zad.1 (a) Rozpatrujemy podzbiór X przestrzeni R2n składający się z

8. seria zadań domowych, 6.12.2016r.
zad.1 (a) Rozpatrujemy podzbiór X przestrzeni R2n składający się z wszystkich
wektorów mających jako współrzędne n liczb 1 i n liczb −1. Czy istnieje baza B
przestrzeni R2n składająca się wyłącznie z (niektórych) wektorów z X?
(b) Rozpatrujemy teraz podzbiór X5 przestrzeni R5 składający się z wszystkich
wektorów mających jako współrzędne 2 liczby 1 i 3 liczby −1. Czy istnieje baza
B przestrzeni R5 składająca się wyłącznie z (niektórych) wektorów z X?
zad.2 Rozważmy następujące podprzestrzenie przestrzeni R4
Us = lin((1, 1, 1, 1), (1, −1, 1, −s)),
Wt = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 |x1 + x2 = 0 i x3 + tx4 = 0}.
(a) Obliczyć dim Us , dim Wt .
(b) Dla jakich par parametrów s, t mamy
R4 = Us ⊕ Wt ?
zad.3 Niech (xn ) będzie ciągiem liczbowym zadanym przez rekurencję
xn+2 = 4028xn+1 − (20142 + 1)xn dla n ≥ 1,
oraz warunki początkowe x1 = 1, x2 = 2014. Czy prawdą jest, że dla każdego
n ≥ 1 mamy xn > 0? Odpowiedź uzasadnić.
Wskazówka. W przestrzeni ciągów (nad ciałem C ) spełniających podaną rekurencję znaleźć bazę złożoną z ciągów geometrycznych. Zapisać podany ciąg w tej
bazie.
1