Wstęp do teorii grafów. Drzewa. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji

Wstęp do teorii grafów. Drzewa.
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji (wykład III, 17.05.2007 r.)
Podstawowe klasy grafów
Kn - graf pełny o n wierzchołkach - każda para wierzchołków tworzy krawędź
On - graf pusty o n wierzchołkach - E(On ) = ∅
Pn - ścieżka o n wierzchołkach - V (Pn ) = {v1 , v2 , . . . , vn }, E(Pn ) = {vi vi+1 : i = 1, 2, . . . , n − 1}
Cn - cykl o n wierzchołkach - V (Cn ) = {v1 , v2 , . . . , vn }, E(Cn ) = {vi vi+1 : i = 1, 2, . . . , n − 1} ∪ {v1 vn }
Podstawowe klasy grafów - cd.
G - graf dwudzielny – graf, którego wierzchołki można podzielić na dwa niepuste podzbiory X i Y tak, że G[X] i
G[Y ] są grafami pustymi
Kn,m - pełny graf dwudzielny – |X| = n, |Y | = m, każdy wierzchołek z X jest połączony ze wszystkimi wierzchołkami
zY
graf k-regularny – z każdego wierzchołka wychodzi dokładnie k krawędzi
G - dopełnienie grafu G – V (G) = V (G); uv ∈ E(G) ⇐⇒ uv 6∈ E(G)
Izomorfizm grafów
Izomorfizm pomiędzy grafami G i H – bijekcja f : V (G) −→ V (H) taka, że uv ∈ E(G) ⇐⇒ f (u)f (v) ∈ E(H).
Jeżeli istnieje izomorfizm pomiędzy grafami G i H, to grafy te nazywamy izomorficznymi.
Jeżeli grafy G i H są izomorficzne, to |V (G)| = |V (H)| i |E(G)| = |E(H)|.
Izomorfizm zachowuje też ciąg stopni wierzchołków i ogólnie strukturę grafu.
Spójność
G graf spójny – każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką
składowa grafu – maksymalny w sensie zawierania podgraf spójny danego grafu
odległość między wierzchołkami u i v – długość najkrótszej ścieżki o końcach u i v; jeśli taka ścieżka nie istnieje
przyjmujemy, że odległość wynosi ∞
TW. Niech G będzie grafem o n wierzchołkach i k składowych spójności. Wówczas
n − k 6 |E(G)| 6 (n−k)(n−k+1)
.
2
WN. Każdy graf o n wierzchołkach i więcej niż
(n−1)(n−2)
2
krawędziach jest spójny.
Drzewa
Drzewo – graf spójny bez cykli
Las – graf, w którym każda składowa spójności jest drzewem
Liść – wierzchołek o stopniu 1
Niektóre własności drzew
TW. W drzewie istnieje dokładnie jedna ścieżka łącząca dwa dowolne wierzchołki.
TW. Każde drzewo, które ma co najmniej dwa wierzchołki, ma co najmniej dwa liście.
TW. Drzewo o n wierzchołkach ma dokładnie n − 1 krawędzi.
Własności drzew - cd.
1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
TWIERDZENIE
Następujące warunki są równoważne dla grafu T
T jest drzewem;
T nie zawiera cykli i ma n − 1 krawędzi;
T jest spójny i ma n − 1 krawędzi;
T jest minimalnie spójny, tzn. usunięcie dowolnej krawędzi rozspaja graf;
każde dwa wierzchołki T są połączone dokładnie jedną ścieżką;
T jest maksymalnie acykliczny, tzn. dodanie dowolnej krawędzi powoduje powstanie cyklu.
Liczba drzew oznaczonych
TWIERDZENIE (Cayley)
Jest nn−2 drzew na zbiorze wierzchołków {1, 2, . . . , n}.
Drzewa ukorzenione
Korzeń - jeden wyróżniony wierzchołek w drzewie
Jeżeli wierzchołki dwa leżą na jednej ścieżce o początku w korzeniu drzewa, to wierzchołek leżący bliżej korzenia
nazywamy przodkiem, a wierzchołek leżący dalej nazywamy potomkiem. Jeżeli odległość między tymi wierzchołkami
wynosi 1, to jest to odpowiednio rodzic i dziecko.
Drzewo m-arne - każdy rodzic ma co najwyżej m dzieci
Drzewo binarne - drzewo 2-arne
Regularne drzewo m-arne - każdy rodzic ma dokładnie m dzieci
Numer poziomu wierzchołka u - długość ścieżki od korzenia do wierzchołka u
Wysokość drzewa - największy numer poziomu wierzchołka
Pełne drzewo m-arne - regularne drzewo m-arne, w którym każdy liść ma ten sam poziom
Parametry dla drzew ukorzenionych
n - liczba wierzchołków drzewa m-arnego
minimalna liczba liści – 1 (ścieżka)
maksymalna liczba liści – b m(n−1)+1
c (pełne drzewo m-arne)
m
maksymalna wysokość drzewa – n − 1 (ścieżka)
minimalna wysokość drzewa – dlogm (n(m − 1) + 1) − 1e (pełne drzewo m-arne)
Drzewa poszukiwań
Dany jest zbiór (X, ρ) uporządkowany liniowo.
Drzewo poszukiwań - drzewo binarne, w którym wierzchołkami są elementy zbioru X, zaś krawędzie w drzewie
występują w taki sposób, że na lewo od każdego wierzchołka są zawsze elementy wcześniejsze od niego względem
porządku ρ, zaś na prawo późniejsze.
Szukamy drzewa o minimalnej wysokości
|X| = n
h = dlog2 (n + 1) − 1e
2