Rozkład normalny

Rozkład normalny
Marcin Zajenkowski
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
1 / 26
Rozkład normalny
Krzywa normalna, krzywa Gaussa, rozkład normalny
Rozkłady liczebności wielu pomiarów fizycznych, biologicznych i
psychologicznych mają rozkład normalny
Przy nieograniczonym wzroście liczby niezależnych doświadczeń
statystycznych, wszystkie znane teoretyczne rozkłady zmiennych
losowych dążą do rozkładu normalnego.
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
2 / 26
Rozkład normalny
Rozkład normalny jest rodzajem rozkładu liczebności, czyli
przyporządkowaniem kolejnym wartościom zmiennej odpowiadających
im liczebności.
Rozkład liczebności można traktować jako rozkład prawdopobieństwa.
Czyli: możemy określić jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia
danej wartości (np. wzrostu).
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
3 / 26
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
4 / 26
Plansza Galtona
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
5 / 26
Zapis
Opisując rozkład liczebności zmiennej losowej X należy podać jego
liczebność (N), wartość oczekiwaną (czyli średnią, µ) oraz odchylenie
standardowe (σ).
Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład normalny o wartości
oczekiwanej µ i odchyleniu standardowym σ, czyli:
X : N(µ, σ)
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
6 / 26
Zapis
Opisując rozkład liczebności zmiennej losowej X należy podać jego
liczebność (N), wartość oczekiwaną (czyli średnią, µ) oraz odchylenie
standardowe (σ).
Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład normalny o wartości
oczekiwanej µ i odchyleniu standardowym σ, czyli:
X : N(µ, σ)
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
6 / 26
Równanie krzywej normalnej
y - wysokość krzywej na konkretnych wartości X
π - Stała = 3,14
e - podstawa logarytmów Napierana = 2,71
N - liczba przypadków
µ - średnia rozkładu
σ - odchylenie standardowe
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
7 / 26
Rozkład teoretyczny
Rozkład normalny jest modelem teoretycznym
Zakłada się, że zjawiska w przyrodzie mają rozkład normalny
Gdy N, średnia i odchylenie standardowe są znane, to pod X można
podstawiać różne wartości i otrzymywać wartości Y
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
8 / 26
Wynik standardowy
Wyniki pod krzywą normalną zapisuje się zazwyczaj w jednostkach
odchylenia standardowego - są to bowiem wyniki uniwersalne
W tym celu używa się oblicza się tzw. wyniki standardowe, które mają
średnią 0 i odchylenie standardowe 1.
Powierzchnia pod krzywą traktowana jest jako 1.
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
9 / 26
Wynik standardowy
Wyniki pod krzywą normalną zapisuje się zazwyczaj w jednostkach
odchylenia standardowego - są to bowiem wyniki uniwersalne
W tym celu używa się oblicza się tzw. wyniki standardowe, które mają
średnią 0 i odchylenie standardowe 1.
Powierzchnia pod krzywą traktowana jest jako 1.
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
9 / 26
Wynik standardowy
z =
X −X
s
z - wynik standardowy
X - wynik otrzymany (surowy)
X - średnia arytmetyczna
s - odchylenie standardowe
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
10 / 26
Przykład
Badamy wzrost w grupie studentów. Odchylenie = 5, średnia = 175
Jakie jest z dla wzrostu równego 180, 165, 175?
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
11 / 26
Zadanie
Zamień na wyniki standardowe następujące wyniki surowe:
3, 6, 7, 9, 15, 20
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
12 / 26
Rozwiązanie
-1.11, -0.63, -0.47, -0.16, 0.79, 1.58
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
13 / 26
Rozkład normalny dla wyników z
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
14 / 26
Rozkład normalny dla wyników z
Rozkład normalny dla wyników z przyjmuje zawsze stałe wartości
średniej i odchylenia standardowego
X =0
s =1
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
15 / 26
Wysokość krzywej
Znając wartość z (lub X), można obliczyć wysokość krzywej (y) w
dowolnym punkcie.
Np. gdy z = 0, y = 0,3989
Wysokości rzędnych można odczytać z tablic statystycznych.
Rzędne – rzadko używane
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
16 / 26
Obszar pod krzywą
O wiele częściej określa się obszar pod krzywą normalną.
Przyjmuje się, że całkowity obszar pod krzywą = 1 (lub 100 %)
Można go określić jako prawdopodobieństwo wystąpienia wartości z
przedziału
Np. pomiędzy z = 0 a z = 1. Obszar ten wynosi 0.3413
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
17 / 26
Obszar pod krzywą
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
18 / 26
Zadanie
Jaki jest całkowity obszar pod krzywą normalną poniżej z = 1?
Jaki jest całkowity obszar pod krzywą normalną powyżej z = 1?
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
19 / 26
Zadanie
Jaki jest całkowity obszar pod krzywą normalną poniżej z = 1?
Jaki jest całkowity obszar pod krzywą normalną powyżej z = 1?
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
19 / 26
Rozwiązanie
Poniżej: 0.3413 + 0.5 = 0.8413
Powyżej: 1 – 0.8413 = 0.1587
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
20 / 26
Zadanie 2
Jakim z odpowiada obszar powyżej i poniżej średniej obejmujący:
ok 0.68
0.95
0.99
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
21 / 26
Rozwiązanie
1
1.96
2.58
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
22 / 26
Zadanie 3
Jaki procent populacji ma iloraz inteligencji = 120 lub wyższy? Średnia IQ
= 100, s = 15.
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
23 / 26
Rozwiązanie
z = (120 – 100)/15 = 1.33
z = 1.33 = 0.4082 obszaru
1 – 0.4082 = 0.0918
Wynik: Około 9.2%
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
24 / 26
Zadanie 4
Średnia wyników testu zdolności wynosi 500, odchylenie standardowe =
100. Jaki procent badanych osiąga wyniki:
powyżej 700
poniżej 600
między 400 a 700
między 600 a 700
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
25 / 26
Właściwości rozkładu normalnego
Jest rozkładem symetrycznym (czyli liczebności odpowiadające
wartościom zmiennej rozkładają się symetrycznie wokół liczebności
największej)
W punkcie centralnym rozkładu znajduje się średnia arytmetyczna, a
także modalna i mediana.
Z tego wynika, że średnia arytmetyczna jest wartością cechy
najczęściej spotykaną w badanej zbiorowości
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
26 / 26
Właściwości rozkładu normalnego
Najwyższa rzędna jest w punkcie z = 0.
Krzywa normalna jest asymptotyczna
Punkty zagięcia krzywej w +- 1 odchylenie standarowe
Marcin Zajenkowski ()
Rozkład normalny
27 / 26