Wektory losowe teoria Twierdzenie 11 Dystrybuanta F ma wªasno±ci:

Wektory losowe teoria
(Ω, F, P ) przestrze« probabilistyczna.
Denicja 1 Niech (Ω1 , F1 ), (Ω2 , F2 ) b¦d¡ przestrzeniami mierzalnymi. Odwzorowanie f : Ω1 → Ω2
jest mierzalne, je±li ∀B∈F2 f −1 (B) ∈ F1 . Zapis: f : (Ω1 , F1 ) → (Ω2 , F2 ).
Denicja 2 Wektor losowy to odwzorowanie mierzalne X : (Ω, F) → (Rd , Bd ).
Denicja 3 Rozkªad wektora losowego X to miara probabilistyczna PX na (Rd , Bd ) dana wzorem
PX (A) = P ◦ X−1 (A) = P (X ∈ A).
Denicja 4 Wektor losowy X ma rozkªad dyskretny, je±li istniej¡ x1 , x2 , . . . ∈ Rd i prawdopodobie«stwa
p1 , p2 , . . . > 0 takie, »e
∞
P
i=1
pi = 1 oraz P (X = xi ) = pi , i = 1, 2, . . ..
Denicja 5 Wektor losowy
X ma rozkªad absolutnie ci¡gªy o g¦sto±ci f , je±li dla ka»dego A ∈ B d
Z
zachodzi P (X ∈ A) =
A
f (x)dx.
Z
Uwaga: f (x) > 0 prawie wsz¦dzie i
Rd
f (x)dx = 1.
Denicja 6 Rozkªad PX wektora losowego X = (X1 , . . . , Xd ) nazywamy rozkªadem ª¡cznym zmien-
nych losowych X1 , . . . , Xd . Rozkªady PX1 , . . . , PXd skªadowych wektora losowego nazywamy rozkªadami
brzegowymi.
Uwaga: Rozkªady brzegowe nie determinuj¡ rozkªadu ª¡cznego.
Denicja 7 Zmienne losowe X1 , . . . , Xd s¡ niezale»ne, je±li ich rozkªad ª¡czny jest produktem rozkªadów
brzegowych: P(X1 ,...,Xd ) = PX1 × · · · × PXd .
Uwaga: Rodzina zmiennych losowych {Xi }i∈I jest niezale»na, je±li ka»da jej sko«czona podrodzina
skªada si¦ ze zmiennych losowych niezale»nych.
Twierdzenie 8 Niech rozkªady zmiennych losowych X1 , . . . , Xd b¦d¡ dyskretne. Zmienne te s¡ niezale»ne, je±li dla dowolnych x1 , . . . , xd ∈ R zachodzi:
P (X1 = x1 , . . . , Xd = xd ) = P (X1 = x1 ) · · · P (Xd = xd ).
Twierdzenie 9 Niech rozkªady zmiennych losowych X1 , . . . , Xd b¦d¡ absolutnie ci¡gªe z g¦sto±ciami
f1 , . . . , fd . Zmienne te s¡ niezale»ne, je±li ich rozkªad ª¡czny jest absolutnie ci¡gªy i jego g¦sto±¢ fX
ma posta¢:
fX (x1 , . . . , xd ) = f1 (x1 ) · · · fd (xd ).
Denicja 10 Dystrybuant¡ wektora losowego X nazywamy funkcj¦ FX : Rd → [0, 1] okre±lon¡ wzorem
FX (x) = P (X1 6 x1 , . . . , Xd 6 xd ).
Twierdzenie 11 Dystrybuanta F ma wªasno±ci:
1. FX (x1 , . . . , xd ) jest funkcj¡ niemalej¡c¡ wzgl¦dem ka»dego argumentu,
2. FX (x1 , . . . , xd ) jest prawostronnie ci¡gªa wzgl¦dem ka»dego argumentu,
3. FX (x1 , . . . , xd ) → 0, je±li xi → −∞ przynajmniej dla jednego i, 1 6 i 6 d,
FX (x1 , . . . , xd ) → 1, je±li xi → +∞ przynajmniej dla jednego i, 1 6 i 6 d,
4. dla dowolnych ai 6 bi , i = 1, . . . , d,
P
X
εi
i=1
(−1)
FX (ε1 a1 + (1 − ε1 )b1 , . . . , εd ad + (1 − εd )bd ) > 0,
d
gdzie sumowanie przebiega po wszystkich ci¡gach (ε1 , . . . , εd ) zªo»onych z zer i jedynek.
Uwaga: Ka»da funkcja FX speªniaj¡ca warunki 1. 4. Twierdzenia 11 jest dystrybuant¡.
Denicja 12 Warto±ci¡ oczekiwan¡ wektora losowego X nazywamy wektor warto±ci oczekiwanych
jego skªadowych (o ile ka»da skªadowa jest caªkowalna lub równowa»nie EkXk < ∞):
EX = (EX1 , . . . , EXd ).
Twierdzenie 13 (O
mno»eniu warto±ci oczekiwanych) Je»eli zmienne losowe X i Y s¡ niezale»ne i caªkowalne, to iloczyn XY jest caªkowaln¡ zmienn¡ losow¡ i EXY = EXEY .
Denicja 14 Kowariancj¡ zmiennych losowych X, Y nazywamy liczb¦ (o ile zmienne X, Y s¡ caªkowalne
z kwadratem):
Cov (X, Y ) = E(X − EX)(Y − EY ) = EXY − EXEY.
Denicja 15 Zmienne losowe X i Y s¡ nieskorelowane, je±li Cov (X, Y ) = 0.
Uwaga: Je±li X, Y s¡ caªkowalne i niezale»ne, to kowariancja istnieje i jest równa 0. Zatem caªkowalne
i niezale»ne zmienne losowe s¡ nieskorelowane. Istniej¡ nieskorelowane zmienne losowe, które s¡ zale»ne.
Denicja 16 Wspóªczynnikiem korelacji zmiennych losowych X, Y (o ile s¡ one caªkowalne z kwadratem)
nazywamy liczb¦
(
r(X, Y ) =
Cov (X,Y )
DXDY ,
1,
DXDY =
6 0,
DXDY = 0,
gdzie D oznacza odchylenie standardowe.
Twierdzenie 17
1. −1 6 r(X, Y ) 6 1.
2. r(X, Y ) = 0 ⇔ X i Y s¡ nieskorelowane.
3. |r(X, Y )| = 1 ⇔ istniej¡ staªe a, b ∈ R takie, »e X = aY + b lub Y = aX + b.
Denicja 18 Macierz¡ kowariancji wektora losowego X (o ile ka»da jego skªadowa jest caªkowalna z
kwadratem lub równowa»nie EkXk2 < ∞) nazywamy macierz o wspóªczynnikach:
σij = Cov (Xi , Xj ),
i, j = 1, . . . , d.
Uwaga. Macierz kowariancji jest symetryczna i nieujemnie okre±lona.
Denicja 19 Wariancj¡ wektora losowego X nazywamy liczb¦
Var X = EkX − EXk2 =
d
X
i=1
Var Xi .