6. Postać trygonometryczna

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Wstęp
Wprowadzenie liczb zespolonych
Moduł liczb zespolonej
Argument liczby zespolonej
Liczby sprzężone
Postać trygonometryczna
Wzory
Liczby zespolone
1.Wstęp:
Wiemy, że każdą liczbę rzeczywistą można przedstawić graficznie albo jako odcinek
odmierzony na danej osi OX, albo jako punkt na tej osi, umawiamy się zatem umieszczać
początki wszystkich odcinków w początku układu współrzędnych; dodatkowo: każdemu
odcinkowi lub punktowi na osi OX odpowiada określona liczba rzeczywista.
Jeśli teraz zamiast jednej osi OX będziemy rozpatrywać całą płaszczyznę odniesioną do osi
współrzędnych OX i OY, to uogólniając w odpowiedni sposób pojęcie liczby otrzymamy
możliwość przyporządkowania każdemu wektorowi leżącemu na tej płaszczyźnie lub
każdemu punkowi tej płaszczyzny pewnej liczby, którą nazwiemy liczbą zespoloną.
Każdy wektor MN płaszczyzny można przedstawić jako sumę dwóch wektorów MP i PN
równoległych do osi współrzędnych (rys.):
Wektorowi AfP równoległemu do osi OX odpowiada pewna liczba rzeczywista a. Wektorowi PN równoległemu do osi OY niech odpowiada symbol „bi”, gdzie b jest liczbą
rzeczywistą, której bezwzględna wartość równa jest długości wektora PN; liczba ta jest
dodatnia, jeśli kierunek PN jest zgodny z dodatnim kierunkiem osi OY, a ujemna,, jeśli
kierunek W jest przeciwny dodatniemu kierunkowi OY. Jest zatem rzeczą naturalną
przyporządkować wektorowi MN liczbę zespoloną mającą postać:
a + bi.
Zwracamy uwagę na fakt, że znak „+”, w napisanym wyrażeniu a+bi nie jest znakiem
działania. Wyrażenie to należy rozpatrywać jako jednolity symbol dla oznaczenia liczby
zespolonej.
W wyniku nadania wyrażeniu: a + bi oraz literom a i b wszystkich możliwych wartości
rzeczywistych otrzymujemy zbiór liczb zespolonych, gdzie: „a” nazywamy częścią
rzeczywistą, „b” częścią urojoną liczby zespolonej, natomiast ,,i” to jednostka urojona.
By łatwiej zrozumieć pojęcie liczby zespolonej przyjrzyjmy się poniższym rozważaniom
Rozważmy równanie:
2
x
+x+1=0
Ponieważ  = 1- 4 = - 3 < 0, więc brak pierwiastków rzeczywistych x  R
Stosując klasyczne działania:
=
3 =
1
3
i przyjmując oznaczenie
1 = i  -1 = i
2
otrzymujemy:
=
x 1/ 2 =
x 1/ 2 =
3i
b 
2a
 1  3i
=
2
3
1
i
+
2
2
3
1
i
- 2
2
-
Sprawdzenie:
L(x 1 ) = ( -
3 2
1
1
i) +(- +
+
2
2
2
3
3
3
1
1
3 3
3
i)+1=
i + i2 i +1=
+
- =0
4
2
4 4
4
2
2
2
L=P
L(x 2 ) = ( -
3 2
3
3
3
1
1
1
1
3 3
3
i) +(i)+1= +
i + i2 i +1=
- =0
2
2
4
2
4 4
4
2
2
2
2
L=P
2.Wprowadzenie liczb zespolonych
Zauważyliśmy, że w powyższym przykładzie nie zawierającym rozwiązań rzeczywistych
istnieją jakieś rozwiązania postaci:
x1 = -
3
1
i
+
2
2
x2 = -
3
1
i
2
2
Zatem istnieje zbiór liczb zespolonych Z zawierający podzbiór liczb rzeczywistych R
( Z  R), w której te rozwiązania istnieją. Liczby tworzące zbiór Z będziemy nazywać
liczbami zespolonymi .
Liczbą zespoloną nazywamy parę uporządkowanych liczb rzeczywistych ( a, b ).
Często taką parę zapisuje się w postaci sumy
z = a + bi, gdzie i2 = -1
Liczbę zespoloną możemy zatem zdefiniować następująco:
z = a + bi = a ∙ 1 + b ∙ i = ( a, b ) :
gdzie:
1 = i  -1 = i
a, b  R
2
Jeżeli b = 0 to z = a + 0 ∙ i = a = (a, 0) = a
gdzie a  R
a – liczba rzeczywista ( leży na osi rzeczywistej )
gdy a = 0 to z = 0 + bi = (0, b) = bi
gdzie b  R
b – liczba urojona ( leży na osi urojonej OY o jednostce i )
Liczby zespolone interpretujemy geometrycznie jako punkty płaszczyzny.
Liczbie zespolonej a+bi odpowiada punkt o współrzędnych (a,b) płaszczyzny zaopatrzonej w
prostokątny układ współrzędnych.
Punktom osi OX odpowiadają liczby rzeczywiste.
Płaszczyznę, na której umieściliśmy liczby zespolone, nazywamy płaszczyzną Gaussa.
Liczbą przeciwną do z = a + bi nazywamy: – z = – a – bi
Jeżeli a, b  0
to
z = a + bi = (a, b)
Z powyższych równań wynika, że liczba zespolona leży na płaszczyźnie zespolonej o osiach
rzeczywistych i osiach urojonych (Y).
W szczególnym przypadku liczby na osi OX są liczbami rzeczywistymi, a liczby urojone leżą
na osi OY tzn. a X, bi  Y, z = a + bi  Z = X  Y
Płaszczyzna zespolona jest więc zbiorem wszystkich liczb zespolonych tzn. zbiorem takich
par liczb rzeczywistych, gdzie:
a  X(1)
Z = X Y =
(a, b) :
b  Y(i)
a  X(1)
Z =
z : z = a + bi = (a, b)
b  Y(i)
czyli
Przykład 1
z3  z = 3 – i
(3 – i) 3 = 27 – 27i + 9i 2 - i 3 = 27 - 27i – 9 + i = 18 – 26i .
Przykład 2
3i
11  3i 11 3
(3  i)(3  2i)
9  6i  3i  2i 2
=
=
=
=
- i.
2
2
3  2i
13
13 13
(3  2i)(3  2i)
3  (2i)
Przykład 3
1 i
1 5
(1  i)( 2  3i)
5i  2  3  1  5i
2  2i  3i  3i 2
=
=
=
=
=  i .
2
2  3i
13
13 13
(2  3i)( 2  3i)
4  (9)
4  9i
Przykład 4
(2  i)(4  i)i  (8  2i  4i  i 2 )i  (8  2i  1)i  (9  2i)i  9i  2i 2  2  9i .
Przykład 5
(1-3i) + (2-4i) = (1, -3) + (2, -4) = (3, -7) = 3-7i.
Y( i )
3
X( 1 )
(0,0)
(3-7i)
-7
Przykład 6
2
x + 2x +4 = 0
 = 4-16 = -12 < 0
xR
brak pierwiastków rzeczywistych
=
x 1/ 2
 12 =
1 · 4  3 = 2 3 i
b 
 2  2 3i
=
=
= -1 
2
2a
-1+
3i
-1-
3i
3i =
Y( i )
3
-1
X( 1 )
- 3
Przykład 7
(2 – 3i )(5 + 4i ) = [2 ∙ 5 – ( - 3) ∙ 4 ] + [2 ∙ 4 + ( - 3) ∙ 5]i = 22 – 7i
Przykład 8
(2 – 3i )3 + (2 + 5i )3 = 23 + 3 ∙ 22 (- 3i) + 3 ∙ 2( - 3i)2 + ( - 3i)3 +
+ 23 +3 ∙ 22 ∙ 5i + 3 ∙ 2(5i)2 + (5i)3 =
= 8 – 36i - 54 +27i + 8 + 60i – 150 –125i = -188 – 74i
Przykład 9
3  2i (3  2i )( 4  3i ) 6  17i 6 17




i
4  3i (4  3i )( 4  3i )
25
25 25
Przykład 10
1
3 i 2

3i 2
( 3  i 2 )( 3  i 2 )

3
2

i
5
5
3. Moduł liczby zespolonej :
______
Modułem liczby zespolonej: z = a + ib nazywamy liczbę rzeczywistą nieujemną: √ a2 + b2
i oznaczamy │z│= √ a2 + b2 .
Jeżeli liczbę zespoloną z = a + ib interpretujemy jako punkt P ( a, b ) płaszczyzny, to│z│
jest równy długości wektora o początku w punkcie O ( 0, 0 ) i końcu w punkcie P ( a, b ):
│z│= │OP
4. Argument liczby zespolonej:
__
Argumentem liczby zespolonej: z = a + ib nazywamy kąt φ, jaki tworzy wektor OP z
dodatnim zwrotem osi liczb rzeczywistych x. Zapisujemy to w sposób następujący:
φ = Arg z . Każda liczba zespolona ma nieskończenie wiele argumentów różniących się
wielokrotnością 2π. Tego z nich, który spełnia nierówność 0≤ φ < 2π nazywamy
argumentem głównym i zapisujemy: φ = arg z.
5. Liczby sprzężone:
_
Liczbą sprzężoną do liczby zespolonej z = a + ib nazywamy liczbę z = a − ib, gdzie:
z = ( a, − b ).
_
______
Z interpretacji geometrycznej liczby sprzężonej wynika , że │z│= │z│= √ a2 + b2.
Uwaga!
Równanie kwadratowe ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c є R ) posiada w przypadku Δ < 0 parę
pierwiastków rzeczywistych sprzężonych postaci:
x1/2 =
(-b   ) (-b   •
=
2a
2a
-1 )
=

b
)i.
 (
2a
2a
6. Postać trygonometryczna :
Niech będzie dana liczba zespolona: z = a + ib = ( a; b ).
Każdą liczbę zespoloną można utożsamiać z punktem na płaszczyźnie ( a; b ).
Z interpretacji postaci geometrycznej:
______
gdzie: r = √ a2 + b2 = │z│ wynika, że:
cos φ =
a
z
sin φ =
∩
b
.
z
Rozwiązanie tj. a = │z│∙ cos φ , b = │z│∙ sin φ podstawiam do postaci algebraicznej
liczby zespolonej: z = a + ib i otrzymuję postać trygonometryczną:
z = │z│∙ cos φ + i ∙│z│∙ sin φ,
upraszczając:
z = │z│ ( cos φ + i ∙ sin φ ).
Przykład :
Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną 1 -i
Najpierw obliczymy moduł i argumenty :
r  12  (1) 2  2
cos  
1
2
; sin   
1
7
; więi    .
4
2
Ponieważ:
Zatem:
7
7 

1  i  2  cos   i sin  .
4
4 

7. Wzory:
Mnożenie i dzielenie dla postaci trygonometrycznej:
1° z1 ∙ z2 = │z1│ ∙ │z2│ ∙ [ cos( φ1 + φ2 ) + i ∙ sin( φ1 + φ2 ) ];
2°
z
z1
= 1 ∙ [ cos(φ1 − φ2 ) + i ∙ sin( φ1 − φ2 ) ].
z2
z2
Postać wykładnicza i logarytmiczna:
3° z = │z│∙ ℮i 
4° ℮z = ℮a + ib = ℮a ( cos φ + i ∙ sin φ ),
przy czym: │℮a + ib │= ℮a ;
5 ° Ln z = ln │z│ + i ∙ ( 2kπ + φ )
dla: k є C i φ = arg z,
ln z = ln │z│ + i ∙ φ
dla k = 0 i φ = arg z.
6 ° zw = ℮wln z.
Wybrane wzory de Moivre,a:
7 ° zn = [│z│ ∙ ( cos φ + i ∙ sin φ ) ]n = │z│n ∙ ( cos nφ + i ∙ sin nφ ),
gdzie: n є N
n__
n____
8° zk = √ z = √ │z│ ∙ { cos[(φ + 2kπ)/ n] + i ∙ sin[(φ + 2kπ)/ n]},
dla: k = 0, 1, 2, 3, ..., n − 1.
Przykład 1:
(1+i)10 =?
│z│= 12  12 =
cos  =
z=
2
1
1
 sin  =
  = 45 
2
2
2 (cos 45 + isin45 )
z10 = ( 2 )10(cos(10 ∙ 45  + isin(10 ∙ 45 )
(1+i)10 = 32(0+i) = 32i
Przykład 2:
Wykonać mnożenie liczby z1 i z2 , korzystając z postaci trygonometrycznej
z1  3 , z 2  1  i
W wyniku sprowadzenia liczb z1 iz2 do postaci trygonometrycznej mamy:
z1  3  1  2
cos  1 
3
1

, sin  1  ,  1  ,
2
2
6
z2  1  1  2
cos  2  
1
2
, sin  2  
1
5
, 2  
4
2
W wyniku mnożenia liczb zespolonych z1 i z2 dostajemy:


5
5 


z1  z 2  2 cos  i sin   2  cos   i sin   
6
6
4
4 


  5 
  5 
 2  2 cos     i sin     
 6 4 
 6 4 
17
17 

 2  2  cos   i sin  
12
12 

Przykład 3:
Udowodnić, że cos 3x = cos x ( 4 cos2 x – 3 ) i sin 3x = sin x (3 – 4sin2 x )
Wiemy, że (cos x + isin x )3 = cos3 x + 3i cos2 xsin x – 3cosxsin2 x – i sin3 x
Ze wzoru Moivre’a mamy (cos x + isin x )3 = cos 3x + isin 3x
cos 3x = cos 3 x + 3cosxsin2 x = cos3 x – 3cosx ( 1 –cos2 x) = 4cos3 x – 3cosx =
= cosx ( 4cos2 x –3 )
sin 3x = 3cos2 xsinx – sin3 x = 3 (1 –sin2 x) sinx –sin3 x = 3sinx – 4sin3 x =
= sinx (3 – 4sin2 x)
Wybrane wzory Eulera:
9 ° cos z =
( e iz  e -iz )
;
2
( e iz - e -iz )
10 sin z =
2i
°
gdzie: eiz = cos z + i ∙ sin z.
Nota autorska:
Praca zbiorowa:
Dariusz Signetzki
Mikołaj Kaźmierczak
Poprawiły i zmodyfikowały:
J.Gryska , E.Guth