PARADOKSY NIESKOŃCZONOŚCI
advertisement
PARADOKSY NIESKOŃCZONOŚCI Grzegorz Szkibiel Organizacja 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Hotel Hilberta Zbiory równoliczne „Duży” zbiór przeliczalny „Mały” zbiór nieprzeliczalny Zbiór wszystkich zbiorów. Paradoksy Cantora i Russella Paradoksy Zenona z Elei Dodawanie nieskończone Jedna cyfra mniej i... skończone! 1. Hotel Hilberta David Hilbert (ur. 23 stycznia 1862 w Królewcu (Prusy Wschodnie), zm. 14 lutego 1943 w Getyndze) – matematyk niemiecki; zajmował się algebraiczną teorią liczb, teorią równań całkowych, zagadnieniami rachunku wariacyjnego, podstawami geometrii i logiki matematycznej oraz problemami fizyki matematycznej. D. Hilbert był profesorem uniwersytetu w Getyndze, jednego z najważniejszych wówczas ośrodków myśli matematycznej w świecie. W pierwszym okresie swej działalności naukowej pracował nad teorią niezmienników algebraicznych. Udowodnił twierdzenie o istnieniu skończonej bazy dla układu niezmienników. Wyniki swych badań opublikował w książce Grundlagen der Geometrie z 1899 roku (Podstawy geometrii), w której podał formalne aksjomatyczne ujęcie geometrii klasycznej. 1. Hotel – zawsze wolne miejsca • Ma nieskończoną liczbę pokoi. • Dlatego zawsze znajdzie się w nim wolny pokój. • Jeśli nie, wystarczy gościa z pokoju nr 3 przenieść do pokoju 4, tego z pokoju 4 do pokoju 5 itd. Pokój 3 będzie wolny! 2. Zbiory równoliczne Czego jest więcej: czereśni, czy jabłek? 2. Zbiory równoliczne • Wybieramy z każdego kosza po jednym owocu. • Wniosek: kosz, który szybciej będzie pusty jest „mniej liczny” 2. A gdyby owoców było nieskończenie wiele? Rozważmy zbiór liczb naturalnych oraz zbiór liczb całkowitych. 1 2 3 4 5 6 7 0 -1 1 -2 2 -3 3 k −1 , jeśli k jest liczbą nieparzystą 2 f (k) = − k , jeśli k jest liczba parzystą 2 3. Zbiór przeliczalny - definicje • Dwa zbiory nazywamy równolicznymi jeśli istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna odwzorowująca jeden zbiór na drugi. • Zbiór równoliczny zbiorowi liczb naturalnych N nazywamy przeliczalnym. • Zbiór przeliczalny możemy ustawić w ciąg. • Zbiór nieskończony, który nie jest przeliczalny nazywamy nieprzeliczalnym. 3. Liczby wymierne 3. Liczby wymierne • Na liniach ukośnych suma licznik + mianownik jest stała. • Liczby wymierne dodatnie można zatem ustawić w ciąg. • Zbiór liczb wymiernych dodatnich jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. • Biorąc na przemian liczby dodatnie i ujemne, dochodzimy do następujacego wniosku: Wniosek: Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. 4. Zbiór Cantora - „mały” zbiór nieprzeliczalny 1. Z odcinka <0,1> wycinamy środkową część. 2. Z powstałych dwóch odcinków wycinamy środkowe części. 3. Postępujemy tak dalej w nieskończoność. Konstrukcja zbioru Cantora na YouTube 4. Georg Cantor Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (ur. 3 marca 1845 w Sankt Petersburgu, zm. 6 stycznia 1918 w sanatorium w Halle) – niemiecki matematyk. Studiował w Darmstadt, Zurychu i Getyndze. Doktorat obronił w 1867 roku w Berlinie. Do jego nauczycieli należeli: Karl Weierstraß, Ernst Eduard Kummer oraz Leopold Kronecker. Uczył w berlińskim gimnazjum i ponad trzydzieści lat był profesorem uniwersytetu w Halle (Saale). Był zaprzyjaźniony z Ryszardem Dedekindem. Cantor miał znaczący udział w tworzeniu podwalin nowoczesnej matematyki. W szczególności uchodzi za twórcę teorii mnogości. 4. Ciągi 0-1 Rozważamy ciągi nieskończone, w których wyrazami są tylko 0 lub 1 np. (0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, …) (1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, …) Takich ciągów jest nieprzeliczalnie wiele, bo gdyby zbiór wszystkich ciągów 0-1 był przeliczalny to moglibyśmy wypisać wszystkie te ciągi: 4. Ciągi 0-1 a11 a12 a13 a14 a15 … a21 a22 a23 a24 a25 … a31 a32 a33 a34 a35 … a41 a42 a43 a44 a45 … a51 a52 a53 a54 a55 … … … … … … … Ale na powyższej liście nie ma ciągu (1-a11, 1-a22, 1-a33, 1-a44, 1-a55, …) Zatem mamy sprzeczność. 4. Zbiór Cantora jest nieprzeliczalny Każdemu elementowi zbioru Cantora przypisujemy ciąg 0-1: jeśli element znajduje się z lewej strony wyciętego odcinka przypisujemy mu wartość 1. W przeciwnym wypadku przypisujemy mu wartość 0. Wniosek: Zbiór Cantora jest równoliczny zbiorowi ciągów 0-1, czyli jest nieprzeliczalny. 4. Paradoks Cantora Georg Cantor zauważył, że zbiór A oraz zbiór P(A), wszystkich podzbiorów zbioru A, nie są równoliczne. A jak jest ze „zbiorem wszystkich zbiorów” X? Przecież P(X) jest podzbiorem X. W ten sposób dochodzimy do paradoksu w stylu: czy Pan Bóg potrafi stworzyć kamień, którego nie podniesie? 5. Paradoks Russella W „zbiorze wszystkich zbiorów” powinny istnieć zbiory R o własności R ∈ R. I tu mamy serię paradoksów Russella. 5. Paradoks Russella 1. Fryzjer Na wsi Russellowo w gminie Bertrandów mieszka fryzjer, który strzyże tylko tych mieszkańców, którzy nie strzygą się sami. Czy strzyże on sam siebie? 5. Paradoks Russella 2) Powieszony czy rozstrzelany. Republika Russellandii jest państwem zamkniętym dla cudzoziemców. Dowódcy straży granicznej mają rozkaz zadać każdemu, który przekroczy granicę pytanie: dlaczego przekroczyłeś granicę? Jeśli powie prawdę należy go rozstrzelać, jeśli skłamie – powiesić. Aż ktoś powiedział tak: Przekroczyłem granicę, bo będę powieszony. I co z takim zrobić? 5. Bertrand Russell Bertrand Arthur William Russell, 3. hrabia Russell (ur. 18 maja 1872 r. w Ravenscroft (Monmouthshire), zm. 2 lutego 1970 r. w Penrhyndeudraeth, Walia) – brytyjski filozof, logik, matematyk, działacz społeczny i eseista. Laureat Nagrody Nobla w dziedzinie literatury za rok 1950. Zainicjował w 1954 roku kampanię pokojową Pugwash. 5. Nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów Wszystkie zbiory, które spełniają warunek Russela R ∈ R nazwiemy zbiorami czerwonymi. Załóżmy że istnieje zbiór wszystkich zbiorów. Wyróżnimy w nim dwa podzbiory: C = zbiór wszystkich czerwonych zbiorów. N = zbiór pozostałych zbiorów (niebieskich). Czy zbiór N jest niebieski? Jeśli tak, to N ∈N, a to oznacza że jest on czerwony, więc nie jest niebieski. Jeżeli nie, to N nie jest niebieski, czyli czerwony. Stąd N ∈ N. Ale N jest zbiorem zbiorów niebieskich, więc jest niebieski! Sprzeczność. 6. Paradoksy Zenona z Elei Są to paradoksy, które łączy ukazanie trudności w rozumieniu czasu i przestrzeni jako wielkości ciągłych, które można w związku z tym dzielić w nieskończoność. Oprócz znaczenia czysto filozoficznego, paradoksy te mają też znaczenie matematyczne i fizyczne. 6. Zenon z Elei Zenon z Elei (ok. 490-430 p.n.e.), filozof grecki. Następca Parmenidesa z Elei, główny przedstawiciel szkoły eleatów, wg Arystotelesa - twórca dialektyki. Posługując się wyszukanymi argumentami rozumowymi bronił tezy o niezmienności i niepodzielności bytu. Sformułował słynne paradoksy, które miały dowodzić, że ruch (zmiana) nie istnieje. Przeciwko wielości rzeczy wysuwał twierdzenie, że nie można w nieskończoność dzielić czegoś, bo uzyska się w końcu części nie posiadające wymiarów, a suma części bez wymiarów musi być równa zeru. 6. Achilles i żółw 6. Strzała Załóżmy, że wystrzelona z łuku strzała pokonała określony dowolny odcinek drogi. Można więc powiedzieć, że w momencie wystrzelenia znajdowała się ona na początku tej trasy, a po dotarciu do celu – na końcu. Pytanie jednak, gdzie przebywała w trakcie pokonywania tej drogi. Można odpowiedzieć, że w 1/4 czasu pokonywania tego odcinka musiała być niewątpliwie w 1/4 odcinka. Gdy zadamy pytanie, gdzie była po 1/2 czasu lotu, znowu można odpowiedzieć, że w 1/2 odcinka. Po 3/4 czasu – w 3/4 odcinka, i tak dalej w nieskończoność. Możemy sobie wyobrażać dowolną chwilę lotu, w którym strzała znajdowała się w jakimś konkretnym punkcie, w konkretnej odległości od łucznika. Czyli możemy powiedzieć, że skoro w każdej chwili znajdowała się w jakimś konkretnym punkcie, więc w każdej chwili była w spoczynku. Niemożliwe jest zatem, aby w każdej chwili czasu strzała pozostawała w spoczynku i poruszała się jednocześnie. 6. Dawne próby rozwiązania paradoksów • Dowodzono, iż w świecie rzeczywistym nie można dzielić odcinków w nieskończoność, a także, że wszystkie zjawiska zachodzące w nim są ciągłe, a nie punktowe, jak w ujęciu Zenona. • Matematyk Giovanni Benedetti (1530-1590) twierdził, iż "zatrzymywanie" obiektów w ich ruchu to dostrzeganie jedynie części zjawiska, bowiem między statycznymi obrazami znajdują się nieskończenie krótkie odcinki czasu, w których obiekt przebywa odpowiednie odcinki drogi. 6. Dzisiejsze rozwiązania • W matematyczny sposób można łatwo udowodnić, że w tym przypadku suma nieskończonej liczby odcinków daje odcinek o skończonej długości, a więc czas potrzebny do pokonania go również jest skończony. • Paradoks dotyczący Achillesa i żółwia można rozwiązać za pomocą wykresu pokazującego stosunek drogi do czasu i punkt, w którym Achilles zrówna się z żółwiem. 6. Pozostałe paradoksy Zenona Miara: Jeśli wielość istnieje, musi być jednocześnie nieskończenie mała i nieskończenie duża. Wielość z definicji musi być podzielna, podzielna zaś jest dopóki jej części posiadają wielkość. Jeżeli jest nieskończenie podzielna, to składa się z nieskończenie wielu części. Jeżeli części te nie mają wielkości, to również całość, złożona z części pozbawionych wielkości, musiałaby być pozbawiona wielkości. Jeżeli części mają skończoną wielkość, to całość, jako złożona z nieskończenie wielu części posiadających jakąś wielkość, byłaby nieskończonej wielkości. 6. Pozostałe paradoksy Zenona • Ilość: Jeśli wielość istnieje, musi być zarówno skończona i nieskończona w ilości. Jeśli rzeczy jest tyle ile jest, to ich ilość powinna być skończona. Jednak każde dwie rzeczy są oddzielone przez trzecią, a pomiędzy nimi są następne i tak dalej. I tak liczba istniejących rzeczy jest nieograniczona. • Miejsce: Jeżeli wszystko, co istnieje, zajmuje jakieś miejsce, to również miejsce musi mieć swoje miejsce i tak dalej, w nieskończoność. 6. Pozostałe paradoksy Zenona • Soryt: od gr. σωρός czyli stos : Jaką najmniejszą liczbę ziaren nazwać można stosem (ziaren)? • Siew: Skoro przy zasiewaniu pojedynczego ziarna brak jest wrażeń słuchowych, to przy zasiewaniu większej ilości szum musi być złudzeniem. • Argumenty przeciwko wielości opierają się na błędnym założeniu (tym samym co argumenty przeciw ruchowi), iż można dzielić w nieskończoność. Błędność "siewu" polega na wyciąganiu wniosku ze zbyt niskiego poziomu szumu przy sianiu małej ilości ziarna. 6. Pozostałe paradoksy Zenona • Stacja benzynowa: • Ile kosztuje kropla benzyny? • Nic. • To poproszę ich 200000000000000. 7. Dodawanie nieskończone Czy można dodać nieskończoną liczbę składników? Rozważmy na przykład sumę: 1+ + + + ⋯ + +⋯ Zauważmy, że suma dwóch początkowych składników jest równa . Natomiast suma czterech początkowych składników jest równa . Ogólnie suma n początkowych składni- ków wynosi . Możemy więc przyjąć, że nasza suma nieskończona jest równa 2. 7. Dodawanie nieskończone Rozważmy sumę 1 1 1 1 = + + + ⋯+ +⋯ 1∗2 2∗3 3∗4 +1 Aby obliczyć sumę n początkowych składników, zauważmy że: 1 1 1 = − +1 +1 Zatem nasza suma przybiera postać: 1 1 1 1 1 − + − + ⋯+ − 1 2 2 3 Więc jest równa 1− . Ostatecznie = 1. 1 +1 7. Dodawanie nieskończone Rozważmy sumę: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + ⋯+ + ⋯ 2 3 4 5 6 7 8 Tym razem: 1 1+ >1 2 1 1 1 + > 3 4 2 1 1 1 1 1 + + + > 5 6 7 8 2 …i tak dalej. Ogólnie suma 2 początkowych składników jest większa od . Zatem cała suma jest równa ∞. 8. Jedna cyfra mniej i... skończone • Zadanie: Czy suma odwrotności liczb naturalnych zapisanych bez użycia cyfry 7 jest nieskończona? • Pokażemy, że nie. Najpierw zajmiemy się sumą 1 1 1+ + +⋯ 11 111 czyli sumą odwrotności liczb naturalnych zapisanych za pomocą tylko jednej cyfry. 8. Jedna cyfra mniej i... skończone • Zauważmy, że 1 = !" , < ! , < !$ ,… • Ogólnie, n-ty składniek naszej sumy jest mniejszy lub równy ' . ! • Zatem nasza suma jest mniejsza lub równa = " ! ( <1 8. Jedna cyfra mniej i... skończone • Rozważmy teraz sumę 1 1 1 1 1 1+ + + + + 2 11 12 21 22 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + +⋯ 111 112 121 122 211 212 221 222 odwrotności liczb naturalnych zapisanych za pomocą dwóch cyfr. 8. Jedna cyfra mniej i... skończone Mamy tu: • Dwie odwrotności liczb jednocyfrowych – ich suma jest mniejsza od = 2 ∗ ( )! . ! • Cztery odwrotności liczb dwucyfrowych – ich suma jest mniejsza od = 2 ∗ ( ) . ! ! • Osiem odwrotności liczb trzycyfrowych – ich suma jest mniejsza od =2∗( ) . !! • Itd. ! 8. Jedna cyfra mniej i... skończone • Ostatecznie, mamy oszacowanie naszej sumy przez liczbę 2∗ $ " = ! = 2,5. • A co z naszą pierwotną sumą? • Jest mniejsza od 9∗ , " = 90. Linki 1. 2. 3. 4. 5. http://pl.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor http://pl.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert http://www.moskat.pl/szkola/matematyka/b_zbiory.php http://www.youtube.com/watch?v=MdNg6f0e1Ys http://pl.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell Literatura 1. Michał Szurek, Opowieści matematyczne, wyd. WSiP, Warszawa 1987, 2. Manfred R. Schroeder, Number Theory in Science and Communication, Springer, Berlin 1997, 3. Roland L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik, Matematyka konkretna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1996, 4. Rooney Anne, Fascynująca Matematyka, Bellona, Warszawa 2011.