Analiza zespolona, II rok SUM, lista zadań nr 1

Analiza zespolona, II rok SUM, lista zadań nr 1
 2
2
1) Zbadać zbieżność ciągów a) zn  

i

 2
2 

n
n
 3 i 
2) Zbadać zbieżność szeregów a)  
 b)

n 1  2  3i 

2n  1  2ni
.
n  2i
b) zn 

nn
 n! e  i

n 1

3) Jaką linię przedstawia równanie a) z   2  3i  t b) z  t 
4) Oblicz a) pochodną funkcji z  1  it  et b) całkę
n
.
i
?
t
2
  cos 3t  i sin 3t  dt
.
1
5) Określić dziedzinę funkcji oraz jej część rzeczywistą i urojoną a) w 
6) Jaką krzywą przedstawia równanie a) Re
7) Wyznacz obrazy linii a) z  1
1

z
b)
z
b) w  z 4 .
z 1
z i
 .
zi
b) Re z  1 c) Im z  0 w przekształceniu w 

n!
n
8) Znaleźć promień i koło zbieżności szeregu a)  n  z  2  b)
n 1 n
1
.
z
1  i 
n
 z  i .

n 1  n  2  n  1
n

9) Znaleźć część rzeczywistą i urojoną liczby a) sin(1  2i ) b) cos i c) e i d) Ln(i ) .
10) Wykazać, że moduły liczb a) cos 2i b) cos3i są większe od 1.
11) Zbadać, które z funkcji a) f ( z )  z 2 b) f ( z )  z c) f ( z )  z Im z są holomorficzne.
12) Znaleźć część rzeczywistą i urojoną funkcji a) f ( z )  sin z b) f ( z )  z 3 c) f ( z )  e z
i sprawdzić, że funkcje te spełniają równania Cauchy-Riemanna.
13) Znaleźć funkcję holomorficzną f ( z )  u  iv wiedząc, że a) u 
14) Obliczyć całkę
 z dz , gdzie C jest krzywą o równaniu
C
y
x
, b) v  arctg .
2
x
x y
2
1
1
z  eit ,    t   .
2
2
15) Obliczyć całkę  sin(1  2 z )dz , gdzie C jest dowolną krzywą regularną o początku w
C
1
z1  0 i końcu z2   .
2