Zadania domowe z teorii liczb 2 2011-2012

Zadania domowe z teorii liczb 2 2011-2012
Grupa 1
1. do 24.11 Niech 𝑎𝑛 bedzie ostatnią niezerową cyfrą rozwinięcia dziesiętnego liczby 𝑛! . Udowodnić, że liczba 2.𝑎1 𝑎2 𝑎3 ... jest niewymierna.
2. do 24.11 Wyznacz wszystkie pary (𝑎, 𝑏) liczb całkowitych dodatnich, takich że 𝑎 ∕= 𝑏, 𝑏2 + 𝑎 =
𝑝𝑚 , gdzie 𝑝 jest liczbą pierwszą a m naturalną) oraz 𝑏2 + 𝑎∣𝑎2 + 𝑏.
Grupa 2
1. do 24.11 Nieskończony ciąg arytmetyczny zawiera kwadrat jakiejś liczby całkowitej oraz sześcian
jakiejś liczby całkowitej (nie zakładamy, ze to ta sama liczba). Pokazać, ze ciąg ten zawiera szóstą
potęgę liczby całkowitej.
2. do 24.11 Niech 𝑓 (𝑥) będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Zdefiniujemy ciąg
𝑎𝑛 ,
𝑎0 = 0, 𝑎𝑛+1 = 𝑓 (𝑎𝑛 ), 𝑛 ≥ 0.
Udowodnić, że jeśli istnieje liczba całkowita 𝑚 , taka że 𝑎𝑚 = 0 , to 𝑎1 = 0 lub 𝑎2 = 0 .