Równanie kwadratowe

Równanie kwadratowe - przykłady.
Równaniem kwadratowym nazywamy równanie postaci: ax2+bx+c=0, gdzie a,b,cR  a0.
Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych:
1. Znajdujemy wyróżnik Δ równania kwadratowego, korzystając ze wzoru: Δ=b2-4ac
2. Analizujemy otrzymany wynik:
 Jeśli Δ<0, to równanie nie ma rozwiązań.
b
2a
[Wówczas równanie ax2+bx+c=0, gdzie a0 można zapisać w postaci iloczynowej: a(x-x0)2=0.]
 Jeśli Δ>0, to równanie ma dwa rozwiązania, które obliczamy ze wzoru:
b 
b 
x1 
x2 
2a
2a
2
[Wówczas równanie ax +bx+c=0, gdzie a0 można zapisać w postaci iloczynowej: a(x-x1)(x-x2)=0.]
 Jeśli Δ=0, to równanie ma jedno podwójne rozwiązanie, które obliczamy ze wzoru: x 0 
PRZYKŁADY
1. Rozwiąż równanie: -2x2+3x-5=0. Zapisz go w postaci iloczynowej.
o Wypisujemy współczynniki równania kwadratowego: a=-2, b=3, c=-5.
o Wyznaczamy wyróżnik równania:   b 2  4  a  c    3 2  4  (2)  (5)    9  40    31
o Δ =-31 czyli Δ<0, co oznacza, że dane równanie nie ma rozwiązania.
o Δ<0 co oznacza, że dane równanie nie da się zapisać w postaci iloczynowej.
2. Rozwiąż równanie: 4x2-4x+1=0. Zapisz go w postaci iloczynowej.
o Wypisujemy współczynniki równania kwadratowego: a=4, b=-4, c=1.
o Wyznaczamy wyróżnik równania:   (4) 2  4  4  1    16  16    0
o Δ=0, co oznacza, że dane równanie ma jedno podwójne rozwiązanie:
 (4)
b
4
1
x0 
 x0 
 x0   x0 
2a
24
8
2
1
o Dane równanie można zapisać w postaci a( x  x0 ) 2  0, czyli 4( x  ) 2  0.
2
3. Rozwiąż równanie: 2x2+3x+1=0. Zapisz go w postaci iloczynowej.
o Wypisujemy współczynniki równania kwadratowego: a=2, b=3, c=1.
o Wyznaczamy wyróżnik równania:   b 2  4  a  c    3 2  4  2  1    9  8    1
o Zatem Δ>0, co oznacza, że dane równanie ma dwa rozwiązania:
b 
3 1
 3 1
4
x1 
 x1 
 x1 
 x1 
 x1  1
2a
22
4
4
b 
3 1
 3 1
2
1
x2 
 x2 
 x2 
 x2 
 x2  
2a
22
4
4
2
o Dane równanie można zapisać w postaci a ( x  x1 )( x  x2 )  0 , czyli
1
1
2( x  ( 1))( x  ( ))  0  2( x  1)( x  )  0
2
2