Lista 11 - Reszty kwadratowe i prawo wzajemności 1. Jaką cyfrą

Lista 11 - Reszty kwadratowe i prawo wzajemności
1. Jaką cyfrą może kończyć się: a) kwadrat liczby naturalnej; b) sześcian liczby
naturalnej; c) liczba trójkątna?
2. Korzystając z lematu Gaussa zbadaj, czy 26 jest resztą kwadratową mdulo 37.
3. Niech p > 5 będzie liczbą pierwszą. Uzasadnij, że przynajmniej jedna z liczb 2,
3 oraz 6 jest resztą kwadratową modulo p.
4. Oblicz wartość symbolu Legendre’a:
a)
51
;
67
b)
333
;
911
c)
1101
.
1999
5. Rozważ którykolwiek z przypadków (pominiętych na wykładzie) wyprowadzenia
wzoru na (3/p).
6. Sprawdź, że symbol Jacobiego (2/585) = 1. Czy 2 jest resztą kwadratową modulo
585?
7. Wykaż, że liczba postaci 111. . . 11 nie jest pełnym kwadratem.
8. Dla jakich liczb naturalnych n ­ 1 suma 1! + 2! + 3! + . . . + n! jest kwadratem?
9. Niech p będzie nieparzystą liczba pierwszą. Wykaż, że
−3
p
!
=
(
1, jeżeli p ≡ 1 mod 6;
−1, jeżeli p ≡ 5 mod 6.
Wywnioskuj stąd, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci 6k + 1.
10. Udowodnij prawo wzajemności dla symbolu Jacobiego.