Teoria Gier - E-SGH

Handout z teorii gier
Lukasz Woźny∗
KTSR, SGH, 14 maja 2006
1
Gry w postaci strategicznej z doskonala, informacja,
Definicja 1.1 Na gre, w postaci strategicznej skladaja, sie:
,
• skończony zbiór graczy N ,
• dla każdego i ∈ N niepusty zbiór Ai strategii gracza i oraz
• dla każdego i ∈ N relacja preferencji i na zbiorze A = ×j∈N Aj .
Definicja 1.2 Równowaga, Nasha gry < N, (Ai ), (i ) > w postaci strategicznej jest taki profil strategii a∗ ∈ A, że dla każdego i ∈ N zachodzi:
(a∗i , a∗−i ) i (ai , a∗−i ),
dla każdego ai ∈ Ai .
2
Gry w postaci ekstensywnej z doskonala, informacja,
Definicja 2.1 Na gre, w postaci ekstensywnej z doskonala, informacja, skladaja, sie:
,
• skończony zbiór graczy N ,
• zbiór H (skończonych albo nieskończonych) ciagów
spelniajacych
trzy
,
,
k)
nastepuj
ace
w
lasności:
(a)
ci
ag
pusty
∅
należy
do
H,
(b)
jeżeli
(a
∈
k=1,...,K
,
,
,
H oraz L < K wtedy (ak )k=1,...,L ∈ H, (c) jeżeli nieskończony ciag
,
(ak )k=1,... spelnia (ak )k=1,...,L ∈ H dla każdej dodatniej calkowitej liczby
L wtedy (ak )k=1,... ∈ H,
∗
[email protected].
1
• funkcji P przyporzadkowuj
acej
każdemu niekońcowemu wierzcholkowi
,
,
gry gracza N ,
• dla każdego i ∈ N relacja preferencji i na zbiorze Z.
Definicja 2.2 Strategia, gracza i ∈ N w grze ekstensywnej z doskonala, informacja, < N, H, P, (i ) > jest funkcja przyporzadkowuj
aca
decyzje, A(h)
,
,
dla każdej niekońcowej historii h ∈ H\Z dla którego P (h) = i.
Definicja 2.3 Równowaga, Nasha gry w postaci ekstensywnej z doskonala,
informacja, < N, H, P, (i ) > jest taki profil strategii a∗ , że dla każdego
i ∈ N zachodzi:
(a∗i , a∗−i ) i (ai , a∗−i ),
dla każdego ai .
3
Gry w postaci strategicznej z niezupelna, informacja,
Definicja 3.1 Na gre, Bayesowska, skladaja, sie:
,
• skończony zbiór graczy N ,
oraz dla każdego gracza i ∈ N :
• zbiór strategii Ai , A = ×i∈N Ai ,
• zbiór typów gracza Θi , Θ = ×i∈N Θi ,
• funkcja prawdopodobieństwa pi : Θi → ∆(Θ−i )
• funkcja wyplaty ui : A × Θ → R
Strategia czysta i-tego gracza ai : Θi → Ai
Definicja 3.2 Równowaga, Bayesowska, gry Bayesowskiej jest taki profil strategii a∗ = (a∗i )i∈N , że dla każdego gracza i ∈ N oraz każdego typu θi ∈ Θi
zachodzi:
X
a∗i (θi ) ∈ arg max
pi (θ−i |θi )ui (ai , a∗−i (θ−i ), (θi , θ−i )).
ai ∈Ai
θ−i ∈Θ−i
Literatura
[1] Fuenberg D., Tirole J., Game Theory, MIT 2002.
[2] Osbourne M., Rubinstein A., A Course in Game Theory, MIT 1994.
2