27.10.2011r. Zadanie 1. Oblicz lim ( 2n 2n − 1 )

AM M1 - Kartkówka nr 1 - Grupa A - 27.10.2011r.
Zadanie 1.
Oblicz lim
n→∞
2n
2n − 1
Imiȩ i nazwisko
n
.
Zadanie 2.
Czy prawdziwe jest poniższe stwierdzenie?
an
= +∞,
n→∞ bn
Jeśli para cia̧gów (an ) i (bn ) liczb dodatnich spełnia lim
to lim an = +∞ lub lim bn = 0.
n→∞
n→∞
Odpowiedź uzasadnij (TAK→ dowód; NIE→ kontrprzykład).
———————————————————————————————————–
Rozwiązanie zad.1:
2n−1
+ 12
2
1
= lim 1 +
=
n→∞
2n − 1

2n−1 s
1
1
=
1+
1+
2n − 1
2n − 1
2n
lim
n→∞
2n − 1
s
= lim 
n→∞
s
=
lim 1 +
n→∞
1
2n − 1
n
2n−1 s
lim 1 +
n→∞
1
2n − 1
=
√ √
√
e 1= e
Rozwiązanie zad.2:
an
= +∞, jednakże
n→∞ bn
lim an =
6 +∞ lub lim bn =
6 0. Taka przykładowa para cia̧gów jest dana poniżej
Odpowiedź: NIE, tzn. istnieja̧ cia̧gi (an ) i (bn ), takie, że lim
n→∞
n→∞
an =
1, gdy n jest parzyste
i bn =
n, gdy n jest nieparzyste
1
,
n
gdy n jest parzyste
.
1, gdy n jest nieparzyste
Oczywiście cia̧gi (an ) i (bn ) nie sa̧ nawet zbieżne w sensie niewłaściwym, bo maja dwa
punkty skupienia, ale sa̧ cia̧gami liczb dodatnich takimi, że abnn = n → +∞.
AM M1 - Kartkówka nr 1 - Grupa B - 27.10.2011r.
Zadanie 1.
r
Oblicz lim
n
n→∞
Imiȩ i nazwisko
2n
.
2
n −1
Zadanie 2.
Czy prawdziwe jest poniższe stwierdzenie?
Jeśli cia̧g
(an ) jest ograniczony (z góry i z dołu), zaś cia̧g (bn ) rozbieżny do +∞,
to cia̧g abnn jest zbieżny.
Odpowiedź uzasadnij (TAK→ dowód; NIE→ kontrprzykład).
———————————————————————————————————–
Rozwiązanie zad.1:
Mamy nierówności n1 6 2n
6 n22n−1 6 1 dla n > 3, bo ostatnia nierówność jest
n2
równoważna (n − 1)2 > 2 (dla n > 1). Sta̧d
r
1
2n
√
6 1.
6 n 2
n
n −1
n
√
Ponieważ lim n n = lim 1 = 1, to z twierdzenia o trzech cia̧gach, dostajemy
n→∞
n→∞
r
lim
n→∞
n
2n
= 1.
−1
n2
Rozwiązanie zad.2:
an
= 0. Żeby to udowodnić, weźmy dowolne
n→∞ bn
ε > 0. Ponieważ cia̧g (an ) jest ograniczony to znajdziemy M > 0 takie, że |an | 6 M
dla każdego n. Nastȩpnie, z faktu limn bn = +∞, wnioskujemy o istnieniu N ∈ N
takiego, że dla każdego n > N mamy |bn | = bn > M 1ε . Wówczas dla n > N zachodzi
an < M = ε.
bn M 1
ε
an < ε, czyli właśnie lim an = 0.
Pokazaliśmy, że
n→∞ bn
ε>0 N ∈N n>N bn
Odpowiedź: TAK, a dokładniej lim
∀∃ ∀