1. Co to jest równanie? - LOGIM.EDU.GORZOW.PL :: Strona Główna

Opracowanie Joanna Szymańska
1. Co to jest równanie?
Równanie to dwa wyrażenia połączone znakiem równości,
jedno z tych wyrażeń musi być algebraiczne
Przykłady:
7x
x–3=5
9k
k + 4 = 7 + 3kk
2a
a + 9 = 5aa - 3
Literki, które występują w równaniu to niewiadome.
2. Rozwiązanie
równania
Liczbę,
która spełnia równanie nazywamy pierwiastkiem
równania albo rozwiązaniem równania.
Aby stwierdzić czy liczba jest pierwiastkiem równania należy
podstawić za niewiadomą tą liczbę i sprawdzić, czy prawa
strona równania jest równa lewej stronie równania.
Przykład:
Sprawdź, czy któraś z liczb 9 lub 10 spełnia równanie
3 – 4x = -32 – 5
Na początek sprawdzamy liczbę 9:
Lewa strona równania:
3 – 4x = 3 – 4 · 9 = 3 – 36 = -33
Prawa strona równania:
-32 – 5 = -37
Strony są sobie nie równe czyli P = L
Liczba 9 nie spełnia tego równania.
2. Rozwiązanie
równania
Liczbę,
która spełnia równanie nazywamy pierwiastkiem
równania albo rozwiązaniem równania.
Aby stwierdzić czy liczba jest pierwiastkiem równania należy
podstawić za niewiadomą tą liczbę i sprawdzić, czy prawa
strona równania jest równa lewej stronie równania.
Przykład:
Sprawdź, czy któraś z liczb 9 lub 10 spełnia równanie
3 – 4x = -32 – 5
Teraz sprawdzamy liczbę 10:
Lewa strona równania:
3 – 4x = 3 – 4 · 10 = 3 – 40 = -37
Prawa strona równania:
-32 – 5 = -37
Strony są sobie równe czyli P = L
Liczba 10 jest pierwiastkiem (rozwiązaniem) tego równania.
3. Rozwiązywanie równań
W szkole podstawowej rozwiązywaliście równania metodą wagi.
np.
3x + 4 = x + 10
Kładziemy na wadze wszystko zgodnie z równaniem:
Aby waga pozostała
Zostało
wZostało
równowadze
nam na
2x szalkach:
= 6należy zdjąć po równo
Czyli:
każdej
szalki.
3x
Ściągamy
=x+
6 po 4 kulki.
Czyliz na
jedną
gwiazdkę
przypadają
3 kulki
x=3
Zdejmujemy po jednej gwiazdce.
Ta metoda zapisana algebraicznie to metoda
równań równoważnych.
Podczas rozwiązywania równania zapisujemy coraz prostsze
równania, które są sobie równoważne.
W tym celu możemy:
 do obu stron równania dodać to samo wyrażenie
 od obu stron równania odjąć to samo wyrażenie
 obie strony równania pomnożyć przez tą samą liczbę
różną od zera
 obie strony równania podzielić przez tą samą liczbę
różną od zera
ZAPAMIĘTAJ!
Nigdy nie możesz dodać, odjąć, pomnożyć lub podzielić
tylko jednej strony równania.
Rozwiążmy jeszcze raz równanie metodą równań równoważnych.
3x + 4 = x + 10 / - 4
obustronnie odejmujemy 4
3x = x +6 / - x
obustronnie odejmujemy x
2x = 6
/:2
obustronnie dzielimy przez 2
x=3
to oznacza
obustronnie
Przykłady
2(x + 1) = 3x - 4
Wymnażamy wyrażenia w nawiasie przez 2
2x + 2 = 3x - 4 / - 3x
Obustronnie odejmujemy 3x
-x +2 = -4 / - 2
Obustronnie odejmujemy 2
Pamiętaj, przy
dzieleniu lub
mnożeniu przez
liczbę ujemną,
weź ją w nawias.
-x = -6 / :(-1)
Obustronnie mnożymy lub dzielimy przez -1
x=6
Przykłady
2x  3 2  x

 x /·15
5
3
Aby „pozbyć” się mianowników mnożymy obie strony równania
przez wspólną wielokrotność w tym przypadku przez 15.
3(2x + 3) = 5(2 - x) +15x
Wymnażamy nawiasy przez liczby, które stoją przed nawiasem.
6x + 9 = 10 - 5x +15x
Redukujemy wyrazy podobne.
6x + 9 = 10 + 10x / - 9
Obustronnie odejmujemy 9.
6x = 1 + 10x
/ - 10x
Obustronnie odejmujemy 10x
-4x = 1
/ : (-4)
Obustronnie dzielimy przez -4
x
1
4
3. Rodzaje równań
Jeżeli żadna liczba nie spełnia równania to jest to
równanie sprzeczne
przykład:
3x +9 = 3x +1 / - 9
3x = 3x - 8
/ - 3x
0 = -8
Jeśli równanie spełniają wszystkie liczby to jest
to równanie tożsamościowe.
przykłady:
2y + 18 = 2(y + 9)
2y + 18 = 2y + 18 / -18
2y = 2y
0=0
/ -2y
Prezentację przygotowano w oparciu o podręcznik
do klasy I pod redakcją M. Dobrowolskiej - wydawnictwo GWO