analiza1 zestaw1

1
1.1
Powtórzenie ze szkoły średniej
Wartość Bezwzględna
Zadanie 1 Rozwiąż równanie:
(1) |x2 − 16| = 7
(6) 2x2 + |x| = 1
(2) 2|x| − |x + 1| = 2
(7) |x| + x3 = 0
(3) 2|x + 6| − |x| + |x − 6| = 18
(8) 3x2 = |x3 − 4x|
(4) |x2 − 2x| = x2 − 2x
(9)
3
|x|+2
=1
(5) 2x2 − |x| − 15 = 0
(10)
x
|x−1|
= 2x − 1
Zadanie 2 Rozwiąż nierówność:
(1) |x − 1| < 5
(6) |x3 − x| + 2x > 2
(2) |x + 1| − |x| > 0
(7) |x − 1| < −x2 − 1
(3) |x + 2| > 3
(8) |x2 + 3x + 1| ¬ 1
(4) x − |5x − 2| < 0
x+2
(9) | x−1
|>3
(5) |x − 2| − |x − 1| ­ |x + 1| − 5
(10) | 2x−1
x+2 | < 2
Zadanie 3 Sporządź wykres funkcji f danej wzorem:
(1) f (x) = x + 1
x
(6) f (x) = | x−1
|
(2) f (x) = 2|x| − |x + 1| − 2
(7) f (x) =
|x+1|−|x−1|
x
(3) f (x) = 12 (|x + 1| + |x − 1|)
(8) f (x) =
|x−1|
x2 −1
(4) f (x) = ||x + 1| − 2|
(9) f (x) =
1
|x|+1
1
|x−1|
(5) f (x) =
(10) f (x) = −|x| + 1
Zadanie 4 W prostokątnym układzie współrzędnych XOY zaznacz te punkty (x, y) które spełniają układy
nierówności:
|x − 2| < 1
|y − x| ¬ 1
(1)
(2)
1 + y2 > 0
|x + 3| ¬ 1
1.2
Wielomiany i funkcje wymierne
Zadanie 1 Rozwiąż równanie:
(1) −x2 +
√
(6) (x + 1)3 = (x + 1)(x2 − x + 2)
3x + 4 = 0
(2) −x5 + 3x4 + 2x2 − 6x = 0
(3)
1
2(1−x2 )
+
(4)
2x+1
x+3
x−1
x2 −9
(5)
18x+7
x3 −1
−
=
1
2(1+x2 )
=
30
x2 −1
=1
x+3
3−x
−
−
4+x
3+x
13
x2 +x+1
(7) (4 − x3 )2 − 5(4 − x3 ) + 6 = 0
(8)
1+x
x
(9)
x
|x−1|
+
1
1−x
=
−1
x(x−1)
= 2x − 1
(10) |x2 − 9| + |x2 − 4| = 5
1
Zadanie 2 Rozwiąż nierówność:
x
x2 −5x+6
(1) x3 − x < 0
(6)
(2) 2x4 − 5x3 + 5x − 2 < 0
3
(7) | x+1
|­1
(3) |x3 + 2x2 | < 9x + 18
(8) 1 +
(4) x3 + x2 − x − 1 > 0
(5) 2 +
3
x+1
−
2
x
5
x−1
¬
>
1
x−2
x−2
x+3
(9) |x2 − 9| > 1
√
(10) x + 2 < x − 4
>0
Zadanie 3 Sporządź wykres funkcji f danej wzorem:
(1) f (x) = −x2 + 3x − 1
(4) f (x) = x3 − x
2
(2) f (x) = − 1−x
2
√
(5) f (x) = − x + 1
1
(3) f (x) = − |x|+1
Zadanie 4 (1) Dla jakich wartości parametru m równanie
2x2 − (m − 1)x + m + 1 = 0
ma pierwiastki spełniające warunek
|x2 − x1 | = 1.
(2) Dla jakich wartości parametru a nierówność
(a2 − 1)x2 + 2(a − 1)x + 2 > 0
jest spełniona dla każdego x ∈ R.
(3) Wyznaczyć liczbę k tak, aby jeden z pierwiastków równania
(k 2 − 5k + 3)x2 + (3k − 1)x + 2 = 0
był dwa razy większy od drugiego.
(4) Dla jakich wartości parametru s suma kwadratów pierwiastków równania
x2 + sx + 4 = 0
jest dwa razy większa od sumy tych pierwiastków.
1.3
Funkcja wykładnicza
Zadanie 1 Wyznacz dziedzinę funkcji f , gdzie:
√
(1) f (x) = 2 x+1
q
(2) f (x) = 2−x −
(3) f (x) =
1
2
(4) f (x) =
1
1−21−|x|
√
2x − 1 +
√
Zadanie 2 Sporządź wykres funkcji f danej wzorem:
(1) f (x) = −2x + 1
(2) f (x) = −3x−1 + 2
x
(3) f (x) = 2x + 21
(4) f (x) = 2x+|x|
(5) f (x) = ( 12 )|x|
x2
(6) f (x) = 2 |x|
(7) f (x) = 2x − 2|x| + 1
(8) f (x) = −|1 − 2x |
2
1−x
Zadanie 3 Rozwiąż równanie:
1
1
(1) 5x − 53−x = 20,
(6) 22x − 3x− 2 + 22x−1 = 3x+ 2
(2) 49x − 6 · 7x + 5 = 0,
(7) 3−x · 9 = (
√
(3) 4
x−2
√
+ 16 = 10 · 2
(4) 0, 125 · 42x−3 = (
3
√
3 6x−4
3 )
x−2
x−2
x+1
(8) 4 2 − 2x+1 = 8 3 − 15
√
√
(9) xx = x x
p
√ x p
√ x
(10)
2− 3 +
2+ 3 =4
√
2 −x
8 )
(5) 8x + 18x − 2 · 27x = 0
Zadanie 4 Rozwiąż nierówność:
x+1
(1) (0, 5) x−1 >
(2)
1
2x −1
>
2
1
−2x−8
(6) 4 4 x
1
32
2
1
1−2x−1
(7) (0, 5)2x
−x
>
√
2
­1
(3) 22x − 3x− 2 + 22x−1 > 3x+ 2
(8) ( 13 )2x − 12( 13 )x + 27 > 0
(4) ( 12 )x − ( 12 )−1−x ­ 1
√ 2
3
(9) x 4 x < ( x)x −x+1
1
1
(5) x2 · 2x + x · 2x−1 > 0
Zadanie 5 Rozwiąż układ równań:
y x
3 4 = 18
(1)
4y 9x = 48
2
y x +7x+12 = 1
(2)
x+y =6
1.4
(10) (x2 + x + 1)x < 1
xx+y = y x−y
x2 y = 1
642x + 642y √
= 12
64x+y = 4 2
(3)
(4)
Funkcja logarytmiczna
Zadanie 1 Obliczyć:
√
(1) log3√3 27
(3) 2log2
(2) log3 5 · log25 27
(4) 2log3 5 − 5log3 2
2
15
Zadanie 2 Sporządzić wykres funkcji f danej wzorem:
| log 1 x|
(1) f (x) = − log2 x + 1
(5) f (x) = 2
(2) f (x) = log 21 (2 − x)
(6) f (x) = log3 (x − 1)
(3) f (x) = −| log2 x|
(7) f (x) = − log3 |x − 1|
(4) f (x) = logx 2
(8) f (x) =
2
log2 x2
| log2 x|
Zadanie 3 Rozwiąż równania:
(1) log(x − 2) − log(4 − x) = 1 − log(13 − x)
√
√
(2) log x − 5 + log 2x − 3 + 1 = log 30
(3)
1
1+log x
+
5
3−log x
=3
(4) log2 (9 − 2x ) = 3 − x
(5) log (log x) + log (log x2 − 1) = 1
(6) log 2 x = 6 + log x
(7) 3 +
2
log3 (x+1)
= 2 log3 (x + 1)
(8) log4 (log2 (x − 5)) = 1
(9) 5log x + 5log x−1 = 3log x+1 + 3log x−1
2
(10) 6log6 x + xlog6 x = 12
3
Zadanie 4 Wyznacz dziedzinę funkcji f , gdzie:
(1) f (x) = log2 (1 − log 21 (x2 − 5x + 6))
q
(2) f (x) = log 12 x2x−1
(3) f (x) =
p
logx (3 − x)
(4) f (x) =
p
log0.1 (2x − 1) + log0.1 (5 − 3x)
Zadanie 5 Rozwiąż nierówność:
(1) log2 (x − 1) − 2 log(x − 1) > 0
(6) log 14 (2 − x) > log 14
(2) log2 (x + 14) + log2 (x + 2) ­ 6
(7) log2 (log 13 (x − 1)) ­ 1
log 1 (x2 −5x+7)
(3) 3
(4)
2
1
log x
(5) log 13
1
1−log x
+
√
<1
(8) log 12 x > log 31 x
>0
(9)
x + 1 < 1 + log 13
√
4 − x2
log(35−x3 )
log(5−x)
2
x+1
>3
(10) |3 − log2 x| < 1
Zadanie 6 Rozwiąż układ równań:
(1)
x2 = y 5
x
log xy = log
log y
(2)
xy = 9
y = log3 x + 1
1.5
Funkcja trygonometryczna
xy = 400
xlog y = 16
2 log x − log y = log 9
1
10y−x = 100
(3)
(4)
Zadanie 1 Sprawdzić tożsamości:
(1)
cos α−cos 3α
sin 3α−sin α
(2) sin 7α tg
7α
2
= tg 2α
(3) sin6 α + cos6 α = 1 −
+ cos 7α = 1
(4) cos 2α cos α − sin 4α sin α = cos 3α cos 2α
3
4
sin2 2α
Zadanie 2 Wykaż, że:
(1) cos 20◦ cos 40◦ cos 80◦ =
1
8
(2) sin 47◦ + sin 61◦ − sin 11◦ − sin 25◦ = cos 7◦
(3)
1−4 sin 10◦ sin 70◦
2 sin 10◦
=1
(4) sin 15◦ sin 75◦ =
1
4
Zadanie 3 Wyznacz dziedzinę funkcji f , gdzie:
(1) f (x) =
log(16−x2 )
√
sin x
(3) f (x) =
(2) f (x) =
p
arc cos log(1 − x)
(4) f (x) =
√
log( 3 − tg x)
q
√
cos x + 2
Zadanie 4 Rozwiąż równanie:
1−sin x
2 sin x
(1) sin x + cos x = 0
(6) ctg x − cos x =
(2) sin x + cos x = 1
(7) sin2 x + sin2 2x = sin2 3x
(3) cos 3x = cos x
(8) sin3 x + cos3 x = 1
(4) cos x − cos 3x = sin x − sin 3x
(9) sin x + cos x =
(5) sin4 x + cos4 x =
5
8
2
(10) 24 cos
Zadanie 5 Rozwiąż nierówność:
4
x+1
cos 2x
1−sin 2x
2
+ 16 · 24 sin
x−3
= 20 dla x ∈ (0, π)
√
(1) cos x + tg x < 1 + sin x, x ∈ (0, 2π)
(2) tg 2x − ctg 2x >
√2
3
(3) |sin x| >
3
2
(4) sin x > cos x
Zadanie 6 Sporządź wykres funkcji f danej wzorem:
(1) f (x) = − cos 2x
(4) f (x) = 2 sin( π3 − 2x)
(2) f (x) = sin(x − π4 ) + 1
(5) f (x) =
(3) f (x) =
|sin x|
cos x ,
− π2 < x <
π
2
| cos x|
cos x
(6) f (x) = |sin x| + |cos x|
5