g о F о F о gR V = R R R GMR mL + = 2 g r R T = l m m m d + =

VII
Zad. 1 (W). Z jaką minimalną prędkością naleŜy wyrzucić ciało pionowo do góry, aby
wzniosło się na wysokość R nad powierzchnię Ziemi równą promieniowi Ziemi? Znany jest
promień Ziemi R oraz wartość przyspieszenia ziemskiego g. Odp. V = gR
Zad. 2 (W). Obliczyć o ile wzrasta energia całkowita pocisku znajdującego się początkowo w
spoczynku na powierzchni Ziemi po umieszczeniu go na kołowej orbicie okołoziemskiej o
promieniu 3R, gdzie R oznacza promień Ziemi. Masa pocisku wynosi m. Oprócz wartości R i
m znana jest ponadto wartość przyspieszenia ziemskiego na powierzchni Ziemi g. Za energię
5
całkowitą przyjąć sumę energii kinetycznej i potencjalnej pocisku. Odp. ∆E = mgR
6
Zad. 3. Znaleźć całkowitą energię mechaniczną planety o masie m poruszającej się wokół
gwiazdy o masie M po elipsie o długości duŜej półosi elipsy równej a. Znana jest stała
GMm
grawitacji G. Odp. E = −
2a
Zad. 4. Planeta o masie m znacznie mniejszej od masy Słońca M porusza się po elipsie, w
ognisku której znajduje się Słońce (przybliŜenie słuszne z uwagi na warunek m<<M).
Najmniejsza odległość planety od Słońca wynosi RP, a największa RA, zaś stała grawitacji
wynosi G. Ile wynosi wartość momentu pędu tej planety względem środka Słońca?
2GMRP R A
Odp. L = m
(R P + R A )
Zad. 5 (W). Sztuczny satelita krąŜy ze stałą prędkością kątową dookoła Ziemi po orbicie
kołowej o promieniu r. Obliczyć okres obiegu satelity. Znana jest wartość przyspieszenia
2π r 3
ziemskiego g oraz promień Ziemi R. Odp. T =
R g
Zad. 6 (W). Dwaj wędkarze o masach m1 i m2 siedzą odpowiednio na dziobie i rufie łodzi o
masie m0. O ile przesunie się łódź, jeśli zamienią się miejscami? Odległość miedzy
wędkarzami wynosi l, opór wody przy ruchu łódki pomijamy. Odp. d =
m2 − m1
m1 + m2 + m0
l
Zad. 7 (W). Na końcu początkowo pozostającej w spoczynku łódki, znajdującej się na
wodzie, stoi człowiek. Na jaką odległość d przesunie się łódka, jeśli człowiek przejdzie na
drugi jej koniec? Masa człowieka wynosi mc, masa łódki wynosi ml, a jej długość l. Opór
mc
wody przy ruchu łódki pomijamy. Odp. d =
l
mc + ml
Zad. 8. Pociąg o masie M porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej pod wpływem
stałej siły ciągu. W pewnym momencie odczepia się ostatni wagon o masie m i po przebyciu
drogi D zatrzymuje się na skutek działania stałej siły tarcia. W jakiej odległości d od środka
M
wagonu będzie wówczas środek masy pociągu? Odp.
d=
D
M −m
Zad. 9 (W). Jednorodny pręt o długości a i masie m
r
g
zawieszono za końce poziomo na dwóch pionowych
r
sznurkach. Do pręta przyczepiono cięŜar o masie 2m w
r
F
FN 2
N1
m
jednej czwartej długości pręta. Znaleźć silę naciągu kaŜdego
ze sznurków. Odp. FN 1 = 2mg , FN 2 = mg
a/4
2m
r
Zad. 10 (W). Jednorodny pręt o długości a i masie m
g
zawieszono za końce poziomo na dwóch pionowych
r
r
sznurkach. Do pręta przyczepiono cięŜar o masie 3m w
FN1
F
N2
m
jednej trzeciej długości pręta. Znaleźć silę naciągu kaŜdego
5
3
a/3
ze sznurków. Odp. FN 1 = mg , FN 2 = mg
3m
2
2
*Zad. 11. Znaleźć moment bezwładności pręta o długości l i masie m względem osi
prostopadłej do pręta przechodzącej przez środek pręta I 0 oraz względem osi prostopadłej do
1
1
pręta przechodzącej przez koniec pręta I k .
Odp. I 0 = ml 2 I k = ml 2
12
3
*Zad. 12. Oblicz moment bezwładności pręta o stałym przekroju S i długości l, gdy gęstość
pręta wyraŜa się zaleŜnością ρ ( x ) = A + Bx , gdzie x oznacza odległość od końca pręta, A stała. Oś obrotu jest umieszczona prostopadle do pręta i przechodzi przez koniec pręta o
1
1
mniejszej gęstości. Odp. I = ASl 3 + BSl 4
3
4
*Zad. 13 Oblicz moment bezwładności cylindrycznej grubościennej rury względem osi
symetrii rury. Promienie zewnętrzny i wewnętrzny rury wynoszą Rz i Rw odpowiednio, a jej
1
masa jest równa M. Odp. I = M ( Rw2 + R z2 )
2
Zad. 14 (W). Na końcu pręta o masie m2 siedzi małpka o masie m1. Pręt ma długość l i wiruje
z prędkością kątową o wartości ω1 wokół osi prostopadłej do pręta. Odległość h osi obrotu od
końca pręta, na którym siedzi małpka, wynosi:
l
l
b) h =
a) h =
2
3
Jaka będzie wartość prędkości kątowej pręta ω 2 po przejściu małpki do punktu, przez który
przechodzi oś obrotu? O ile zmieni się energia kinetyczna układu złoŜonego z pręta oraz
małpki? ZałoŜyć, iŜ przy liczeniu momentu bezwładności układu moŜna małpkę potraktować
jak punkt materialny. Moment bezwładności pręta względem osi prostopadłej do pręta
1
przechodzącej przez jego środek dany jest wzorem I 0 = m2 l 2 .
12
Odp.
 3m 
1
∆E = m1l 2ω12 1 + 1 
8
m2 

a) ω 2 = ω1 1 + 3m1 



m2 


b) ω 2 = ω1 1 + m1 
∆E =
m2 


m
1
m1l 2ω12 1 + 1
18
 m2



Zad. 15. Pocisk o masie m1 lecący z prędkością V w kierunku prostopadłym do osi pręta trafia
w koniec pręta o długości l i masie m2. Pręt ten moŜe się obracać dookoła osi prostopadłej do
osi pręta
a) przechodzącej przez środek masy pręta
b) przechodzącej w odległości l/4 od końca pręta, w który trafił pocisk.
Znaleźć prędkość kątową, z jaką pręt zacznie się obracać, gdy utkwi w nim pocisk.
Odp. a)
ω=
6m1V
(m2 + 3m1 )l
b) ω =
12m1V
(7m2 + 3m1 )l
Zad. 16 (W). Chłopiec o masie m2 stoi na brzegu karuzeli, która się nie porusza. Rzuca on
kamień o masie m1 w kierunku poziomym stycznie do zewnętrznego brzegu karuzeli. Wartość
prędkości kamienia względem podłoŜa wynosi V, zaś moment bezwładności karuzeli (bez
człowieka) względem osi obrotu wynosi I0. Karuzela ma kształt koła o promieniu R. Znaleźć
prędkość kątową karuzeli po wyrzuceniu kamienia. Odp. ω =
m1VR
I 0 + m2 R 2
Zad. 17 (W). Tarcza o masie m2 i o promieniu Rz obraca się dookoła osi
pionowej przechodzącej przez jej środek z prędkością kątową ω1. Człowiek
o masie m1 stojący na brzegu tarczy przechodzi w kierunku środka i zaczyna
się poruszać po okręgu o promieniu Rw z prędkością o wartości V względem
tarczy. Obliczyć prędkość kątową tarczy przy ruchu człowieka w dwu
róŜnych kierunkach. Wsk. Moment bezwładności tarczy jest równy
 m2

r
V
Rw
Rz
+ m1  R z ω1 m m1 RwV

1

I 0 = m2 R z2 Odp. ω =  2
2
2
 m2 R z2
2 


2
2
+ m1 Rw 

Zad. 18 (W). Dwa krąŜki o momentach bezwładności I1 oraz I 2 obracają się wokół wspólnej
osi w tym samym kierunku z prędkościami kątowymi o wartościach ω1 i ω2 odpowiednio. W
pewnej chwili górny krąŜek spada na dolny i przylepia się do niego. Z prędkością kątową o
jakiej wartości obraca się powstały układ? O ile zmalała energia kinetyczna układu?
2
Odp. ω = I1ω1 + I 2ω 2 , ∆Ek = I1I 2 ⋅ (ω1 − ω2 )
I1 + I 2
I1 + I 2
2
r
V
Zad. 19 (W). Pionowy pręt o wysokości h i masie m ustawiono pionowo na Ziemi. Po
podpiłowaniu go przy podstawie pada on na Ziemię. W momencie upadku pręta na Ziemie
określić jego energie kinetyczną oraz wartość prędkości środka pręta.
Odp.
Ek =
1
mgh
2
V =
1
3 gh
2
Zad. 20. Na końcach niewaŜkiej nici przerzuconej przez ruchomy krąŜek w
R
kształcie walca o masie m i promieniu R zawieszono dwa klocki o masach m1
i m2 ( m1 > m2 ). LŜejszy z klocków znajduje o się o h niŜej od cięŜszego.
r
F
1) Określić wartość przyspieszenia, z jakim poruszać się będą oba klocki.
m
2) Znaleźć siły naciągów nici FN1 i FN2 na której są zawieszone klocki w
h
trakcie ruchu klocków.
3) Zakładamy, iŜ w chwili początkowej oba klocki spoczywały.
a) Po jakim czasie oba klocki znajdą się na tej samej wysokości, jeśli zaczną się one
poruszać (bez prędkości początkowej)?
b) Określić wartość prędkości kątowej ruchu obrotowego krąŜka w chwili, gdy oba
klocki znajdą się na tej samej wysokości.
Znana jest wartość przyspieszenia ziemskiego g. Moment bezwładności walca względem osi
1
obrotu jest równy I = mR 2 Odp. (częściowa) a = m1 − m2 g
2
m
r
g
N1
r
FN 2
1
m1 + m2 +
2
r
g
Zad. 21. RozwaŜyć układ przedstawiony na rysunku. Znane są masy
obu połączonych nicią klocków m1 oraz m2 ( m2 > m1 ), kat
R
m
1
nachylenia obu równi do poziomu α oraz współczynnik tarcia µ
obu klocków o równię. Ponadto wiadomo, iŜ moment bezwładności
krąŜka, przez który przerzucono nić łączącą klocki, względem jego
α
osi obrotu jest równy I 0 , zaś jego promień jest równy R.
Znaleźć wartość przyspieszenia, z jakim mogą poruszać się ruchem jednostajnie
przyspieszonym oba klocki w przypadku, gdy krąŜek moŜe się swobodnie obracać. Wartość
przyspieszenia ziemskiego jest równa g. Odp. a = g [(m2 − m1 )sin α − (m1 + m2 )µ cos α ]
m1 + m2 +
I0
R2
Zad. 22. Znaleźć przyspieszenie, z jakim poruszać się moŜe w dół ciało o
masie m1 pokazane na rysunku. Uwzględnić siłę tarcia działającą na ciało
o masie m2 (załoŜyć ze współczynnik tarcia wynosi µ). Przyjąć, Ŝe
bloczek, przez który przerzucono nić łączącą oba ciała jest ruchomy, przy
czym jego moment bezwładności względem osi obrotu wynosi I0, zaś jego
promień wynosi R. Wartość przyspieszenia ziemskiego jest równa g.
g (m1 − m 2 µ )
Odp.
a=
I0
R2
m2
α
m2
R
r
g
m1
+ m1 + m 2
Zad. 23. Znaleźć przyspieszenie z jakim moŜe poruszać się w dół cięŜarek
o masie m2 pokazany na rysunku. CięŜarek ten jest zawieszony na nici
r
g
nawiniętej na bloczku o promieniu R. CięŜarek o masie m1 jest ciągnięty
przez nić nawiniętą na bloczku o promieniu r. MoŜe on przesuwać się po
m1
powierzchni równi pochyłej o kącie nachylenia równi do podstawy α .
Dwa sklejone bloczki mogą obracać się z tą samą prędkością kątową
wokół wspólnej osi obrotu, przy czym moment bezwładności bryły
α
złoŜonej z tych bloczków względem osi obrotu wynosi I 0 .
Znana jest takŜe wartość przyspieszenia ziemskiego g oraz współczynnik tarcia klocka o
gR(m 2 R − m1 r sin α − µm1 r cos α )
masie m o równie µ . Odp.
1
m2
a2 =
I 0 + m1 r 2 + m 2 R 2
Zad. 24. Jak długo będzie staczać się bez poślizgu cienkościenna obręcz ze szczytu równi
pochyłej o wysokości h i kącie nachylenia równi względem poziomu α ? Ile wynosić będzie
wartość jej prędkości u podstawy równi? Prędkość początkowa obręczy wynosi zero. Znana
jest wartość przyspieszenia ziemskiego g. Odp. t =
2
h
sin (α ) g
V = gh
r
R
m2
Zad. 25. Przy jakim statycznym współczynniku tarcia µs cienkościenna obręcz moŜe staczać
się bez poślizgu po równi pochyłej, tworzącej z poziomem kąt α ? Zakładamy iŜ w chwili
1
początkowej prędkość obręczy była równa zeru. Odp. µ s ≥ tgα
2
Zad. 26. Na wierzchołku równi pochyłej spoczywają: kula, sfera, walec, cienkościenna rurka,
tarcza i obręcz. W jakiej kolejności stoczą się te obiekty bez poślizgu z równi? Odpowiedź
uzasadnić. Wsk. Moment bezwładności kuli względem osi przechodzącej przez jej środek
2
wiąŜe się z jej masą m i promieniem R wzorem: I k = mR 2 . Moment bezwładności walca
5
względem podłuŜnej osi symetrii walca wiąŜe się z jego masą m i promieniem R wzorem:
1
I w = mR 2 . Moment bezwładności sfery względem osi przechodzącej przez środek sfery
2
2
wiąŜe się z jej masą m i promieniem R wzorem: I s = mR 2 .
3
Odp.
1) kula
2) walec, tarcza
3) sfera
4) cienkościenna rurka, obręcz
Zad. 27. Walec o masie m i promieniu R toczy się bez poślizgu po
poziomej powierzchni. Do środka masy walca przyłoŜono stałą siłę
skierowaną poziomo o wartości F.
1) Wyznaczyć wartość przyspieszenia środka masy walca.
r
F
2) Określić wartość siły tarcia działającej na walec.
3) Określić wartość rzutu wypadkowego momentu siły
R
r
wywołującego ruch obrotowy walca na oś obrotu walca.
Ft = ?
Moment bezwładności walca względem osi będącej osią obrotu walca
1
wiąŜe się z jego masą m i promieniem R wzorem: I 0 = mR 2 .
2
Zad. 28. CięŜka szpula z nawiniętą nicią, do której przyłoŜono siłę
r
r
F leŜy na płaszczyźnie poziomej. W którą stronę i z jakim
F
α
przyspieszeniem będzie poruszać się środek masy szpuli w
zaleŜności od kąta między kierunkiem działania siły a płaszczyzną?
r
r
Masa szpuli wynosi m, zewnętrzny i wewnętrzny promień
a
R
r
odpowiednio R i r, moment bezwładności szpuli względem osi
Ft
F (R cos α − r )R
symetrii szpuli jest równy I0. Odp. a =
I 0 + mR 2
Zad. 29. Na szpulkę nawinięto nierozciągliwą nić, której koniec przyczepiono do
sufitu. Szpulka pod wpływem swego cięŜaru odwija się z nici. Masa szpulki jest
równa m, jej moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek szpulki
wynosi I0, zaś promień szpulki R. ZałoŜyć, iŜ promień szpulki jest znacznie mniejszy
od długości nici, tak, iŜ nić łączącą szpulkę z sufitem moŜna uwaŜać za pionową.
Znana jest wartość przyspieszenia ziemskiego g.
r
F
1) Obliczyć:
R
a) wartość przyspieszenia a, z jakim opada środek masy szpulki
r
b) wartość siły naciągu nici FN.
mg
2) Zakładając iŜ w chwili początkowej szpulka się nie poruszała określić wartość prędkości
środka masy szpulki oraz wartość prędkości kątowej ruchu obrotowego szpulki wokół osi
obrotu przechodzącej przez środek masy szpulki w chwili gdy jej środek przebył drogę o
długości h. Sprawdzić, iŜ całkowita energia szpulki równa sumie energii potencjalnej oraz
kinetycznej ruchu postępowego i obrotowego szpulki jest zachowana w trakcie jej ruchu.
N
2hmg
mgR 2
I0
2hmgR 2
,
F
=
mg
,
V
=
, ωk =
N
k
2
2
2
I 0 + mR
I 0 + mR
mR + I 0
mR 2 + I 0
*Zad. 30. Wokół osi tworzącej z pionem kat α obraca się bąk z prędkością kątową ω . Jego
masa wynosi m, zaś moment bezwładności względem osi obrotu wynosi I. Środek masy bąka
jest odległy od punktu podparcia o d. Określić prędkość kątową precesji bąka. ZałoŜyć, iŜ
wartość prędkości kątowej precesji jest znacznie mniejsza od ω , tak, iŜ moŜna załoŜyć, Ŝe
moment pędu bąka jest równoległy zawsze do wektora prędkości kątowej, z jaką bąk się
Odp. a =
obraca. Odp. ω p = mgd
Iω
r
a