Ułamki zwykłe

Ułamki zwykłe
Ułamek jako część całości
licznik (określa, ile części wzięto z danej całości)
3
4
kreska ułamkowa
mianownik (określa, na ile części podzielona jest całość)
1. Jaką częścią godziny jest:
1godzina =60minit
7
godz.
a) 7minut
to
60
b) 25 minut to
25
godz.
60
2. Jaką częścią metra jest:
a) 35cm?
(1metr = 100cm) to 35cm =
b) 4cm =
35
metra
100
4
m
100
c) 8 dm? (1m = 10dm) to 8dm=
8
m
10
3. Jaka częścią tygodnia są 3 dni?
Tydzień to 7 dni więc 3dni to
3
tygodnia
7
4. Jaką częścią kilograma jest:
a) 15gram?
1kg = 1000g więc 15g=
15
kg
1000
b) 256gram?
256
kg
256g=
1000
c) 18dag?
1kg = 100dag więc 18dag=
18
kg
100
1
Ułamek zwykły jest inną formą zapisu ilorazu dwu liczb
3
3:7 
7
Dzielna staje się licznikiem, a dzielnik mianownikiem. Kreska ułamkowa zastępuje znak
dzielenia.
Równość ułamków
1
2
3
 
4
8 12
Rozszerzanie ułamków
Aby rozszerzyć ułamek, należy jego licznik i mianownik pomnożyć przez tę samą liczbę
różną od zera.
Przykład: rozszerz ułamki do mianownika 60
1 1 * 30 30


2 2 * 30 60
5 5 * 10 50


6 6 * 10 60
7
7 * 5 35


12 12 * 5 60
8
8 * 4 32


15 15 * 4 60
2
Skracanie ułamków
Aby skrócić ułamek należy jego licznik i mianownik podzielić przez tę samą liczbę
różną od zera.
3 3:3 1


9 9:3 3
18 18 : 6 3


24 24 : 6 4
postać nieskracalna ułamka
30 30 : 5 6


55 55 : 5 11
Porównywanie ułamków
 O jednakowych mianownikach
1 5

7 7
Z dwóch ułamków o tych samych mianownikach większy jest ten, który ma większy licznik.
 O jednakowych licznikach
2 2

3 15
Z dwóch ułamków o jednakowych licznikach większy jest ten który ma mniejszy
mianownik
 O różnych licznikach lub mianownikach
Przykład:
3
4
i
5
6
Ułamki sprowadzamy do wspólnego mianownika
Stosując metodę rozszerzania ułamków możemy je zapisać w postaci ułamków
o mianownikach np. 12, 24, 36 czy 60.
Najprościej będzie gdy przyjmiemy za mianownik NWW liczb 4 i 6, czyli liczbę 12.
3 9

4 12
9 10

12 12
5 10

6 12
więc
3 5

4 6
3
Ułamki niewłaściwe i ułamki mieszane
Ułamek niewłaściwy to taki w którym licznik jest większy lub równy mianownikowi.
np.
9
9
7
,
4
Ułamek mieszany to ułamek zapisany liczbą naturalną i ułamkiem właściwym.
1
np. 3 ,
2
126
4
9
Zmiana ułamków niewłaściwych na ułamki mieszane
8
3
 8 : 5  1r3  1
5
5
27
 27 : 9  3 r 0  3
9
45
3
6
7
7
Zmiana ułamków mieszanych na ułamki niewłaściwe
3
2
5 2 3 * 5  2 17
 3*  

5
5 5
5
5
5
4 39

7 7
Dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach
Aby dodać ułamki o jednakowych mianownikach dodajemy liczniki a mianownik
pozostawiamy bez zmian
1 5 6 3
  
8 8 8 4
4 5 9
2
  1
7 7 7
7
5
4
5 4
9
3  2  (3  2)  (  )  5   5  1  6
9
9
9 9
9
4
Odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach
Aby odjąć ułamki o jednakowych mianownikach odejmujemy liczniki a mianownik
pozostawiamy bez zmian
A)
4 3
1
 
11 11 11
B)
11 5
6 3



14 14 14 7
5 3
2
1
C) 7  1  6  6
8 8
8
4
5

7
7 5
5  
7 7
2
5
7
D) 6 
1 całość odjemnej zamieniam na ułamek
7
7
to otrzymuję 5 całych i
7
7
2
5
11
5
6
2
E ) 14  3  13  3  10  10
9
9
9
9
9
3
Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach
Aby dodać ułamki o różnych mianownikach należy sprowadzić je do wspólnego mianownika.
Przykłady:
A)
2 1
 
3 2
Wykonujemy
w pamięci
Wspólnym mianownikiem może być np. 6, 12, 18, 24, najprościej będzie gdy wybierzesz
NWW(3,2) czyli 6.
2 2*2 4


3 3* 2 6
1 1* 3 3


2 2*3 6

4 3 7
1
  1
6 6 6
6
5
B)
2 3


5 10
4
3



10 10
7

10
Najmniejszy wspólny mianownik to 10, wiec dane
ułamki rozszerzam do mianownika 10
C)
5
1
3  14 
9
6
10
3
 3  14 
18
18
13
 17
18
D)
11
3
8 2 
12
4
11
9
8 2 
12
12
2
6 
12
1
6
6
NWW(6 i 9) to 18 wiec dane ułamki
rozszerzam do mianownika 18
Najmniejszy wspólny mianownik to 12 więc dane
ułamki rozszerzam do mianownika 12.
Skracam część ułamkową dzieląc licznik i
mianownik przez 2
E)
3
2
27  4 
5
3
9
10
 27  4 
15
15
24
10
 26  4 
15
15
14
 22
15
Najmniejszy wspólny mianownik to 15, wiec dane ułamki rozszerzam do
mianownika 15
1 całość odjemnej (pozostaje mi 26 całych) zamieniam na ułamek 15 , to w części
15
ułamkowej mam 24 bo 15  9 
15  15 15 
6
F)
7

11
11 7
 13  
11 11
4
 13
11
14 
1 całość odjemnej (pozostaje mi 13 całych)
zamieniam na ułamek 11
11
Mnożenie ułamków przez liczby naturalne
Aby ułamek pomnożyć przez liczbę naturalną należy licznik tego ułamka pomnożyć przez tę
liczbę a mianownik zostawić bez zmian.
Przykłady:
2 3 2 6
1
3 
 1
5
5
5
5
21 
3 21  3 63
3


 15
4
4
4
4
2
7 42
2
6 *1  6 * 
8
5
5 5
5
7
Mnożenie ułamka przez ułamek
Aby pomnożyć ułamek przez ułamek mnożymy licznik przez licznik a mianownik przez
mianownik
A)
1 4 1* 4
4 2
* 


2 5 2 * 5 10 5
B)
3 4 3 * 4 12
* 

7 5 7 * 5 35
C)
1 1
2 *1 
5 8
11 9
 * 
5 8
99
9
2
40
40
Pamiętaj!
Przed wykonaniem mnożenia liczby mieszane
zamień na ułamki niewłaściwe
D)
4
4
*2 
7
5
2
4 14
 * 
1 7 5
4*2


1* 5
8
3
 1
5
5
Przed wykonaniem mnożenia skracam mianownik pierwszego ułamka i licznik
drugiego ułamka dzieląc przez 7
8
Obliczanie ułamka danej liczby
Aby obliczyć ułamek danej liczby mnożymy ten ułamek przez tę liczbę
Zadanie 1.
1
liczby
Oblicz
4
8
1
8
*8   2
4
4
Zadanie 2.
1
Oblicz
liczby 5
3
1
5
2
*5   1
3
3
3
1
2
liczby 5 wynosi 1
3
3
Zadanie 3. W klasie jest 24 uczniów,
1
klasy to dziewczynki. Oblicz ile dziewczynek i ilu chłopców
3
jest w tej klasie.
Ile jest dziewczynek?
1
1
klasy to
liczby 24
3
3
1
24
* 24 
8
3
3
Ilu jest chłopców ?
24-8 =16
Odpowiedź: W tej klasie jest 8 dziewczynek i 16 chłopców.
9
Potęgowanie ułamków
2
1 1 1
1
   * 
5 5 25
5
2
3 3 9
3
   * 
4 4 16
4
3
1 1 1 1
1
   * * 
2 2 2 8
2
2
1
1 9 9 81
1
 1
5
2   2 *2  * 
4
4 4 4 16
16
 4
Dzielenie ułamków przez liczby naturalne
Aby podzielić ułamek przez liczbę naturalną, należy ułamek ten pomnożyć przez
odwrotność tej liczby.
1
1 1 1
:5  * 
3
3 5 15
2
2 1 2
:9  * 
7
7 9 63
2
2 1 5 1 15
1 :6 1 *  * 
3
3 6 3 6 18
Odwrotności liczb
1
2
1
Odwrotność liczby 5 to
5
Odwrotność liczby 2 to
Odwrotność liczby 38 to
1
38
10
Dzielenie liczb naturalnych przez ułamki
Aby podzielić liczbę naturalną przez ułamek, należy tę liczbę pomnożyć przez odwrotność
tego ułamka.
Odwrotności ułamków
2
5 15
1
3 :  3* 
7
5
2 2
2
15 :
Odwrotność ułamka
2
3 45
1
 15 * 
 22
3
2 2
2
Odwrotność ułamka
5
7
2
3
to
to
3
2
7
5
1 7
3
to
Odwrotność 2 
3 3
7
4
5 35
3
7 :  7* 
8
5
4 4
4
1
7
3 12
5
4 : 2  4 :  4* 
1
3
3
7 7
7
1
11
5 30
9
6 : 2  6 :  6* 
2
5
5
11 11
11
Pamiętaj!
Dzieląc liczbę naturalną przez liczbę
mieszaną najpierw liczbę mieszaną
zamieniamy na ułamek niewłaściwy
Dzielenie ułamków przez ułamki
Aby podzielić ułamek przez ułamek, należy pierwszy ułamek pomnożyć przez odwrotność
drugiego ułamka
3 5
3 7
21
1
:
 * 
1
4 7
4 5
20
20
4 1
4 3 12
2
:  * 
2
5 3
5 1
5
5
2
Liczby mieszane najpierw
zamieniamy na ułamki
niewłaściwe
1 4
7 7
49
1
:
 * 
4
3 7
3 4
12
12
1
3
1
3 9
3 2
1* 2
2
:4  :
 * 

5
2
5 2
5 9
5 * 3 15
3
3
2
5
23 11
23 6 3 138
71
:1 
:

*

1
7
6
7
6
7 11
77
77
11