Okrąg wpisany w trójkąt

KONIEC
FIGURY
geometryczne
WSZYSTKO CO POWINIENEŚ
O NICH WIEDZIEĆ…
Spis treści
• Prostokąt
• Kwadrat
• Trójkąt
- okręgi wpisane i opisane na trójkącie
- przystawanie
- podobieństwo
- twierdzenie Pitagorasa
• Trapez
• Okrąg
• Podobieństwo figur
• Praktyczne zastosowanie wiedzy o figurach
wstecz
SPIS TREŚCI
Prostokąt
Prostokąt to czworokąt o wszystkich kątach prostych i
o dwóch parach równoległych boków tej samej
długości.
D
b
A
a
C

a
b
B
IACI=IBDI=d
W prostokącie przekątne są równe i dzielą
się na połowy.
Obliczanie obwodu i pola
prostokąta
Obwód prostokąta obliczamy mnożąc przez
siebie długości jego boków.
Obw. = 2a + 2b
Pole powierzchni kwadratu obliczamy mnożąc długość
pierwszego boku przez długość drugiego boku.
Wynik podajemy w j2.
P=axb
lub
P
1 2
d sin 
2
Kwadrat
Kwadrat to szczególny rodzaj prostokąta o równych
bokach oraz rombu o równych kątach.
Cechy:
- Wszystkie boki równe
- Przystające kąty (każdy
ma 90 stopni)
- Prostopadłe do siebie
przekątne d o równej
długości
- Posiada cztery osie
symetrii
D
a
a
A
C
a
a
IACI=IBDI=d
B
Wzór na przekątną:
d a 2
D
C
Wzór na promień okręgu
opisanego na kwadracie:
a
R
1
a 2
R d 
2
2
r
A
B
Wzór na promień okręgu
wpisanego:
1
r a
2
Obliczanie obwodu i pola
kwadratu
Obwód kwadratu obliczamy mnożąc
przez siebie długości jego boków.
Obw. = 2a+2a
Pole powierzchni kwadratu obliczamy mnożąc długość
pierwszego boku przez długość drugiego boku. Wynik
podajemy w j2.
D
P=
a2
1
P  d2
2
C
a
R
r
A
B
P = 2R2
lub
P = 4r2
Trójkąt
Trójkąt to figura geometryczna o trzech
niewspółliniowych wierzchołkach.
Boki trójkąta to odcinki łączące wszystkie trzy pary
wierzchołków.
Suma rozwartości jego kątów wewnętrznych wynosi
180 stopni.
C
      180o

  ab
b

  ab
A
a
hc

c
W każdym trójkącie naprzeciw większego kąta
leży dłuższy bok.
B
Podział trójkątów ze względu na
boki:
C
-trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości.



B
A
C
-trójkąt równoramienny ma
dwa
 bokiatej samej długości.
a

A

B
b
C
-trójkąt równoboczny ma wszystkie
trzy boki tej samej
długości.
60 o
a
a
A
60 o
60 o
a
B
Podział trójkąta ze względu na kąty:
-trójkąt ostrokątny, którego
wszystkie kąty wewnętrzne
są ostre.
-trójkąt prostokątny to taki,
w którym jeden z kątów
wewnętrznych jest prosty
(90° lub π/2). Boki tworzące
kąt prosty nazywamy
przyprostokątnymi,
pozostały bok to
przeciwprostokątna.
-trójkąt rozwartokątny,
którego jeden kąt
wewnętrzny jest rozwarty.
Obliczanie obwodu i pola trójkąta
dowolnego
Obwód trójkąta obliczamy dodając do siebie
długości jego boków.
C
Obw. = a + b + c
a
b
A
c
B
Pole trójkąta uzyskujemy dzieląc iloczyn podstawy i
wysokości rzuconej na tą podstawę przez dwa.
P
c * hc
a * ha
b * hb


2
2
2
1
1
1
P  bc * sin   ab * sin   ac * sin 
2
2
2
lub
Okrąg wpisany w trójkąt:
C
Dwusieczne kątów
wewnętrznych trójkąta
przecinają się w punkcie,
który jest środkiem okręgu
wpisanego w ten trójkąt.
r
A
B
Okrąg opisany na trójkącie:
C
R
O
A
B
Symetralne boków trójkąta
przecinają się w punkcie, który
jest środkiem okręgu
opisanego na trójkącie.
Promień okręgu wpisanego w trójkąt dowolny
P
, gdzie _ P  pole
p
obw
p
2
r 
C
2P
r
obw
r
A
B
Promień okręgu opisanego na trójkącie dowolnym
C
abc
R
4P
a
b
A
R
c
B
R
a
b
c


2 sin  2 sin  2 sin 
Okrąg wpisany w trójkąt równoboczny
C
1
a 3
r h
3
6
a 3
h
2
a
a
r
B
A
a
Okrąg opisany na trójkącie równobocznym
C
2
a 3
R h
3
3
a
R
a
B
A
a
Okrąg wpisany i opisany na trójkącie prostokątnym
Promień okręgu opisanego na trójkącie
B
R
r
a
r
r
A
b
C
Promień okręgu wpisanego w trójkąt
P
ab
abc
r 
r
p abc
2
c
R
2
Cechy przystawania trójkątów
- BBB. Jeśli trzy boki jednego
trójkąta są odpowiednio równe
trzem bokom drugiego
trójkąta.
C

a
b


B
c
A
C'
'
a'
b'
'
'
A'
c'
B'
ABC  A' B' C'
- BKB. Jeśli dwa boki i kąt
między nimi zawarty w jednym
trójkącie są odpowiednio
równe dwóm bokom i kątowi
między tymi bokami w drugim
trójkącie.
- KBK. Jeśli bok i dwa leżące
przy nim kąty w jednym
trójkącie są odpowiednio
równe bokowi i dwóm leżącym
przy nim kątom w drugim
trójkącie.
Cechy podobieństwa trójkątów
C
- BBB. Jeśli trzy boki jednego
trójkąta są proporcjonalne do
trzech boków drugiego
trójkąta.
- BKB. Jeśli dwa boki jednego
trójkąta są proporcjonalne do
dwóch boków drugiego
trójkąta i kąty zawarte między
tymi bokami są równe.
- KKK. Jeśli kąty jednego
trójkąta są odpowiednio równe
kątom w drugim trójkącie.

a
b


B
c
A
C'
'
a'
b'
'
'
A'
c'
ABC ~ A' B' C'
B'
Trójkąt prostokątny
    90 o
a
c
b
c
a
b
b
a
B
 sin 
c
 cos 
a
 tg
h

 ctg
C
b
Twierdzenie Pitagorasa
Kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie
kwadratów długości obu przyprostokątnych
c2  a2  b2
A
Trapez
Trapez jest to czworokąt, który posiada dwa
równoległe boki zwane podstawami. Dwa pozostałe
boki zwane są ramionami.
D
b


d
h

A
C
c

a
    180o ,     180o
B
Wśród trapezów wyróżniamy:
•
trapezy równoramienne - ramiona tej samej długości
D
b

e
c
h
c
a
E
B
F
Pole trapezu równoramiennego:
•
a b
2
Jeżeli trapez równoramienny
nie jest równoległobokiem, to
można na nim opisać okrąg


A
BF  AE 
C
P
1 2
e sin 
2
trapezy prostokątne - co najmniej dwa kąty proste.
D
b
C
Jeżeli jedno z ramion trapezu
jest prostopadłe do jego
podstaw, to taki trapez
nazywamy trapezem
prostokątnym
c
h=d
A
a
E
B
Kwadrat i prostokąt są trapezami
prostokątnymi
Obliczanie obwodu i pola
trapezu
Obwód trapezu obliczamy dodając do siebie długości jego
boków.
Obw = a+b+c+d
•Pole trapezu oblicza się w następujący sposób:
D
b
N
M
A
( a  b) h
P
2
C
a
B
P  mh, gdzie _ m  MN
D
M
b
C

N
M1
N1
a
A
B
M, N – środki ramion trapezu
m – długość linii środkowej
trapezu
M1, N1 – środki przekątnych
trapezu
Linia środkowa trapezu
p – połowa obwodu trapezu
P – pole trapezu
MN 
ab
2
Odcinek łączący środki przekątnych trapezu
M 1 N1 
a b
, gdy _ a  b
2
MN AB
Okrąg
Okręgiem o środku O i promieniu r (r>0) nazywamy
zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od
punktu O są równe r.
O
r
Cięciwą okręgu nazywamy odcinek łączący dwa
dowolne punkty okręgu.
Średnicą okręgu nazywamy każdą cięciwę
przechodzącą przez środek okręgu.
Promieniem okręgu nazywamy każdy z odcinków
łączących środek okręgu z dowolnymi jego punktem
Pole koła
P  r
2
Długość okręgu
l  2r
Łukiem okręgu nazywamy każdy z odcinków łączących
środek okręgu z dowolnym jego punktem.
ł – długość łuku ACB
ł

180
o
r
B
O
r
r
C
A
Pierścieniem kołowym nazywamy część płaszczyzny
ograniczoną dwoma współśrodkowymi okręgami o
promieniach R i r
R-r – szerokość pierścienia

r
O
R-r
P   (R  r )
2
2
Podobieństwo figur
A
A’
B
B’
Podobieństwem o skali k>0 , nazywamy przekształcenie płaszczyzny,
które dowolnej parze punktów A i B przyporządkowuje punkty A’ i B’
takie, że IA’B’I=k*IABI.
Własności podobieństw:
-Przekształcenie tożsamościowe jest podobieństwem o skali k=1
-Przekształcenie odwrotne do podobieństwa o skali k jest
podobieństwem o skali 1/k
-Złożenie dwu podobieństw o skalach k1 i k2 jest podobieństwem o
skali k1*k2.
Podobieństwo zachowuje:
-Współliniowość punktów
-Uporządkowanie punktów na prostej
-Miary kątów
-Stosunek długości odpowiednich punktów
Własności figur podobnych
Jeśli istnieje podobieństwo o skali k>0 , przekształcające figurę f
na figurę g, to figury f i g nazywamy podobnymi w skali k i
oznaczamy f~g, wówczas:
-stosunek obwodów figur f i g, podobnych w skali k, jest równy k
-stosunek pól figur f i g jest równy k2
-stosunek objętości figur f i g jest równy k3
Praktyczne zastosowanie
wiedzy o figurach
-Niezbędna przy planowaniu zakupu
np. siatki na ogrodzenie ogrodu lub
odpowiedniej ilości płytek, paneli
podłogowych i ściennych,
wykładziny, tapety itp.
-Przy pracach projektowych,
budowlanych i technicznych.
Wykonał:
Dziękujemy za
Rafał Drgas
uwagę
oraz
Przemysław Wielgosik