
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Twierdzenie (Postulat Bertranda)
Pomiędzy n ≥ 2 oraz 2n istnieje liczba pierwsza.
Dowód.
Czebyszew, 1852
Z twierdzenia o liczbach pierwszych wynika, że pn ∼ n ln n.
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Odstępy między liczbami pierwszymi
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Dla dowolnej liczby n istnieje ciąg n kolejnych liczb
złożonych.
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Odstępy między liczbami pierwszymi
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Dla dowolnej liczby n istnieje ciąg n kolejnych liczb
złożonych.
Definicja
Liczby pierwsze bliźniacze: p i p + 2 pierwsze.
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Odstępy między liczbami pierwszymi
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Dla dowolnej liczby n istnieje ciąg n kolejnych liczb
złożonych.
Definicja
Liczby pierwsze bliźniacze: p i p + 2 pierwsze.
Przykład
29, 31
41, 43
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice...
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Hipoteza
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych bliźniaczych.
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice...
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Hipoteza
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych bliźniaczych.
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
1
p∈Pb p
∑
jest skończona ≈ 1.902160577783278.
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice...
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Hipoteza
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych bliźniaczych.
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
1
p∈Pb p
∑
jest skończona ≈ 1.902160577783278.
Rekord
65516468355 ⋅ 2333333 ± 1 mają 100355 cyfr
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice...
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Hipoteza
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych bliźniaczych.
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
1
p∈Pb p
∑
jest skończona ≈ 1.902160577783278.
Rekord
65516468355 ⋅ 2333333 ± 1 mają 100355 cyfr
Twierdzenie (Chen, 1966)
Istnieje nieskończenie wiele par liczb p, p + 2, takich że p
jest liczbą pierwszą a liczba p + 2 jest albo pierwsza albo
jest iloczynem dwóch liczb pierwszych.
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Szukamy prawidłowości
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Liczby pierwsze w ciągach arytmetycznych
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Twierdzenie
Jest nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci 4k + 3.
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Liczby pierwsze w ciągach arytmetycznych
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Twierdzenie
Jest nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci 4k + 3.
Twierdzenie (Dirichlet)
Jeśli liczby a, b są względnie pierwsze to jest nieskończenie
wiele liczb pierwszych postaci ak + b.
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Szukamy prawidłowości
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Terence Tao
(medal Fieldsa
2006)
Twierdzenie (Green, Tao, 2005)
Liczby pierwsze
Są nieskończenie długie ciagi
arytmetyczne liczb pierwszych.
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Terence Tao
(medal Fieldsa
2006)
Twierdzenie (Green, Tao, 2005)
Liczby pierwsze
Są nieskończenie długie ciagi
arytmetyczne liczb pierwszych.
Ile jest liczb
pierwszych?
Oznacza to, że dla dowolnej liczby naturalnej n istnieją
liczba pierwsza p oraz liczba naturalna a, takie że
p, p + a, p + 2a, . . . , p + na
są pierwsze.
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Terence Tao
(medal Fieldsa
2006)
Twierdzenie (Green, Tao, 2005)
Liczby pierwsze
Są nieskończenie długie ciagi
arytmetyczne liczb pierwszych.
Ile jest liczb
pierwszych?
Oznacza to, że dla dowolnej liczby naturalnej n istnieją
liczba pierwsza p oraz liczba naturalna a, takie że
p, p + a, p + 2a, . . . , p + na
są pierwsze.
Rekord
Najdłuższy znany ciąg arytmetyczny liczb pierwszych ma
długośc 25 elementów.
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Spirala Ulama
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Spirala Ulama
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Liczby Fermata
Barbara
Roszkowska-Lech
Definicja
n
Liczbe całkowitą postaci 22 + 1
nazywamy liczbą Fermata i
oznaczamy Fn .
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Liczby Fermata
Barbara
Roszkowska-Lech
Definicja
n
Liczbe całkowitą postaci 22 + 1
nazywamy liczbą Fermata i
oznaczamy Fn .
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Hipoteza (Fermata)
n
Każda liczba Fn = 22 + 1 jest
pierwsza.
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Liczby Fermata
Barbara
Roszkowska-Lech
Definicja
n
Liczbe całkowitą postaci 22 + 1
nazywamy liczbą Fermata i
oznaczamy Fn .
n
Każda liczba Fn = 22 + 1 jest
pierwsza.
Jeśli 2k + 1 jest liczbą pierwszą to k = 2n .
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Hipoteza (Fermata)
Uwaga
Liczby pierwsze
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Liczby Fermata
Barbara
Roszkowska-Lech
Definicja
n
Liczbe całkowitą postaci 22 + 1
nazywamy liczbą Fermata i
oznaczamy Fn .
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Hipoteza (Fermata)
n
Każda liczba Fn = 22 + 1 jest
pierwsza.
Uwaga
Jeśli 2k + 1 jest liczbą pierwszą to k = 2n .
„Dowód”hipotezy Fermata.
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257 , F4 = 65537, . . .
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Liczby Fermata
Barbara
Roszkowska-Lech
Definicja
n
Liczbe całkowitą postaci 22 + 1
nazywamy liczbą Fermata i
oznaczamy Fn .
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Hipoteza (Fermata)
n
Każda liczba Fn = 22 + 1 jest
pierwsza.
Uwaga
Jeśli 2k + 1 jest liczbą pierwszą to k = 2n .
„Dowód”hipotezy Fermata.
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257 , F4 = 65537, . . .
W 1752 Euler udowodnił, ze F5 dzieli się przez 641, czyli
hipoteza Fermata nie jest prawdziwa.
Tajemnice, tajemnice....pytania
Liczby Fermata
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Twierdzenie
Liczby Fermata są parami względnie pierwsze.
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Liczby Fermata
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Twierdzenie
Ile jest liczb
pierwszych?
Liczby Fermata są parami względnie pierwsze.
F0 F1 F2 .....Fn−1 + 2 = Fn
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Liczby Fermata
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Twierdzenie
Ile jest liczb
pierwszych?
Liczby Fermata są parami względnie pierwsze.
F0 F1 F2 .....Fn−1 + 2 = Fn
Z powyższego twierdzenia wynika nieskończoność zbioru
liczb pierwszych.
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Liczby Fermata
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Twierdzenie
Ile jest liczb
pierwszych?
Liczby Fermata są parami względnie pierwsze.
F0 F1 F2 .....Fn−1 + 2 = Fn
Z powyższego twierdzenia wynika nieskończoność zbioru
liczb pierwszych.
Twierdzenie (Gauss)
N-kąt foremny można skonstruować za pomocą cyrkla i
linijki wtedy i tylko wtedy, gdy n = 2k p1 p2 . . . pn , gdzie pi są
różnymi liczbami pierwszymi Fermata.
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Liczby Fermata: tajemnice
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Pytanie
Czy jest nieskończenie wiele liczb pierwszych Fermata?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Liczby Fermata: tajemnice
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Pytanie
Czy jest nieskończenie wiele liczb pierwszych Fermata?
Pytanie
Czy jest nieskończenie wiele liczb złożonych Fermata?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Liczby Mersenna
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Definicja
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Liczbę Mn = 2n − 1
nazywamy liczbą Mersena.
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Liczby Mersenna
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Definicja
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Liczbę Mn = 2n − 1
nazywamy liczbą Mersena.
Poszukiwanie
formuły
Uwaga
Jeśli liczba Mersena jest
pierwsza to n jest liczbą
pierwszą.
Tajemnice, tajemnice....pytania
Liczby Mersenna
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
M2 , M3 , M5 , M7 , M13 , M17 , M19 są liczbami pierwszymi
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Liczby Mersenna
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
M2 , M3 , M5 , M7 , M13 , M17 , M19 są liczbami pierwszymi
M11 = 23 ⋅ 89 = 2047
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Liczby Mersenna
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
M2 , M3 , M5 , M7 , M13 , M17 , M19 są liczbami pierwszymi
M11 = 23 ⋅ 89 = 2047
Do dnia dzisiejszego znanych jest 47 liczb pierwszych
Mersena.
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Liczby Mersenna
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
M2 , M3 , M5 , M7 , M13 , M17 , M19 są liczbami pierwszymi
M11 = 23 ⋅ 89 = 2047
Do dnia dzisiejszego znanych jest 47 liczb pierwszych
Mersena.
Rekord
M43112609 = 243112609 − 1
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Hipoteza Goldbacha
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Hipoteza (Goldbach, Euler)
Każda liczba parzysta większa od dwóch jest sumą dwóch
liczb pierwszych.
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Hipoteza Goldbacha
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Hipoteza (Goldbach, Euler)
Każda liczba parzysta większa od dwóch jest sumą dwóch
liczb pierwszych.
Przykład
10 = 5 + 5 ; 28 = 11 + 17.
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Hipoteza Goldbacha
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Hipoteza (Goldbach, Euler)
Każda liczba parzysta większa od dwóch jest sumą dwóch
liczb pierwszych.
Przykład
10 = 5 + 5 ; 28 = 11 + 17.
Obliczeniowo pokazano, ze hipoteza jest prawdziwa dla liczb
mniejszych niz 1018 .
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Hipoteza Goldbacha
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Hipoteza (Goldbach, Euler)
Każda liczba parzysta większa od dwóch jest sumą dwóch
liczb pierwszych.
Przykład
10 = 5 + 5 ; 28 = 11 + 17.
Obliczeniowo pokazano, ze hipoteza jest prawdziwa dla liczb
mniejszych niz 1018 .
Twierdzenie (Chen)
Każda wystarczająco duża liczba parzysta jest sumą dwóch
liczb pierwszych lub liczby pierwszej i prawie pierwszej.
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jak zyskać sławę i zarobić milion dolarów?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jak zyskać sławę i zarobić milion dolarów?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
▶
Udowodnić hipotezę Riemanna.
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jak zyskać sławę i zarobić milion dolarów?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
▶
Udowodnić hipotezę Riemanna.
▶
Znaleźć algorytm szybko rozkładajacy liczbę całkowitą
na iloczyn liczb pierwszych.
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jak zyskać sławę i zarobić milion dolarów?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
▶
Udowodnić hipotezę Riemanna.
▶
Znaleźć algorytm szybko rozkładajacy liczbę całkowitą
na iloczyn liczb pierwszych.
▶
Udowodnic hipotezę Goldbacha....
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jak zyskać sławę i zarobić milion dolarów?
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
▶
Udowodnić hipotezę Riemanna.
▶
Znaleźć algorytm szybko rozkładajacy liczbę całkowitą
na iloczyn liczb pierwszych.
▶
Udowodnic hipotezę Goldbacha....
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jak zyskac sławę i...hipotezy i pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jak zyskac sławę i...hipotezy i pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
▶
Czy jest nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci
n2 + 1?
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jak zyskac sławę i...hipotezy i pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
▶
Czy jest nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci
n2 + 1?
Wiadomo,że jest nieskończenie wiele liczb pierwszych
postaci n2 + m2 oraz nieskończenie wiele liczb
pierwszych postaci n2 + m2 + 1.
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jak zyskac sławę i...hipotezy i pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
▶
▶
Czy jest nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci
n2 + 1?
Wiadomo,że jest nieskończenie wiele liczb pierwszych
postaci n2 + m2 oraz nieskończenie wiele liczb
pierwszych postaci n2 + m2 + 1.
(1882) Czy prawdą jest, że
𝜋(n2 + n) > 𝜋(n2 ) > 𝜋(n2 − n)?.
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Jak zyskac sławę i...hipotezy i pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
▶
Czy jest nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci
n2 + 1?
Wiadomo,że jest nieskończenie wiele liczb pierwszych
postaci n2 + m2 oraz nieskończenie wiele liczb
pierwszych postaci n2 + m2 + 1.
▶
(1882) Czy prawdą jest, że
𝜋(n2 + n) > 𝜋(n2 ) > 𝜋(n2 − n)?.
▶
(Hipoteza) Jest skończenie wiele liczb pierwszych
Fermata.
▶
...
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
O nieprawdopodobne liczby pierwsze,
niech łowcy formuł krążą
w oparach abstrakcji i tracą
resztki poloru:
Wy bądźcie nonkonformistyczne, uprzykrzone,
nie dajcie się złowić w sieci
układów, ciągów, wyjaśnień
i wzorów.
(Helen Spalding)
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Bibliografia
Tajemnice liczb
pierwszych
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Gardner Martin, Ostatnie Rozrywki, rozdział 12
Prószyński i s-ka, Warszawa
Animacje i wykresy wygenerowane za pomocą programu
Wolfram mathematica 7.
Portrety matematyków, obrazki: wikipedia.
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Tajemnice liczb
pierwszych
KONIEC
Barbara
Roszkowska-Lech
Liczby pierwsze
Ile jest liczb
pierwszych?
Jak rozmieszczone
są liczby pierwsze?
Dziękuję za uwagę
Poszukiwanie
formuły
Tajemnice, tajemnice....pytania
Download
Random flashcards
ALICJA

4 Cards oauth2_google_3d22cb2e-d639-45de-a1f9-1584cfd7eea2

bvbzbx

2 Cards oauth2_google_e1804830-50f6-410f-8885-745c7a100970

Motywacja w zzl

3 Cards ypy

Create flashcards