Orbita transferowa

Orbita transferowa
1
Transfer Hohmanna
Transfer Hohmanna jest dwuimpulsowym manewrem orbitalnym umożliwiajacym
˛
przejście z jednej orbity
kołowej na inna.˛ Jest on transferem wymagajacym
˛
dostarczenia satelicie (statkowi kosmicznemu) minimalnego nakładu energii.
Orbita transferowa w tym przypadku wyglada
˛ tak, że punkt startowy staje si˛e perycentrum (dla misji do
planet zewn˛etrznych) lub apocentrum (do planet wewn˛etrznych) tej orbity i odpowiednio punkt dolotowy
jest jej (apo- lub perycentrum). Sytuacj˛e t˛e przedstawia rys. 1.
Rysunek 1: Orbita transferowa Hohmanna
Rozważmy wi˛ec taki prosty manewr na przykładzie bardzo uproszczonego przelotu mi˛edzy Ziemia˛ a
Wenus.
1.1
Przykład
Przyjmujemy, że orbity obu planet sa˛ kołowe i współpłaszczyznowe. Półosie wielkie tych orbit równe sa˛
odpowiednio: az = 149.59 × 106 km, aw = 108.21 × 106 km. Punkt startowy na Ziemi b˛edzie wi˛ec
apocentrum orbity transferowej, a jej punkt docelowy na Wenus - jej perycentrum. Ustawienie planet w
momencie startu i dolotu jest takie jak pokazuje to rysunek. Półoś orbity Ziemi jest zarazem apocentrum
orbity transferowej, a półoś orbity Wenus jej perycentrum.
1
1.1.1 Parametry orbity transferowej
Wyznaczmy parametry takiej orbity transferowej. Jej półoś wielka i mimośród dane sa˛ wzorem:
az + av
2
az − av
az − av
=
2a
az + av
a =
e
=
(1)
Dla omawianego przelotu a = 128.90 × 106 km, e = 0.1605.
Czas przelotu t = T /2 z Ziemi na Wenus, gdzie T jest okresem orbitalnym, obliczamy z trzeciego
prawa Keplera jako
√
T = 2π
a3
µ
(2)
Czas przelotu z Ziemi na Wenus po orbicie Hohmanna wynosi t = 146 dni.
1.1.2
Wydatek energetyczny
Obliczmy teraz pr˛edkość jaka˛ powinien mieć statek kosmiczny w apocentrum swojej orbity(przy starcie) i
w jej perycentrum (przy dolocie). Z całki sił żywych wynika, że odpowiednie pr˛edkości sa˛ równe:
2
1
− )
az
a
1
2
vp2 = µ ( − )
av
a
va2 = µ (
(3)
i wynosza:
˛ va = 27.29 km/s, vp = 37.73 km/s.
Nie sa˛ to jednakże pr˛edkości jakie musimy nadać sondzie kosmicznej. Startujac
˛ z Ziemi wykorzystujemy jej pr˛edkość orbitalna,˛ a dolatujac
˛ do Wenus z zamiarem wprowadzenia sondy na orbit˛e wokółwenusjańska˛ korzystamy z pr˛edkości orbitalnej Wenus. Ponieważ zakładaliśmy kołowość orbit obu planet, pr˛edkości te wynosza:
˛
vz2
=
vv2
=
µ
= 29.78 km/s
az
µ
= 35.02 km/s
av
(4)
W takim razie pr˛edkość jaka˛ należy nadać sondzie przy starcie z Ziemi równa jest różnicy mi˛edzy pr˛edkościami va i vz , a pr˛edkość potrzebna do wprowadzenia sondy na orbit˛e wokół Wenus to różnica mi˛edzy
vp a vv . W naszym przypadku różnica pr˛edkości przy starcie wynosi ∆vs = va − vz = −2.50 km/s, a
przy wejściu na orbit˛e wokół Wenus ∆vd = vp − vv = 2.71 km/s.
Różnice pr˛edkości przy starcie ∆vs i dolocie ∆vp nazywamy nadwyżkami pr˛edkości hiperbolicznych.
Kwadraty tych pr˛edkości sa˛ miara˛ energii potrzebnej do wystartowania misji i wprowadzenia jej na orbit˛e
docelowa.˛
Tradycyjnie, przy planowaniu misji kosmicznych, zamiast nadwyżki pr˛edkości hiperbolicznej podaje
si˛e kwadrat tej pr˛edkości, czyli tzw. parametr C3, który jest miara˛ energii potrzebnej do wypełnienia
warunków misji. I tak dla startu z Ziemi C3 b˛edzie równe
−
→
C3 = (→
va − −
vz )2 = va2 + vz2 − 2 va vz cos α,
2
(5)
→
→
gdzie α jest katem
˛
pomi˛edzy wektorami −
va i −
vz . W naszym przypadku oba wektory sa˛ tak samo skierowane,
◦
w zwiazku
˛
z czym kat
˛ α = 0 i energia wymagana przy starcie wynosi C3s = 6.23 km2 /s2 , a przy
wchodzeniu na orbit˛e Wenus C3d = 7.33 km2 /s2 .
Łaczny
˛
wydatek energetyczny wynosi wi˛ec C3 = 13.56 km2 /s2 .
1.2
Zadania
1. Sonda Voyager 2 wystrzelona w dniu 20 sierpnia 1977 roku przeleciała obok Neptuna 24 sierpnia
1989 roku. Lot sondy trwał wi˛ec 12 lat. Po drodze, dla przyspieszenia sondy i zmniejszenia energii
startowej wykorzystano trzy manewry korzystajac
˛ z asysty grawitacyjnej Jowisza, Saturna i Urana.
Jak długo trwałaby ta misja gdyby orbita transferowa była zwykła˛ orbita˛ Hohmanna bez asysty grawitacyjnej? Jaka energia (C3) potrzebna byłaby do wystrzelenia takiej misji z Ziemi? Jakiej dodatkowej energii C3 trzeba dostarczyć sondzie, jeżeli planuje si˛e jej wejście na orbit˛e wokółneptunowa?
˛
Odp. 30.6 lat, 135.8 km2 /s2 , 16.4 km2 /s2 .
2. Satelita znajduje si˛e na niskiej orbicie okołoziemskiej o wysokości perigeum hp = 480 km i wysokości
apogeum ha = 800 km. Z ktorego punktu startujac (perygeum czy apogeum) dokonujemy mniejszego
wydatku energetycznego chcac
˛ dostać si˛e na orbit˛e kołowa˛ o wysokości ponad Ziema˛ hk = 16000
km? Porównaj czasy dolotu na orbit˛e końcowa˛ w obu przypadkach. Podaj półosie wielkie obu orbit
transferowych.
Odp. Start z perigeum
a1 = 14618.137 km, ∆v1 + ∆v2 = 1.72 + 1.33 = 3.05 km/s t1 = 2.442960983 h.
Start z apogeum
a2 = 14778.137 km, ∆v1 + ∆v2 = 1.80 + 1.28 = 3.08 km/s t2 = 2.483178971 h.
3
2
Zmiana płaszczyzny orbitalnej
Rysunek 2: Zmiana płaszczyzny orbity
Nachylenie orbity satelity wystrzeliwanego z Ziemi, z miejsca o szerokości geograficznej ϕ wynosi
i = ϕ. Cz˛esto zachodzi konieczność zmiany nachylenia orbitalnego. Rozważmy rysunek 2
Znamy nachylenie poczatkowe
˛
orbity ip i nachylenie orbity docelowej ik . Wiemy też jak zmienimy
położenie w˛ezła orbity ∆Ω. Trzeba wyznaczyć kat
˛ α, o który należy zmienić kat
˛ lotu, oraz wyznaczyć
argument szerokości A = ω + f , który odpowie nam na pytanie, w którym momencie (jak daleko od w˛ezła
orbity poczatkowej)
˛
ten manewr ma nastapić.
˛
Oba katy
˛ wyznaczamy z trójkata
˛ paralaktycznego, którego wierzchołkami sa˛ obydwa w˛ezły i miejsce
dokonywania manewru.
Stosujac
˛ wzór kosinusów do katów
˛
tego trójkata
˛ znajdujemy
cos α = cos ip cos ik + sin ip sin ik cos ∆Ω
(6)
oraz
sin ip sin ∆Ω
(7)
sin α
Zauważmy, że wartość pr˛edkość satelity, podczas tego manewru nie ulega zmianie, zmienia si˛e tylko jej
kierunek. Zmiana kierunku (rys. 2) odbywa si˛e kosztem energii jaka˛ musimy wydatkować na ten manewr,
a która˛ można obliczyć jako
√
α
2
∆V = (Vk − Vi ) = 2 V sin
(8)
2
gdzie V = |Vk | = |Vi |.
Gdy zmiana nachylenia orbity nast˛epuje w tym samym momencie co przejście z jednej orbity na druga˛
(np. z transferowej na kołowa)
˛ to odpowiadajac
˛ a˛ tym manewrom zmian˛e kierunku i wielkości pr˛edkości
możemy otrzymać ze wzoru
sin A =
∆V = Vi2 + Vk2 − 2Vi Vk cos(Vi , Vk )
gdzie Vi oraz Vk sa˛ odpowiednio pr˛edkościami na orbicie poczatkowej
˛
i końcowej.
4
(9)
2.1
Zadania
1. Satelita porusza si˛e po kołowej orbicie na wysokości h=275 km nad Ziemia.˛ Nachylenie orbity
wynosi i = 28.◦ 5 a w˛ezeł wst˛epujacy
˛ znajduje si˛e w odległości Ω = 60◦ W od południka Greenwich.
Konieczna jest zmiana nachylenia orbity oraz przesuni˛ecie jej w˛ezła. Parametry orbity końcowej
maja˛ być nast˛epujace:
˛ h=275 km, i = 10◦ , Ω = 100◦ W. Oblicz wydatek energetyczny potrzebny na
zmian˛e płaszczyzny orbity. Podaj w jakiej odległości od w˛ezła należy dokonać tego manewru.
Odp. ∆V = 2.918 km/s, A = 17.◦ 55.
2. Narysuj wykres procentowej zależności wzgl˛ednego wydatku pr˛edkości ∆V/V od kata
˛ α.
3. Satelita przebywajacy
˛ na wysokości 280 km ponad powierzchnia˛ Ziemi na nachylonej do równika
pod katem
˛
28.◦ 5 kołowej orbicie parkingowej ma być przetransportowany na orbit˛e geostacjonarna.˛
Oblicz całkowity wydatek energetyczny gdy:
a) oba manewry wykonywane sa˛ oddzielnie,
b) łacznie.
˛
Odp.
1. najpierw zmiana pr˛edkości na geostacjonarna,˛ nast˛epnie zmiana nachylenia
∆V = 1.47 + 1.51 = 2.98 km/s
2. najpierw zmiana nachylenia, potem ukołowienie orbity
∆V = 0.79 + 1.47 = 2.26 km/s
3. obie zmiany przeprowadzone jednym manewrem
∆V = 1.83 km/s.
5
P.
P.
Df
Df
Z
Z
Rysunek 3: Po lewej stronie orbity transferowe klasy I, po prawej – klasy II.
3
Projektowanie elips transferowych
Przyjrzyjmy si˛e przypadkom nieco bardziej realnym. Orbity transferowe możemy ogólnie podzielić na
dwie klasy. Do klasy I należeć b˛eda˛ takie orbity dla których anomalia prawdziwa przelotu jest mniejsza
niż 180◦ , natomiast klas˛e II stanowia˛ te, dla których ∆f > 180◦ . Obie klasy orbit przedstawia rys. 4.
Przy projektowaniu orbit mi˛edzyplanetarnych bierze si˛e wiele warunków pod uwag˛e. Jednym z najważniejszych jest bilans energrtyczny, dlatego tak cenne sa˛ orbity Hohmanna. Z drugiej jednak strony
przelot orbita˛ Hohmanna zajmuje sporo czasu, dlatego w praktyce stosuje si˛e orbity przedstawionych
wcześniej klas. Wymaganie dla takich orbit jest nast˛epujace:
˛
• orbita musi przechodzić przez Ziemi˛e w momencie startu i przez dana˛ planet˛e w momencie dolotu,
• czas przelotu musi być dokładnie równy przyj˛etej przez nas ilości dni lotu.
Rozważmy przykładowo misj˛e do Wenus, która wystartowała z Ziemi 8 kwietnia 1988 roku i doleciała
do Wenus 26 lipca 1988 roku.
Dane poczatkowe
˛
były nast˛epujace:
˛
Ziemia – start: 8 kwiecień 1988
(JDs = 2447259.5)
aZ = 1 AU
λZ = 197.◦ 53
eZ = 0.01672
ω̄Z = ω + Ω = 102.◦ 29
λZ = ω̄ + M = 197.◦ 53
Wenus – dolot: 26 lipiec 1988
(JDd = 2447368.5)
aW = 0.7233 AU
eW = 0.006778
ω̄W = 131.◦ 41
ΩW = 76.◦ 58
6
i = 3.◦ 394
λW = 330.◦ 52
Dopasowanie orbity transferowej odbywa si˛e metoda˛ prób i bł˛edów.
1. W pierwszej kolejności liczymy czas przelotu wynikajacy
˛ z położenia planety w tych dwóch dniach:
∆t = JDd − JDs = 109 dni.
Czas lotu musi wi˛ec wynosić 109 dni i jest to dla nas wartość stała przy dopasowywaniu orbity
transferowej (orbit˛e sondy możemy zmienić, orbity planet - nie!)
2. Uznajemy, że pozycja Ziemi przy starcie wyznacza nam lini˛e apsyd orbity transferowej (punkt startowy jest apocentrum orbity transferowej). Liczymy różnic˛e długości mi˛edzy miejscem startowym a
miejscem docelowym:
∆λ = λW − λZ = 132.99◦
Ponieważ w chwili startu sonda znajduje si˛e w apocentrum swojej orbity, wi˛ec anomalia prawdziwa
jej pozycji na orbicie transferowej b˛edzie równa
fs = 180◦ .
W takim razie, w momencie dolotu anomalia prawdziwa b˛edzie wynosiła
fd = fs + ∆λ
3. Wyznaczamy kolejne parametry orbity transferowej
(a) wyznacz promień wodzacy
˛ Ziemi rZ w czasie startu i Wenus rW w czasie dolotu
(b) oblicz półoś wielka˛ i mimośród orbity transferowej, pami˛etajac
˛ że jej położenie z momencie
startu rs pokrywa si˛e z położenieniem Ziemi, a w momencie dolotu rd z położeniem Wenus
(c) korzystajac
˛ z równania Keplera i zależności pomi˛edzy anomaliami oblicz czas jaki potrzebuje
sonda by dotrzeć do Wenus po wyznaczonej orbicie transferowej
4. wyznacz nachylenie orbity transferowej
5. oblicz wydatek energetyczny uwzgl˛edniajac
˛ konieczne zmiany pr˛edkości przy starcie, zmianie nachylenia orbity i przy dolocie.
7
Rysunek 4: Po lewej stronie orbity transferowe klasy I, po prawej – klasy II.
8