Równanie Pitagorasa

WYŻSZA SZKOŁA PEDAGOGICZNA W ŁODZI
Studia Podyplomowe z Matematyki
Bernadeta Łącka
RÓWNANIE PITAGORASA
Praca dyplomowa
napisana pod kierunkiem
dra Piotra Pusza
Tarnów 2006
1
Serdeczne podziękowania
za pomoc oraz cenne wskazówki
przy pisaniu pracy dla dra Piotra Pusza
2
Spis treści:
1. Wstęp..............................................................................................................................3
2. Rozdział I
Równanie Pitagorasa.......................................................................................................4
3. Rozdział II
Szukanie rozwiązań, gdzie jedna z liczb jest parzysta a druga nieparzysta..........5
4. Rozdział III
Szukanie rozwiązań, gdzie x i y są kolejnymi liczbami .......................................10
5. Literatura........................................................................................................................12
3
Wstęp
Matematyka jest jedną z najstarszych dziedzin wiedzy ludzkiej, dawniej rozumiana
była jako nauka o liczbach i figurach geometrycznych. Nauka ta rozpada się na szereg
działów.
Praca inspirowana
jest głównie
na
podstawie książki
Wacława Sierpińskiego
związanej z elementami teorii liczb, a szczególnie z własnościami
liczb całkowitych.
Celem pracy jest przybliżenie zagadnień związanych z równaniem Pitagorasa.
Rozdział pierwszy poświęcony jest równaniu Pitagorasa w ujęciu ogólnym. Drugi
rozdział zajmuje się szukaniem rozwiązań, w przypadku, gdy jedna z liczb jest
parzysta a druga nieparzysta. Trzeci rozdział
natomiast zajmuje się szukaniem
rozwiązań równania dla liczb kolejnych.
W
poszczególnych
rozdziałach
zawarte
są
twierdzenia,
dowody,
wzory
oraz
przykłady dotyczące rozwiązań danego równania.
4
Rozdział I
Równanie Pitagorasa
Równanie drugiego stopnia o postaci
x²+y²=z² {1}
występuje pod nazwą równania Pitagorasa i gra, jak wiadomo, podstawową rolę w
trygonometrii i geometrii analitycznej.
Wyłączymy rozwiązania oczywiste, w których jedna z liczb x, y jest zerem, z
pozostałych rozwiązań możemy się ograniczyć tylko do
rozwiązań w liczbach
naturalnych, gdyż zmiana znaku przy niewiadomych nie zmienia samego równania.
Przypuśćmy, że x, y, z jest rozwiązaniem równania x ² + y ² = z ² w liczbach naturalnych
( [ 4 ] str. 127 ). Niech d = ( x, y ); istnieją więc takie liczby naturalne ‫ ع‬i η, że x = d ‫ع‬
y = d η ; stąd wobec równania { 1 } wynika, że d²│ z², d│z. Istnieje zatem taka liczba
naturalna ζ , że z = d ζ . Z równania { 1 } wynika więc, że:
{ 2}
² ζ = ² η + ²‫ع‬
gdzie ( ‫ع‬, η ) = 1.
Więc każde rozwiązanie równania { 2 }, w którym ( ‫ع‬, η ) = 1, nazywać będziemy
rozwiązaniem właściwym równania { 1 }.
Aby więc otrzymać wszystkie rozwiązania równania { 1 } w liczbach naturalnych,
należy wyznaczyć wszystkie rozwiązania właściwe ‫ع‬, η, ζ tego równania, a następnie
pomnożyć liczby ‫ع‬, η, ζ przez dowolną liczbę naturalną d.
5
Rozdział II
Szukanie rozwiązań, gdzie jedna z liczb jest parzysta a druga
nieparzysta
Zajmiemy
się teraz
szukaniem
wszystkich
rozwiązań
właściwych
Pitagorasa o postaci x ² + y ² = z ² . Przypuśćmy zatem, że x, y, z
równania
jest rozwiązaniem
równania { 1 }, gdzie ( x, y ) = 1, wobec czego liczby x i y nie mogą być obie
parzyste. Nie mogą one też być nieparzyste, gdyż wówczas kwadraty ich miałyby
postać 4 k + 1; zatem liczba
z ² = x ² + y ² miałaby postać 4 k + 2, co jest niemożliwe,
gdyż kwadrat liczby parzystej jest podzielny przez 4. Z liczb x i y jedna więc musi
być parzysta, a druga nieparzysta ( [ 5 ] , str. 29 ). Natomiast jeżeli zmienimy porządek
niewiadomych, możemy założyć, że y jest liczbą parzystą, zaś x - nieparzystą,
wówczas wszystkie pozostałe rozwiązania właściwe otrzymamy przez zamianę liczb x i
y. Wówczas z równania { 1 } wynika, że liczba z jest nieparzysta; zatem liczby z – x
oraz z + x są parzyste. Zakładając, że a i b są liczbami naturalnymi mamy
z + x = 2 a,
z–x=2b
{ 3}
i wówczas ze wzorów { 3 } otrzymujemy
z = a + b,
x=a–b {4}
Z powyższych wzorów wynika, że gdyby δ│a
i
δ│b, to
δ│z i
δ│x; zatem
δ ²│ z ² - x ², czyli wobec równania { 1 } również δ ²│ y ², skąd δ│y. A więc δ│x oraz
δ│y i
z ( x, y ) = 1, wynika, że nie może być δ > 1. Mamy więc ( a, b ) = 1.
Ze wzoru x ² + y ² = z ²
oraz
z + x = 2 a,
z–x=2b
y²=z ²–x²=4ab
otrzymujemy
{5 }
Przyjęliśmy, że y jest liczbą parzystą, więc y = 2 c, gdzie c jest liczbą naturalna, więc
ze wzoru { 5 } wynika
c²=ab
{6}
Z kolei dowodzi to, że liczby a i b są kwadratami liczb naturalnych: a = m ², b = n ².
Więc wobec wzoru { 4 } mamy
z = m ² + n ²,
x=m²- n²
Natomiast ze wzoru { 6 } wynika, że c ² = m ² n ²,
{7}
czyli c = m n, więc wobec y = 2 c
otrzymujemy
y=2mn
{8}
6
Dowiedliśmy więc, że jeżeli x, y, z jest rozwiązaniem właściwym równania x ² + y ² = z ²
i
y jest liczbą parzystą, m i n są liczbami naturalnymi, to musi być
x=m²- n²,
y = 2 m n,
z=m²+n²
{9}
Liczby m i n są względnie pierwsze, gdyż takimi są liczby a = m ²
i b = n ².
Liczby m i n nie mogą być obie parzyste, bo nie byłyby względnie pierwsze; nie
mogą też być obie nieparzyste, bo wtedy liczby { 9 } byłyby parzyste, wbrew
założeniu, że
( x, y ) = 1. Wynika także, że m > n, gdyż x jest liczbą naturalną. Jedna
więc z liczb m i n musi być parzysta, a druga nieparzysta.
Zakładając natomiast, że m i n < m są liczbami naturalnymi względnie pierwszymi i
jedna, którakolwiek z nich jest parzysta, a druga nieparzysta, to wyznaczając x, y, z
ze wzorów { 9 } otrzymujemy rozwiązania właściwe równania x ² + y ² = z ².
Liczby x, y, z wyznaczone ze wzorów { 9 } są, wobec m > n, naturalne i wobec
tożsamości
(m²- n²)²+(2mn)²=(m²+n²)²
spełniają równanie { 1 }. Jeżeli ( m, n ) = 1, to także ( x, y ) = 1. Gdy bowiem ( x, y ) = δ ,
to δ│x, δ│y, a ponieważ x = m ² - n ² jest liczbą nieparzystą ( bo z liczb m i n jedna
jest parzysta, a druga nieparzysta ), więc δ jest liczbą nieparzystą.
Ze wzorów { 9 } mamy więc
2 m ² = x + z,
2n²=z–x
Ponieważ δ│x i δ│y, więc zgodnie z równaniem { 1 } również δ│z, zatem δ│ 2 m ²
i δ│2 n ², skąd wobec nieparzystości δ wynikałoby δ│ m ² i
δ│ n ². Z ( m, n ) = 1
otrzymujemy ( m ², n ² ) = 1, więc musi być δ = 1. Wynika z tego, że rozwiązania x, y, z
równania { 1 } jest więc właściwe.
Ze wzorów 2 m ² = x + z,
2 n ² = z – x wynika, że różnym układom m, n odpowiadają
różne rozwiązania x, y, z równania x ² + y ² = z ².
Uzyskane więc wyniki możemy sformułować jako
Twierdzenie 1
( [ 5 ], str. 30 )
Wszystkie rozwiązania właściwe równania x ² + y ² = z ², w których y jest liczbą
parzystą, otrzymujemy ze wzorów x = m ² - n ² ,
y = 2 m n,
z = m ² + n ² , biorąc za
m, n wszystkie pary liczb naturalnych względnie pierwszych, w których jedna z liczb
m, n jest parzysta, a druga nieparzysta, i w których m > n. Każde rozwiązanie
właściwe równania { 1 } otrzymujemy w ten sposób tylko jeden raz.
7
Aby więc wszystkie te rozwiązania wypisać kolejno, możemy brać za m kolejne
wartości 2, 3, 4, ..... i dla każdej z nich brać za n kolejno wszystkie liczby naturalne
mniejsze od m i pierwsze względem m, przy czym, w razie nieparzystego m, tylko
parzyste, w razie parzystego m - tylko nieparzyste.
Obliczenia:
x=m²- n²,
y = 2 m n,
z=m²+n²
dla: m = 2
n=1
x=2²–1²=4–1=3
y=2·2·1=4
z = 2 ² + 1 ² = 4 +1 = 5
dla: m = 3
n=2
x=3²–2²=9–4=5
y = 2 · 3 · 2 = 12
z = 3 ² + 2 ² = 9 + 4 = 13
dla: m = 4
n=1
x = 4 ² – 1 ² = 16 – 1 = 15
y=2·4·1=8
z = 4 ² + 1 ² = 16 +1 = 17
dla: m = 4
n=3
x = 4 ² – 3 ² = 16 – 9 = 7
y = 2 · 4 · 3 = 24
z = 4 ² + 3 ² = 16 + 9 = 25
8
dla: m = 5
n=2
x = 5 ² – 2 ² = 25 – 4 = 21
y = 2 · 5 · 2 = 20
z = 5 ² + 2 ² = 25 + 4 = 29
dla: m = 5
n=4
x = 5 ² – 4 ² = 25 – 16 = 9
y = 2 · 5 · 4 = 40
z = 5 ² + 4 ² = 25 + 16 = 41
dla: m = 6
n=1
x = 6 ² – 1² = 36 – 1 = 35
y = 2 · 6 · 1 = 12
z = 6 ² + 1² = 36 + 1 = 37
dla: m = 6
n=5
x = 6 ² – 5 ² = 36 - 25 = 11
y = 2 · 6 · 5 = 60
z = 6 ² + 5 ² = 36 + 25 = 61
dla m = 7
n=2
x = 7 ² – 2 ² = 49 – 4 = 45
y = 2 · 7 · 2 = 28
z = 7 ² + 2 ² = 49 + 4 = 53
dla: m = 7
n=4
x = 7 ² - 4 ² = 49 – 16 = 33
y = 2 · 7 · 4 = 56
z = 7 ² + 4 ² = 49 + 16 = 65
9
Oto tabela dziesięciu pierwszych, obliczonych w ten sposób, rozwiązań:
m
n
x
y
z
2
1
3
4
5
3
2
5
12
13
4
1
15
8
17
4
3
7
24
25
5
2
21
20
29
5
4
9
40
41
6
1
35
12
37
6
5
11
60
61
7
2
45
28
53
7
4
33
56
65
Warto dodać, że otrzymane tutaj trójki liczb x, y, z noszą nazwę „ trójek
pitagorejskich „ i ich wielokrotności otrzymane przez pomnożenie każdej takiej trójki
liczb przez dowolną liczbę naturalną dodatnią tworzy również trójkę pitagorejską.
10
Rozdział III
Szukanie rozwiązań równania, gdzie x i y są kolejnymi
liczbami
Twierdzenie 2 ( [ 4 ], str. 130 )
Istnieje nieskończenie wiele rozwiązań równania x ² + y ² = z ², w liczbach naturalnych
x, y, z, gdzie x i y są kolejnymi liczbami.
Dowód
Przykładem takiego rozwiązania są liczby: x = 3, y = 4, z = 5. Przypuśćmy, że x, y, z
jest takim rozwiązaniem równania x ² + y ² = z ² w liczbach naturalnych, że y = x + 1.
Niech
{ 01 }
2+z3+x4=ζ
,1+ ‫ = ع‬η
,1 + z 2 + x 3 = ‫ع‬
Jak łatwo sprawdzić,
² ( 1 + ‫ ) ع‬+ ²‫ع‬- ζ ² = x ² + ( x + 1 ) ² - z ²,
a ponieważ z założenia mamy x ² + ( x + 1 ) ² = z ², więc ‫ع‬² + η ² = ζ ².
Zatem mając rozwiązanie równania { 1 } w liczbach naturalnych x, y, z, gdzie liczby x
i y
są kolejne, możemy wyznaczyć podobne rozwiązanie w liczbach
naturalnych
większych. Wynika stąd, że rozwiązań takich jest nieskończenie wiele i twierdzenie 2
zostało udowodnione.
Przykładowo z równania
3 ² + 4 ² = 5 ² możemy uzyskać kolejne rozwiązania za
pomocą wzorów { 10 }.
Dla: x = 3, y = 4, z = 5
2+z3+x4=ζ
92 = 2 + 5 · 3 + 3 · 4 = ζ
1+ ‫ = ع‬η
12 = 1 + 02 = η
1+z2+x3=‫ع‬
02 = 1 + 5 · 2 + 3 · 3 = ‫ع‬
Mamy więc równanie 20 ² + 21 ² = 29 ²
Dla: x = 20, y = 21, z = 29
2+z3+x4=ζ
4=ζ
021 = 1+ 911 = η
1+ ‫ = ع‬η
1+z2+x3=‫ع‬
911 = 1 + 92 · 2 + 02 · 3 = ‫ · ع‬20 + 3 · 29 + 2 = 169
Stąd rozwiązanie 119 ² + 120 ² = 169 ²
11
Dla: x = 119, y = 120, z = 169
2+z3+x4=ζ
1+ 696 = η
1+ ‫ = ع‬η
696 = 1 + 961 · 2 + 911 · 3 = ‫ = ع‬697
1+z2+x3=‫ع‬
ζ = 4 · 119 + 3 · 120 + 2 = 985
Otrzymaliśmy równanie 696 ² + 697 ² = 985 ²
Dla: x = 696, y= 697, z = 985
2+z3+x4=ζ
89 · 2 + 696 · 3 = ‫ع‬5 + 1 = 4059
1+ ‫ = ع‬η
η = 4059 +1 = 4060
1+z2+x3=‫ع‬
ζ = 4 · 696 + 3 · 985 + 2 = 5741
Mamy więc równanie 4059 ² + 4060 ² = 5741 ²
Tym oto sposobem możemy otrzymać wszystkie rozwiązania równania
x²+y²=z²
w liczbach naturalnych x, y, z, gdzie x i y są kolejnymi liczbami.
12
Literatura
[ 1 ] Drążek A., Grabowska B., Szadkowska Z., Matematyka 8. Repetytorium
ośmioklasisty, WSiP, Warszawa 1997
[ 2 ] Encyklopedia matematyki, WSiP, Warszawa 1992
[ 3 ] Encyklopedia popularna, PWN, Warszawa 1982
[ 4 ] Sierpiński Wacław, Arytmetyka teoretyczna, PWN, Warszawa 1968
[ 5 ] Sierpiński Wacław, Wstęp do teorii liczb, WSiP, Warszawa 1987
13