Zadania przygotowujące do konkursu matematycznego „Pitagoras”

Zadania przygotowujące do konkursu matematycznego
zestaw II
1. Wybieramy jedną przekątną dziewięciokąta. W ilu co najwyżej punktach mogą ją przeciąć inne przekątne?
2. W pewnym sześciokącie każde dwa kolejne boki są prostopadłe. Długości tych boków są liczbami 3, 5, 6,
8, 10, 16. Oblicz pole tego sześciokąta.
3. Wzdłuż prostoliniowej drogi stoją cztery domy. Gdzie wybudować studnię, aby suma odległości od niej do
każdego z domów była najmniejsza? Jaka jest odpowiedź, gdy domów jest pięć?
4. Jak od kawałka materiału o długości
5. Wiedząc, że
2
1
m odciąć kawałek o długości m nie mając przy sobie linijki?
3
2
a
b
 m oblicz
ab
ab
6. W pewnym miesiącu trzy niedziele wypadły w dni parzyste. Jaki dzień tygodnia wypadł dwudziestego tego
miesiąca?
7. W antykwariacie ustala się cenę książki równą 2 ceny książki w momencie jej wydania. Dostarczający
3
książkę otrzymuje 70% nowej ceny. Jaki to stanowi procent starej ceny?
8. Wśród 15 monet jednakowych na wygląd jedna jest fałszywa (różniąca się od pozostałych ciężarem). Jak
przy pomocy nie więcej niż dwóch ważeń, na wadze szalkowej bez odważników , ustalić czy jest ona
cięższa czy lżejsza od pozostałych?
9. Mikołaj ma pewną ilość batonów (więcej niż 7). Do każdej paczki wkłada 3 lub 5 batonów. Czy zawsze
może zrobić tak, aby nie pozostał mu ani jeden baton?
10. W trójkącie długość jednego boku wynosi 6,31 m, a długość drugiego boku 0,82 m. Ile wynosi długość
trzeciego boku, jeżeli wiadomo, że wyraża się ona całkowitą ilością metrów?
11. Suma 13 różnych liczb naturalnych różnych od 0 wynosi 92. Znaleźć te liczby.
12. Kierownik grupy wycieczkowej podał w hotelu, że wycieczka liczy 100 osób; z tego 78 osób pije herbatę,
71 kawę, a 48 osób i herbatę, i kawę. Kierownik hotelu powiedział, że tak być nie może. Dlaczego?
13. W klasie liczba nieobecnych uczniów stanowi
liczba nieobecnych stanowi
1
liczby obecnych. Po przerwie wyszedł jeden uczeń i teraz
6
1
obecnych. Ilu uczniów jest w klasie?
5
14. Znaleźć odjemną i odjemnik zastępując gwiazdki odpowiednimi cyframi: * ***  ***  2
15. W trójkącie ABC bok AB jest dłuższy od boku AC . Na boku obrano punkt M taki, że AM  AC. Wiadomo,
że dwusieczna kąta BMC jest równoległa do prostej AC . Wyznaczyć miarę kąta BAC .
16. Czy istnieje liczba trzycyfrowa podzielna przez 11, której pierwsza cytra jest większa od drugiej, a druga od
trzeciej?
17. Mamy 6 kul jednakowych na wygląd: 2 żółte, 2 białe i 2 czerwone. W dwóch parach jednokolorowych kule
ważą po 100g, a w trzeciej parze jedna kula waży 99g, a druga 101g. Przy pomocy dwóch ważeń na
wadze szalkowej znaleźć kulę ważącą 99g.
18. Przy zalesianiu pracowało 116 uczniów jednej szkoły i 39 uczniów drugiej szkoły. Uczniowie drugiej szkoły
pracowali dłużej i każdy z nich posadził 3 razy więcej drzew niż każdy uczeń pierwszej szkoły. Uczniowie,
której szkoły posadzili więcej drzew?
19. Na stole leżały trzy kartki z różnymi cyframi. Ułożono z nich dwie liczby trzycyfrowe: największą i drugą co
do wielkości . Okazało się, że ich suma wynosi 1233. Jakie cyfry były na kartkach?
20. Obliczyć miary kątów ostrych trójkąta prostokątnego ABC
 C  90  , jeżeli na bokach
0
AB i BC istnieją
punkty M i N takie, że odcinki AN i MN dzielą trójkąt ABC na trzy przystające trójkąty.
21. Czy istnieje prostokąt, którego długości dwóch boków wynoszą odpowiednio
3
2
i
długości obwodu tego
8 17
prostokąta?
22. Jaka jest cyfra jedności iloczynu:
a) 247  234
b) 328  49  31  235
c) 765  8976  234  9
d) 47
e) 3426
f)
24513
23. W Ustroniu odbywały się zawody: 10% wszystkich uczestników biegało, ½ skakała w dal, a 6 osób rzucało
dyskiem. W wymienionych konkurencjach brało udział 30 osób, reszta grała w grach zespołowych. Ile osób
uczestniczyło w zawodach?
24. Oblicz ilu uczniów jest w Gimnazjum wiedząc, że 10% wszystkich uczniów interesuje się tylko matematyką,
1/5 interesuje się tylko sportem, a 6 osób – tylko historią. Wymienieni uczniowie stanowią grupę 30osobową. Pozostali czekają na wakacje i… piszą wiersze.
25. Oblicz bez użycia kalkulatora sumę wszystkich liczb parzystych od 1 do 2005.
26. W jaki sposób przy pomocy dwóch miarek: 7 – litrowej i 3 – litrowej odmierzyć z dużego pojemnika z
mlekiem porcję 5 – litrową?
27. Trzy kwadranse temu było tyle minut po godzinie 10, ile teraz brakuje do 11. Która teraz jest godzina?
28. Zegar z kukułką bije w połowie każdej godziny i o pełnej godzinie: w połowie godziny – jedno „kuknięcie”, o
pełnej godzinie liczba „kuknięć” jest zgodna z godziną w danej chwili. Ile razy zegar ten bije w ciągu doby?
29. Suma dwóch liczb naturalnych wynosi 73. Jeśli w pierwszym składniku skreślimy jedną cyfrę, to otrzymamy
drugi składnik. Jaki to składnik?
30. Pan i jego pies znajdują się w odległości 1 km od domu. Pan porusza się z prędkością 4 km/h, a pies – 20
km/h. Pies biegnie do domu, wraca do pana, znowu biegnie do domu, wraca itd., aż do momentu, gdy
razem znajdą się w domu. Jaką drogę pokonuje pies?
31. Czy kwadrat, którego wierzchołki leżą w punktach przecięcia kraty utworzonej z kwadratów o boku 1 cm,
może mieć pole równe 29 cm 2?
32. Spośród podanych liczb wybierz podzielne przez 10. Odpowiedź uzasadnij:
a) 95 + 1
b) 95 – 1
c) 56 + 5
d) 56 - 5
33. Sprawdź, czy liczby są podzielne przez 5:
a) 18767 - 12215
b) 43217 - 8765
34. Dwa boki równoległoboku mają odpowiednio 6 cm i 9cm. Wysokość poprowadzona do krótszego boku ma
także 6 cm. Jaka jest długość drugiej wysokości tego równoległoboku?
35. Prostokąt o wymiarach 4 cm i 9cm podziel na dwie części tak, aby można z nich było złożyć kwadrat.
36. Wśród prostokątów, których obwód wynosi 26 cm i boki mają długości będące liczbami naturalnymi
wyznacz te, które mają największe pole.
37. Wyznacz pole prostokąta, w którym jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego, a liczba wyrażająca pole
jest równa liczbie wyrażającej obwód tego prostokąta.
38. Rozważmy prostopadłościany, których długości krawędzi są liczbami naturalnymi. Wyznacz długość
krawędzi takiego prostopadłościanu, który ma największą objętość i w którym suma długości krawędzi
wynosi 36.
39. Czy istniej graniastosłup, ostrosłup, który ma 1995 krawędzi?
40. Jakimi wielokątami są przekroje sześcianu płaszczyzną prostopadłą do przekątnej sześcianu?
41. Dla jakich p wykres funkcji y = 2px + 4 przechodzi przez:
a) III i IV ćwiartkę układu współrzędnych,
b) I, II i III ćwiartkę układu współrzędnych,
c) I, II i IV ćwiartkę układu współrzędnych?
42. Znajdź wszystkie liczby całkowite spełniające nierówność |x – 2| < 5. Rozwiązanie zilustruj na osi
liczbowej.
43. W okrąg wpisano trójkąt ABC, którego
 A  40 0 ,  B  80 0 . Jaką część tego okręgu stanowi łuk
ACB?
44. Znajdź wszystkie liczby całkowite m, dla których ułamek
m  7 jest liczbą całkowitą.
m2
45. Liczba całkowita a przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3. Wykaż, że kwadrat tej liczby pomniejszony o 4 jest
podzielny przez 5.
46. Uczniowie drugiej klasy gimnazjum napisali sprawdzian z matematyki. 10% uczniów otrzymało ocenę
bardzo dobrą, 20% ocenę dobrą, 1/3 ocenę dostateczną, 7 uczniów otrzymało ocenę dopuszczającą, a
pozostali uczniowie otrzymali ocenę niedostateczną. Średnia arytmetyczna wszystkich ocen wyniosła 2,9.
Ilu uczniów otrzymało ocenę dobrą, a ilu niedostateczną?
47. Dzisiaj Wojtek obchodzi szesnaste urodziny. W jakim dniu tygodnia urodził się Wojtek? Odpowiedź
uzasadnij.
48. Pociąg o długości 70 m przejeżdża przez tunel z prędkością 60 km/h. Od momentu, w którym lokomotywa
wjeżdża do tunelu, do chwili, w której koniec ostatniego wagonu opuszcza tunel, upływa 36 s. Oblicz
długość tego tunelu.
49. Pewna liczba nieparzysta przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2. Oblicz resztę z dzielenia tej liczby przez 6.
50. Określ zbiór liczb rzeczywistych, dla których wyrażenie
x  1 ma sens liczbowy.
x( x 2  9)