Rozkład dwumianowy

Rozkład dwumianowy
Matematyczne podstawy teorii ryzyka
i ich zastosowanie
R. Łochowski
Rozkład dwumianowy
• Niech X1,..., X n będzie ciągiem niezależnych
zmiennych losowych o rozkładzie 0-1:
P ( X i = 1) = p = 1 − P ( X i = 0 ) .
• Zmienną o rozkładzie dwumianowym Bin(n,p)
definiujemy jako sumę
Sn = X1 + X2 + … + X n.
• Rozkład zmiennej Sn dany jest wzorem
P (S n
n k
n−k
= k ) =   p (1 − p )
.
k 
Momenty rozkładu dwumianowego
• Wartość oczekiwana rozkładu dwumianowego
n 
n−k
  k
ESn = ∑ P(Sn = k ) ⋅ k = ∑  ⋅ p ⋅ (1 − p) ⋅ k = ?

k

k =0
k =0  

n
n
• Prościej - wykorzystujemy tylko liniowość
wartości oczekiwanej, E(X +Y ) = EX + EY ,
nie korzystamy zaś z niezależności zmiennych
X 1, … , X n :
ESn = E (X1 + … + X n ) = EX1 + … + EX n = np.
Momenty rozkładu dwumianowego,
c.d.
• Wariancja rozkładu dwumianowego
n
D (Sn ) = ∑ P(Sn = k ) ⋅ (k − ESn )
2
2
k =0
n 
n−k
2
  k
= ∑  ⋅ p ⋅ (1 − p) ⋅ (k − np) = ?

k
k =0 
 
n
• Prościej - korzystamy z niezależności X1, …, X n
D2 (Sn ) = D2 (X1 + … + X n )
= D (X1 ) + … + D (X n ) = np (1 − p ).
2
2
Rozkład dwumianowy w praktyce
• Ubezpieczyciel posiada w portfelu n = 10000
ubezpieczonych od kradzieży samochodów na
terenie miasta X.
• Prawdopodobieństwo kradzieży samochodu
na terenie X wynosi p = 0.001.
• Sn ∼ Bin (10000, 0.001) jest rozkładem liczby
skradzionych samochodów.
10000

10000−k
k

P (Sn ≤ 10) = ∑ 
= ???
 0.001 ⋅ 0.999
k =0 
 k 
10
Przybliżenie rozkładem Poissona
Rozkład dwumianowy Bin(n,p)
Rozkład Poissona Poi (λ)
• Formuła
• Formuła
P (Y = k ) = e
n 
  k n −k
P (Sn = k ) =   p q
k 
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P(Sn = k)
4,52E-05
0,000452
0,002263
0,007549
0,018886
0,037795
0,063024
0,09007
0,112622
0,12516
0,125173
−λ
λ = np
P(Y=k)
4,54E-05
0,000454
0,00227
0,007567
0,018917
0,037833
0,063055
0,090079
0,112599
0,12511
0,12511
błąd względny przybliżenia
-0,50%
-0,40%
-0,31%
-0,23%
-0,16%
-0,10%
-0,05%
-0,01%
0,02%
0,04%
0,05%
k
λ
k!
Rozkład Poissona
Źródło: Wikipedia
Rozkład dwumianowy w praktyce, c. d.
• Ubezpieczyciel posiada w portfelu n = 1000
ubezpieczonych od kradzieży rowerów na
terenie miasta X.
• Prawdopodobieństwo kradzieży roweru na
terenie X wynosi p = 0.1.
• Sn ∼ Bin (1000, 0.1) jest rozkładem liczby
skradzionych rowerów.
1000

1000−k
k

P (Sn ≤ 100) = ∑ 
= ???
 0.1 ⋅ 0.9
k =0 
 k 
100
Przybliżenie rozkładem normalnym
• Przybliżenie rozkładem Poissona i rozkładem
normalnym
k
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
P(Sn = k)
0,037334
0,039106
0,040494
0,041458
0,04197
0,042017
0,041601
0,04074
0,039465
0,037821
0,03586
P(Y=k) błąd względny przybliżenia
0,036012
3,54%
0,037513
4,07%
0,038673
4,50%
0,039462
4,81%
0,039861
5,03%
0,039861
5,13%
0,039466
5,13%
0,038692
5,03%
0,037566
4,81%
0,036121
4,50%
0,034401
4,07%
k
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
P(Sn = k) Φ((k-np)/(npq)^.5) błąd względny przybliżenia
0,037334 0,036599077
1,97%
0,039106 0,038475552
1,61%
0,040494 0,040001298
1,22%
0,041458 0,041128022
0,80%
0,04197
0,041819233
0,36%
0,042017 0,042052209
-0,08%
0,041601 0,041819233
-0,53%
0,04074
0,041128022
-0,95%
0,039465 0,040001298
-1,36%
0,037821 0,038475552
-1,73%
0,03586
0,036599077
-2,06%
• Lepsze przybliżenie - rozkładem normalnym twierdzenie graniczne de Moivre’a – Laplace’a:
(S
n
− ESn ) / D (Sn ) ∼ N (0,1)
Przybliżenie rozkładem normalnym
c.d.
• Jeżeli chcemy obliczyć P (k1 ≤ Sn ≤ k2 ), to
stosujemy przybliżenie:
 k − np S − np k − np 
 1

P (k1 ≤ Sn ≤ k2 ) = P 
≤ n
≤ 2

 npq
npq
npq 
 k + 0.5 − np 
 k − 0.5 − np 
 2
 1

≈ Φ
 − Φ 
,




npq
npq
• gdzie Φ - dystrybuanta standardowego rozkładu
normalnego
x
1
−t 2 /2
Φ (x ) =
e
dt.
∫
2π −∞
Błąd dla przybliżenia rozkładem
Poissona i rozkładem normalnym
• Błąd bezwzględny przybliżenia rozkładu
dwumianowego rozkładem Poissona można
oszacować za pomocą wzoru
2
λ
P (Sn ∈ A) − P (Y ∈ A) ≤ .
n
• Błąd bezwzględny przybliżenia rozkładu
dwumianowego rozkładem normalnym można
oszacować za pomocą wzoru
 S − np

2
2

p
+
q
 n
P
≤ t  − Φ (t ) ≤
.
 npq
npq
