Zadania w wersji PDF do pobrania!

Trygonometria – omówienie zagadnień
Zadanie 1.
Wiedząc, że 𝛼 jest kątem ostrym i sin 𝛼 =
trygonometrycznych.
1
oblicz wartości pozostałych funkcji
4
Rozwiązanie:
Zapisujemy wzór „jedynkę trygonometryczną”→ 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏
1
W miejsce sin 𝛼 podstawiamy 4.
1
( )2 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1
4
1
+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1
16
1
𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1 −
16
15
𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 =
16
15
𝑐𝑜𝑠𝛼 = √16 - ujemny wynik odrzucamy, dlatego że kąt 𝛼 jest ostry
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑡𝑔𝛼 =
𝑡𝑔𝛼 =
1
4
√15
4
1
=4∙
4
√15
=
√15
4
𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
1
√15
=
1
∙
√15
√15 √15
=
√15
15
Zadanie 2.
Wiedząc, że 𝛼 jest kątem ostrym i tg 𝛼 =
trygonometrycznych.
1
3
oblicz wartości pozostałych funkcji
Rozwiązanie:
Zapisujemy dwa wzory, które wykorzystamy w zadaniu:
𝒕𝒈𝜶 =
𝒔𝒊𝒏𝜶
𝒄𝒐𝒔𝜶
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏
𝑡𝑔𝛼 =
1
3
=
𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
mnożymy na krzyż wyrażenie otrzymując → 𝑐𝑜𝑠 ∝= 3𝑠𝑖𝑛 ∝
W miejsce 𝒄𝒐𝒔 ∝ do wzoru 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏 podstawiamy 𝟑𝒔𝒊𝒏 ∝.
sin2 α + (3sin ∝)2 = 1
sin2 α + 9𝑠𝑖𝑛2 ∝= 1
10𝑠𝑖𝑛2 ∝= 1 |: 10
𝑠𝑖𝑛2 ∝=
𝑠𝑖𝑛 ∝=
1
√10
=
1
1
10
∙
√10
√10 √10
=
√10
10
Wracamy do podstawienia: 𝑐𝑜𝑠 ∝= 3𝑠𝑖𝑛 ∝
𝑐𝑜𝑠 ∝= 3 ∙
√10 3√10
=
10
10
Zadanie 3.
Wykaż, że równość jest prawdziwa:
a) (𝑠𝑖𝑛 ∝ +𝑐𝑜𝑠 ∝)2 + (𝑠𝑖𝑛 ∝ −𝑐𝑜𝑠 ∝)2 = 2
b)
1
𝑐𝑜𝑠∝
− 𝑐𝑜𝑠 ∝ = 𝑠𝑖𝑛 ∝∙ 𝑡𝑔 ∝
Rozwiązanie:
a) (𝑠𝑖𝑛 ∝ +𝑐𝑜𝑠 ∝)2 + (𝑠𝑖𝑛 ∝ −𝑐𝑜𝑠 ∝)2 = 2
Zaczynamy rozwiązywanie od rozpisania lewej strony równości – stosujemy w tym celu
wzory skróconego mnożenia.
(𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
(𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
𝐿 = (𝑠𝑖𝑛 ∝ +𝑐𝑜𝑠 ∝)2 + (𝑠𝑖𝑛 ∝ −𝑐𝑜𝑠 ∝)2
𝐿 = 𝑠𝑖𝑛2 ∝ +2𝑠𝑖𝑛 ∝ 𝑐𝑜𝑠 ∝ +𝑐𝑜𝑠 2 ∝ +𝑠𝑖𝑛2 ∝ − 2𝑠𝑖𝑛 ∝ 𝑐𝑜𝑠 ∝ +𝑐𝑜𝑠 2 ∝
Redukujemy wyrazy podobne:
𝐿 = 2𝑠𝑖𝑛2 ∝ + 2𝑐𝑜𝑠 2 ∝
𝐿 = 2(𝑠𝑖𝑛2 ∝ + 𝑐𝑜𝑠 2 ∝) = 2 ∙ 1 = 2 = 𝑃
b) Przekształcamy jednocześnie lewą i prawą stronę:
1
− 𝑐𝑜𝑠 ∝
𝑐𝑜𝑠 ∝
𝐿=
Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
𝐿=
1 − 𝑐𝑜𝑠 2 ∝
𝑐𝑜𝑠 ∝
Stosujemy podstawienie: 𝑠𝑖𝑛2 ∝= 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 ∝
𝑠𝑖𝑛2 ∝
𝐿=
𝑐𝑜𝑠 ∝
Przekształcamy prawą stronę tożsamości:
𝑃 = 𝑠𝑖𝑛 ∝∙ 𝑡𝑔 ∝
𝒔𝒊𝒏∝
W miejsce 𝑡𝑔 ∝ podstawiamy: 𝒕𝒈 ∝= 𝒄𝒐𝒔∝
𝑃 = 𝑠𝑖𝑛 ∝∙
𝑠𝑖𝑛 ∝ 𝑠𝑖𝑛 ∝∙ 𝑠𝑖𝑛 ∝
𝑠𝑖𝑛2 ∝
=
=
=𝐿
𝑐𝑜𝑠 ∝
𝑐𝑜𝑠 ∝
𝑐𝑜𝑠 ∝
Zadanie 4.
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 3 i 6, a jeden z kątów ostrych ma
1
miarę ∝. Oblicz 𝑠𝑖𝑛∝ ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∝.
Rozwiązanie:
Wykonujemy rysunek:
x
3

6
Obliczamy x stosując twierdzenie Pitagorasa:
𝑥 2 = 32 + 62
𝑥 2 = 9 + 36
𝑥 2 = 45
𝑥 = √45 = 3√5
Wyznaczamy wartość funkcji 𝑠𝑖𝑛 ∝ oraz 𝑐𝑜𝑠 ∝:
3
3
1
√5
𝑠𝑖𝑛 ∝= =
=
=
𝑥 3√5 √5
5
6
6
2
2√5
𝑐𝑜𝑠 ∝ = =
=
=
𝑥
5
3√5 √5
1
Podstawiamy do: 𝑠𝑖𝑛∝ ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∝
1
1 2√5
5 2√5
∙ 𝑐𝑜𝑠 ∝ =
∙
=
∙
→ (𝑠𝑘𝑟𝑎𝑐𝑎𝑚𝑦 na krzyż) = 2
𝑠𝑖𝑛 ∝
5
5
√5
√5
5
Zadanie 5.
Oblicz pole trójkąta równoramiennego o bokach długości 4, 6, 6 oraz kącie przy podstawie
równym 750.
Rozwiązanie:
1
W zadaniu wykorzystamy wzór 𝑃 = 2 𝑎𝑏 𝑠𝑖𝑛 ∝
Obliczamy wartość kąta zawartego między ramionami trójkąta: 180° − 75° − 75° = 30°
Obliczamy wartość pola: 𝑃 =
6
1
2
∙ 6 ∙ 6 ∙ 𝑠𝑖𝑛30° =
6
750
4
1
2
1
1
∙ 6 ∙ 6 ∙ 2 = 36 ∙ 4 = 9 [𝑗 2 ]