1 - TECH.EDU.GORZOW.PL :: Strona Główna

Kurs e-learningowy
Matematyka 13/1
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
13.Rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych.
I.
Przypomnij sobie:
1. Co to jest równanie /nierówność kwadratowa?
Równanie postaci ax2+bx+c = 0, gdzie a0 i a,b,cR nazywamy równaniem
kwadratowym.
Jeżeli a0, to każdą z nierówności postaci: ax2+bx+c > 0, ax2+bx+c  0,
ax2+bx+c < 0 i ax2+bx+c  0 nazywamy nierównością kwadratową z jedną
niewiadomą.
2. Jak obliczamy pierwiastki równania kwadratowego?
a. zupełnego (gdy a  b  c  0 , czyli żadna z liczb: a, b, c nie jest zerem):
 obliczamy wyróżnik równania   b 2  4ac
b 
 jeżeli   0 , to równanie ma dwa różne pierwiastki: x1 
2a
b 
oraz x2 
,
2a
 jeżeli   0 , to równanie ma jeden tzw. podwójny pierwiastek:
b
x1  x2 
2a
 jeżeli   0 , to równanie nie ma pierwiastków;
b. niezupełnego postaci:
 ax 2  0  jedno rozwiązanie x  0 ,
b
 ax 2  bx  0  dwa rozwiązania: x  0 oraz x   ,
a
2
 ax  c  0
- jeśli a c  0 , to brak rozwiązań,
c
c
- jeśli a c  0 , to x1  
oraz x2 
.
a
a
3. W jaki sposób szukamy rozwiązań nierówności kwadratowej?
a. w pierwszej fazie postępujemy jak przy obliczaniu pierwiastków równania
kwadratowego (musimy znaleźć pierwiastki),
b. następnie rysujemy szkic wykresu pamiętając o tym, że:
 dla a  0 ramiona paraboli skierowane są do góry, natomiast dla
a  0 - do dołu,
 liczba pierwiastków zależy od wartości  ,
c. odczytujemy rozwiązanie z wykresu:
Kurs e-learningowy
Matematyka 13/2
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
a0
+++0-----0++x
++++0+++x
0
a0 ---0++++0-x


II.
+++++++ x
0
0
-----0-----
---------x
x
przy nierówności typu ax2+bx+c > 0 ( ax2+bx+c  0 ) interesuje
nas, dla jakich wartości x wykres znajduje się nad (nad lub na ) osi
OX,
przy nierówności typu ax2+bx+c < 0 ( ax2+bx+c  0 ) interesuje
nas, dla jakich wartości x wykres znajduje się pod (pod lub na ) osią
OX.
Zobaczmy, jak możemy wykorzystać to w konkretnych przykładach (z
uwzględnieniem czasami nieco innej strategii rozwiązywania zadań zamkniętych i
otwartych).
Przykład 1.
Większą z dwóch liczb spełniających równanie x 2  5 x  6  0 jest liczba:
A. –6,
B. –3,
C. –2,
D. –1.
Rozwiązanie:
Oczywiście, można sprawdzać po kolei, która z liczb spełnia to równanie. Ale ponieważ nie
wiemy, czy wśród odpowiedzi jest jeden, czy też dwa pierwiastki tego równania,
musielibyśmy sprawdzić być może wszystkie liczby i dopiero po ewentualnym znalezieniu
obu wybrać większy z nich. Dlatego prostszą drogą w tym wypadku jest obliczenie
pierwiastków.
Po kolei:
- obliczamy   b 2  4ac  52  4 1 6  25  24  1 oraz   1  1 ,
 b    5 1  6
 b    5 1  4

 3 oraz x2 

 2 ,
- następnie x1 
=
=
2 1
2
2 1
2
2a
2a
- wybieramy większy z dwóch pierwiastków, czyli –2.
Odpowiedź C.
Kurs e-learningowy
Matematyka 13/3
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Przykład 2.
Równanie x 2  4 x  c  0 nie ma pierwiastków, gdy:
A. c  4 ,
B. c   ; 4 ,
C. c  4;  ,
D.
c  4; .
Rozwiązanie:
Pamiętając, że równanie kwadratowe nie ma pierwiastków, gdy   0 obliczamy:
2
  b 2  4ac   4  4 1 c  16  4c
  0  16  4c  0   4c  16 / :  4  c  4 , czyli c  4; .
Odpowiedź D.
Przykład 3.
Do zbioru rozwiązań nierówności x 2  4 nie należy liczba:
A.  2 ,
B.
3,
C.  5 ,
D. 1 2 .
Rozwiązanie:
Łatwo sprawdzić, że : ( 2 ) 2  2  4 ; ( 3 ) 2  3  4 ; ( 5 ) 2  5  4 , czyli liczba  5 nie
należy do zbioru rozwiązań nierówności x 2  4 . Trochę trudniej byłoby sprawdzić przez
podstawienie, czy liczba 1 2 należy do zbioru rozwiązań podanej nierówności, ale nie
musimy tego robić gdyż znaleźliśmy tę liczbę, która spełnia podany warunek.
Wybieramy odpowiedź C.
Można też, oczywiście, rozwiązać nierówność i sprawdzić po kolei, która z podanych liczb
należy do zbioru jej rozwiązań:
x 2  4  x 2  4  0  x 2  22  0  x  2x  2  0 , czyli mamy dwa
pierwiastki: 2 i –2. Rysujemy:
-2
2
++++++--------++++ x
Nierówność jest spełniona dla x   2;2 . Do tego przedziału nie należy, naturalnie, liczba
 5 <-2.
Pozostałe liczby należą do tego przedziału, bo  5   2   2  1  2  3  2 .
Odpowiedź C
Kurs e-learningowy
Matematyka 13/4
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Przykład 4.
Rozwiązaniem nierówności x 2  c  0 jest każda liczba rzeczywista x , gdy:
A. c  0 ,
B. c   ;0 ,
C. c  0; ,
D. c   ; .
Rozwiązanie:
Ponieważ mamy do czynienia z nierównością typu ax2+bx+c > 0, gdzie a =1>0, to jej
rozwiązaniem jest każda liczba x w przypadku przedstawionym na rysunku:
Czyli wtedy, gdy   0 .
Obliczamy:   b 2  4ac  02  4 1 c  4c
  0   4c  0 / :  4  c  0
Wybieramy odpowiedź C.
+++++++++++ x
Przykład 5.
Gdy n jest liczbą naturalną dodatnią, to rozwiązaniami nierówności n 2  n  6  0 są
wszystkie liczby należące do zbioru:
A. 1,0,1,2,
B. 0,1,2,3,
C. 1,2,
D. 1,2,3.
Rozwiązanie:
Sposób 1:
Ponieważ liczby –1 i 0 nie są liczbami naturalnymi dodatnimi, to odpowiedzi A i B odpadają
natychmiast. Odpowiedzi C i D różnią się tylko tym, że w D mamy dodatkowo liczbę 3.
Wystarczy sprawdzić, czy liczba ta wstawiona za n zamienia naszą nierówność w zdanie
prawdziwe. Sprawdzamy: 32  3  6  9  3  6  0 . Nie jest prawdą, że 0 <0, więc 3 nie
należy do zbioru rozwiązań nierówności n 2  n  6  0 . Odpowiedź D nie jest prawdziwa.
Wybieramy odpowiedź C.
Sposób 2:
Rozwiązujemy nierówność:
2
  b 2  4ac   1  4 1  6  1  24  25
  25  5
 b     1  5 1  5  4



 2
2a
2 1
2
2
 b     1  5 1  5 6
n2 


 3
2a
2 1
2
2
n1 
-2
3
n
Kurs e-learningowy
Matematyka 13/5
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział (-2;3).
Wybierając z niego liczby naturalne dodatnie otrzymujemy zbiór 1,2.
Prawidłowa odpowiedź to C.
Przykład 6.

Do zbioru rozwiązań nierówności x  3


5x 0 :
A. nie należą liczby całkowite,
C. należą dwie liczby całkowite,
B. należy jedna liczba całkowita,
D. należą trzy liczby całkowite.
Rozwiązanie:



Gdy nierówność przedstawimy w postaci:  x  3 x  5  0 , to widzimy wyraźnie, że
a  1;
x1  3;
x2  5 . Rysujemy:
Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział

Ponieważ 1  1  3  2  4  5  3  9 , to
w zbiorze rozwiązań podanej nierówności znajduje
się dokładnie jedna liczba całkowita: 2.
Wybieramy odpowiedź B.

3; 5 .
3
5
x
Kurs e-learningowy
matematyka
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
ZADANIA DO ROZWIĄZANIA
Zadanie 1. (1 pkt)
Równanie x 2  bx  9  0 ma jedno rozwiązanie, gdy:
A. b  9 ,
B. b  3 lub b  3 ,
C. b  6 ,
D. b  6 lub b  6 .
Zadanie 2. (1 pkt)
Liczbą całkowitą, spełniającą nierówność x 2  x 10 może być:
A.
5,
B. -1,
C. 0,
D. 1.
Zadanie 3. (1 pkt)
Przedział (-2;5) jest zbiorem rozwiązań nierówności kwadratowej:
A. x  2x  5  0 ,
B. x  2x  5  0 ,
C. x  2x  5  0 ,
D. x  2x  5  0 .
Zadanie 4. (1 pkt)
Równanie x 2  2 x  15  0 jest równoważne równaniu:
A. x  3x  5  0 ,
B. x  3x  5  0 ,
C. x  3x  5  0 ,
D. x  3x  5  0 .
Zadanie 5. (1 pkt)
Rozwiązaniem nierówności  x  5  0 jest liczba:
2
A. 5,
B. -5,
C. 0,
D. 25.