3.2. Równania i nierówności liniowe

3.2. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LINIOWE.
Rozwiązaniem równania (pierwiastkiem równania) z jedną niewiadomą nazywamy liczbę,
która spełnia dane równanie, tzn. jeśli w miejsce niewiadomej podstawimy tę liczbę, to
otrzymamy równość prawdziwą.
Przykład 3.2.1. Sprawdź , która z liczb -1,
(x − 3)2 − 6 − x = x(x − 1) .
4
jest rozwiązaniem równania
3
2
Rozwiązanie
(x − 3)2 − 6 − x = x(x − 1)
2
(− 1 − 3)2 − 6 − (− 1) = −1(− 1 − 1)
2
(− 4)2 − 6 + 1 = −1 ⋅ (− 2)
2
1
16 − 3 = 2
2
1
12 = 2
2
Odp. –1 nie jest rozwiązaniem równania.
(x − 3)2 − 6 − x = x(x − 1)
2
4
2 6−
4

3 = 4  4 − 1
 − 3 −


2
33 
3

18 4
−
2
4 9
3
3 = 16 − 4
 −  −
2
9 3
 3 3
14
2
5
16 12


−
−  − 3 =
2
9 9
 3
25 14 4
−
=
9
6 9
25 7 4
− =
9 3 9
25 21 4
−
=
9
3 9
4 4
=
9 9
4
Odp.
jest rozwiązaniem równania.
3
Komentarz
Sprawdzamy, czy –1 jest rozwiązaniem
równania . Za x podstawiamy –1 .
Po uproszczeniu otrzymujemy równość
fałszywą.
Zatem –1 nie jest rozwiązaniem równania.
4
jest rozwiązaniem
3
4
równania . Za x podstawiamy
.
3
Sprawdzamy, czy
Po uproszczeniu otrzymujemy równość
prawdziwą.
Zatem
4
jest rozwiązaniem równania.
3
Równanie liniowe z jedną niewiadomą
Równaniem liniowym z jedną niewiadomą x nazywamy równanie postaci ax + b = 0
a≠0
Warunki
Postać równania
ax + b = 0
Rozwiązania równania
jedno rozwiązanie:
x=
−b
a
Nazwa równania
równanie oznaczone
a = 0∧b ≠ 0
b=0
nie ma rozwiązania
równanie sprzeczne
a = 0∧b = 0
0=0
nieskończenie wiele
rozwiązań : x ∈ R
równanie toŜsamościowe
Przykład 3.2.2. RozwiąŜ równanie:
a) 6 x − 3 = 2 3 x + 3
Rozwiązanie
a) 6 x − 3 = 2 3 x + 3
6 x − 2 3x = 3 + 3
(
)
(
x 6− 2 3 = 3+ 3 / : 6− 2 3
x=
x=
x=
x=
Komentarz
)
3+ 3
6 − 2 3 /⋅ (6 + 2 3 )
(3 + 3 )(6 + 2 3 )
(6 − 2 3 )(6 + 2 3 )
Przenosimy wyraŜenia z niewiadomą na lewa
stronę , a stałe na prawą stronę. Przy
przenoszeniu wyraŜeń na drugą stronę
równania pamiętamy o zmianie znaku.
Wyznaczamy x dzieląc obie strony równania
przez współczynnik stojący przy niewiadomej.
Doprowadzamy wynik do najprostszej postaci.
Usuwamy niewymierność z mianownika ,
rozszerzając ułamek przez mianownik ze
zmienionym znakiem.
18 + 6 3 + 6 3 + 2 9
( )2
62 − 2 3
18 + 12 3 + 6
36 − 4 9
24 + 12 3
36 − 12
12 2 + 3
x=
24
2+ 3
x=
2
x=
(
)
Odp. Równanie ma jedno rozwiązanie :
2+ 3
2
W mianowniku stosujemy wzór skróconego
2
2
mnoŜenia: (a − b )(a + b ) = a − b
x + 2 2 − x x −1
+
=
2
3
6
Rozwiązanie
x + 2 2 − x x −1
b)
+
=
/⋅ 6
2
3
6
x+2
x −1
2− x
+ 6⋅
= 6⋅
6⋅
2
3
6
3( x + 2 ) + 2(2 − x ) = x − 1
b)
Komentarz
Obie strony równania mnoŜymy przez
wspólny mianownik 6.
Porządkujemy równanie , wykonując
mnoŜenie oraz przenosząc wyraŜenia z
niewiadomą na lewa stronę , a stałe na prawą
stronę.
Po redukcji wyrazów podobnych
otrzymujemy sprzeczność.
3x + 6 + 4 − 2 x = x − 1
3 x − 2 x − x = −1 − 6 − 4
0 = −11
Odp. Równanie nie ma rozwiązania.
c) (2 x + 5)2 − (2 x − 1)2 = 24( x + 1)
Rozwiązanie
Komentarz
c) (2 x + 5)2 − (2 x − 1)2 = 24( x + 1)
Usuwamy nawiasy , stosując wzory
skróconego mnoŜenia:
2
2
2
(2 x )2 + 2 ⋅ 2 x ⋅ 5 + 5 2 − ((2 x )2 − 2 ⋅ 2 x ⋅ 1 + 12 ) = 24 x + 24 (a + b ) = a + 2ab + b
4 x 2 + 20 x + 25 − (4 x 2 − 4 x + 1) = 24 x + 24
(a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2
4 x 2 + 20 x + 25 − 4 x 2 + 4 x − 1 = 24 x + 24
4 x 2 − 4 x 2 + 20 x + 4 x − 24 x = 24 + 1 − 25
0=0
Odp. Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań: x ∈ R
Porządkujemy równanie , przenosząc
wyraŜenia z niewiadomą na lewa
stronę , a stałe na prawą stronę.
Po redukcji wyrazów podobnych
otrzymujemy równość prawdziwą..
JeŜeli nierówność mnoŜymy przez liczbę ujemną , to następuje zmiana znaku nierówności.
JeŜeli nierówność mnoŜymy przez liczbę dodatnią , to znak nierówności pozostaje bez zmian.
Przykład 3.2.3. RozwiąŜ nierówność: (4 x + 1)(4 x − 1) − 4 x(4 x − 3) ≥ ( x − 1)( x + 13) − x 2
Rozwiązanie
Komentarz
nawiasy , wykonując mnoŜenie oraz
(4 x + 1)(4 x − 1) − 4 x(4 x − 3) ≥ (x − 1)(x + 13) − x 2 Usuwamy
stosując wzór skróconego mnoŜenia:
2
2
(4 x )2 − 12 − 16 x 2 + 12 x ≥ x 2 + 13x − x − 13 − x 2
(a − b )(a + b ) = a
2
2
2
16 x − 1 − 16 x + 12 x ≥ x + 13 x − x − 13 − x
2
2
2
2
16 x − 16 x − x + x + 12 x − 13 x + x ≥ −13 + 1
0 ≥ −13
Odp. x ∈ R
−b
2
Porządkujemy nierówność , przenosząc
wyraŜenia z niewiadomą na lewa stronę , a
stałe na prawą stronę
Po redukcji wyrazów podobnych
otrzymujemy nierówność prawdziwą..
Przykład 3.2.4. Wyznacz wszystkie liczby naturalne spełniające nierówność
− 2x + 3 x + 2
> −1
+
2
4
Rozwiązanie
− 2x + 3 x + 2
+
> −1
2
4
Komentarz
Obie strony nierówności mnoŜymy przez
wspólny mianownik 4 i pozbywamy się
ułamków.
− 2x + 3 x + 2
+
> −1 / ⋅ 4
2
4
x+2
− 2x + 3
4⋅
+ 4⋅
> −4
2
4
2(− 2 x + 3) + x + 2 > −4
− 4 x + 6 + x + 2 > −4
− 4 x + x > −4 − 6 − 2
− 3 x > −12 / : (− 3)
x<4
Porządkujemy nierówność , wykonując
mnoŜenie oraz przenosząc wyraŜenia z
niewiadomą na lewa stronę , a stałe na prawą
stronę. Wykonujemy redukcję wyrazów
podobnych.
Nierówność mnoŜymy przez liczbę ujemną ,
zatem zmieniamy znak nierówności.
Otrzymane rozwiązanie przedstawiany na osi
liczbowej i zapisujemy jako przedział.
x ∈ (− ∞,4)
Odp. Liczbami naturalnymi spełniającymi
nierówność są 0,1,2,3.
W odpowiedzi wypisujemy liczby naturalne
naleŜące do rozwiązanie nierówności.
Przykład 3.2.5. RozwiąŜ nierówność podwójną: x + 2 < 3 x + 4 ≤ 2 x + 5
x + 2 < 3x + 4 ≤ 2 x + 5
Rozwiązanie
Nierówność podwójną zapisujemy
jako układ nierówności.
 x + 2 < 3x + 4

3 x + 4 ≤ 2 x + 5
x + 2 < 3x + 4
x − 3x < 4 − 2
− 2 x < 2 / : (− 2)
x > −1
Komentarz
i
3x + 4 ≤ 2 x + 5
3x − 2 x ≤ 5 − 4
x ≤1
x ≤1
Rozwiązujemy nierówności z
układu.
Otrzymane rozwiązania
przedstawiany na osi liczbowej i
wyznaczamy ich część wspólną
x ∈ (− 1,1
Odp. Rozwiązaniem nierówności x + 2 < 3 x + 4 ≤ 2 x + 5
jest x ∈ (− 1,1
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 3.2.1. (2pkt.)RozwiąŜ równanie: x −
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
x −1 x − 3 x − 2
=
−
2
4
3
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie równania bez kresek ułamkowych.
1
2
Podanie rozwiązania równania.
1
Ćwiczenie 3.2.2. (2pkt.) RozwiąŜ nierówność: ( x + 4 )2 − 5(2 x − 3) ≤ ( x − 2 )2
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie nierówności bez nawiasów.
1
2
Podanie rozwiązanie nierówności, w postaci przedziału.
1
( x + 1)2 + 7 > ( x − 4 )2
Ćwiczenie 3.2.3. (3pkt.) RozwiąŜ układ nierówności 
(1 + x )2 + 3x 2 ≤ (2 x − 1)2 + 7
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie rozwiązania pierwszej nierówności.
1
2
Podanie rozwiązania drugiej nierówności.
1
3
Podanie rozwiązanie układu nierówności w postaci
przedziału.
1
Ćwiczenie 3.2.4. (5pkt.)Wyznacz zbiory A, B, A ∪ B, A ∩ B, A / B , jeśli
{
}
A = {x ∈ R : x − 2 ≤ 2( x + 3)}
B = x ∈ R : ( x − 1)2 + 6 > x 2 − 1
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Zapisanie zbioru A w postaci przedziału.
1
2
Zapisanie zbioru B w postaci przedziału.
1
3
Zapisanie zbioru
A ∪ B w postaci przedziału.
1
4
Zapisanie zbioru
A ∩ B w postaci przedziału.
1
5
Zapisanie zbioru A \ B w postaci przedziału.
1