176 5 = + yx 2 = + yx

Gimnazjum:
1. Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu leżącego wewnątrz trójkąta równobocznego od boków tego
trójkąta jest równa wysokości tego trójkąt.
2.
Czy istnieje trójkąt o wysokościach
,
,
? Odpowiedź uzasadnij.
3. Wykaż, suma kwadratów trzech liczb całkowitych niepodzielnych przez 3 dzieli się przez 3.
4. Liczba 24 po podzieleniu przez sumę swoich cyfr daje w wyniku cyfrę jednostek tej liczby (24:6=4). Ile jest
liczb dwucyfrowych o takiej własności? Podaj te liczby.
5. Wczoraj w klasie uczniów obecnych było 8 razy tyle co nieobecnych. Dzisiaj nie przyszło jeszcze dwóch i
teraz nieobecni stanowią 20% uczniów obecnych. Ile jest uczniów w klasie?
6. Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich m i n, dla których zachodzi równość 200m + 9n = 2009.
7. Wiadomo, że
Oblicz wartość wyrażenia
.
8. W trapezie równoramiennym długości podstaw są równe 9 cm i 3 cm, zaś ramię ma długość 5 cm. Oblicz
odległości punktu przecięcia przekątnych tego trapezu od obu jego podstaw.
9. Średni wiek 25 pasażerów autobusu wynosi 30 lat. Gdyby jeden z pasażerów wysiadł, średnia wieku
wzrosłaby do 31 lat. W jakim wieku był wysiadający pasażer?
10. W okrąg o promieniu długości 6 cm wpisano trójkąt równoramienny, którego podstawa też ma długość 6cm.
Oblicz pole tego trójkąta.
11. Koło i kwadrat mają równe pola. W dane koło wpisujemy kwadrat, a w dany kwadrat wpisujemy koło. Co jest
większe, pole kwadratu wpisanego w koło, czy pole koła wpisanego w kwadrat ?
12. Aby skosić łan zboża: pierwszy kosiarz potrzebuje 6 godzin, drugi – 5 godzin, trzeci – 4 godziny, czwarty – 3
godziny, piąty – 2 godziny. Ile czasu zajmie im skoszenie łanu zboża, jeżeli będą pracować razem, każdy ze
swoją wydajnością?
13. Jeżeli do liczby dwucyfrowej dopiszemy z prawej strony cyfrę jej dziesiątek, to otrzymamy liczbę o 227
większą. Dopisując zaś przed daną liczbą cyfrę jej jedności, otrzymujemy liczbę 21 razy większą. Jaka to
liczba?
14. Pole powierzchni sześcianu o krawędzi a  1 wynosi 54. Wyznacz a . Oblicz objętość tego sześcianu.
15. Jaka jest ostatnia cyfra liczby 348  176 ?
16. Wiadomo, że x 2  y 2  5 i x  y  2 . Wyznacz xy.
17. Podaj ostatnią cyfrę liczby (2 15+320-512)2
18. Janek przejechał na rowerze odległość 20 km, a z powrotem przeszedł tę samą odległość pieszo z prędkością
trzy razy mniejszą. Ile wynosiła prędkość jazdy, a ile prędkość marszu, jeśli cała podróż trwała 5 godzin i 20
minut?
Liceum:
1. Wykazać, że jeżeli a, b, c>0, to :
.
2. Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór wszystkich takich uporządkowanych par (a,b),
że a należy do zbioru A i b należy do zbioru B. Wyznacz iloczyn kartezjański X × Y zbiorów X i Y , gdzie
X = {1, 3}, Y = {2, 4, 6}. Przedstaw jego interpretację na układzie współrzędnych.
3. Wykaż, że równanie
całkowitych.
(2x – y + 3)2 + 4xy = 4x2 + y2 + 9x – 1 nie ma rozwiązania w zbiorze liczb
4. Punkt D leży na boku AB trójkąta ABC. Udowodnij, że CD> (CA+CB-AB).
5. Uzasadnij, że pole trójkąta o bokach długości:
jego boków.
,3
,5
równe jest połowie iloczynu długości dwóch
6. Jeden z boków trójkąta prostokątnego ma długość 6 cm i jest o tyle samo większy od boku najkrótszego i
mniejszy od boku najdłuższego. Oblicz pole tego trójkąta.
7. Oblicz pole trapezu o podstawach długości 11 i 25 oraz ramionach długości 13 i 15. Oblicz długości
przekątnych tego trapezu.
8. Rozwiąż równanie x2 + xy + y2 = x – y -1.
9. W trójkącie prostokątnym równoramiennym o najdłuższym boku długości 8 cm poprowadzono dwusieczną
jednego z kątów ostrych. Oblicz długości odcinków, na jakie dwusieczna ta podzieliła przeciwległy bok
trójkąta.
10. Dla jakich wartości m z odcinków 2m+2, m+8, 3m+1 można zbudować trójkąt równoramienny?
11. W trójkącie ostrokątnym ABC długość boku AB=10, środkowej AK=9, a wysokość BL=8. Oblicz pole
trójkąta ABC.
12. Przez punkt A leżący na okręgu o środku O poprowadzono styczną l oraz cięciwę AB o długości 12. Oblicz
stosunek pola trójkąta BOC do pola czworokąta OBAC, jeśli BC jest cięciwą tego okręgu równoległą do
prostej l i odległą od niej o 4.
13. Znajdź wszystkie liczby całkowite x, dla których wyrażenie
3x
ma wartość całkowitą.
x4
14. Kolejka toczy się po torach w kształcie okręgu. Rozstaw szyn jest równy 4 cm. Podczas jednego pełnego
okrążenia lewe kółko wagonu wykonało o dwa obroty więcej niż prawe. Jaka jest długość średnicy kółek
wagonu ?
15. Oblicz x 3 
1
1
, jeżeli x 2  2  7
3
x
x
16. Oblicz wartość wyrażenia q 4  6q 3  9q 2  7 wiedząc, że q 2  3q  1  0 .
17. Oblicz wartość wyrażenia
a 2  4b 2
a 2  6b 2
 1 .
wiedząc, że liczby dodatnie a i b spełniają warunek
2ab
ab




18. Niech a i b będą liczbami całkowitymi. Udowodnij, że M  a  b  2 a 2  b 2 a  b  2 a 4  b 4 jest
kwadratem liczby naturalnej.
4
2