Podróże po Imperium Liczb Część 07. Ciągi rekurencyjne

Podróże po Imperium Liczb
Część 07. Ciągi
rekurencyjne
Rozdział 8
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
Andrzej Nowicki 17 maja 2012, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow
Spis treści
8 Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
8.1 Liniowe ciągi rekurencyjne n-tego rzędu . . . . . . . . .
8.2 Ciągi trzeciego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Przykłady ciągów trzeciego rzędu . . . . . . . . . . . .
8.4 an+3 = an+2 + an+1 + an . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 an+3 = an+1 + an (Ciąg Perrina) . . . . . . . . . . . .
8.6 Uogólnienia ciągów Lucasa i Perrina . . . . . . . . . . .
8.7 Przykłady ciągów czwartego rzędu . . . . . . . . . . . .
8.8 Liniowa rekurencyjność ze zmiennymi współczynnikami
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
93
93
95
96
99
101
104
113
114
Wszystkie książki z serii ”Podróże po Imperium Liczb” napisano w edytorze LATEX.
Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie
autora: http://www-users.mat.uni.torun.pl/~anow.
8
Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
8.1
Liniowe ciągi rekurencyjne n-tego rzędu
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
8.1.1 ([Mark] 16). Niech (un ) będzie liniowym ciągiem rekurencyjnym rzędu k, tzn. (un ) jest
ciągiem liczbowym takim, że liczby u1 , . . . , uk są dowolne oraz
un+k = α1 un+k−1 + α2 un+k−2 + · · · + αk un
dla n ∈ N, gdzie α1 , . . . , αn są danymi liczbami. Rozważmy ciąg sum początkowych jego wyrazów: s1 = u1 , s2 = u1 + u2 , . . . , sn = u1 + u2 + . . . + un . Wtedy (sn ) jest liniowym ciągiem rekurencyjnym rzędu k + 1.
D. Zauważmy, że u1 = s1 , u2 = s2 − u1 = s2 − s1 , . . . , un = sn − (u1 + . . . + un−1 ) = sn − sn−1 .
Przyjmując s0 = 0 tak, iż u1 = s1 − s0 i podstawiając do powyższego równania otrzymujemy:
sn+k − sn+k−1 = α1 (sn+k−1 − sn+k−2 ) + α2 (sn+k−2 − sn+k−3 ) + . . . + αk (sn − sn−1 ),
stąd sn+k = (1 + α1 )sn+k−1 + (α2 − α1 )sn+k−2 + . . . + (αk − αk−1 )sn − ak sn−1 . Zastępując indeks n
przez n + 1 uzyskujemy:
sn+k+1 = (1 + α1 )sn+k + (α2 − α1 )sn+k−1 + . . . + (αk − αk−1 )sn+1 − ak sn .
Otrzymaliśmy równanie rekurencyjne rzędu k + 1. 8.1.2. Niech (xn ) będzie ciągiem liczb całkowitych takim, że liczby x1 , . . . , xk są dowolne oraz
xn+k = α1 xn+k−1 + α2 xn+k−2 + · · · + αk xn
dla n ∈ N, gdzie α1 , . . . , αn są danymi liczbami całkowitymi. Wówczas reszty z dzielenia kolejnych liczb tego ciągu przez liczbę naturalną m tworzą ciąg okresowy (niekoniecznie czysty).
([Mark], [S59] 279).
8.1.3. Niech a1 , . . . , as oraz r1 , . . . , rs będą liczbami rzeczywistymi. Rozpatrzmy ciąg (xn )
taki, że: x1 = a1 , x2 = a2 , . . . , xs = as oraz
xn+s = r1 xn+1 + r2 xn+2 + · · · + rs xn+s .
Dla danej liczby naturalnej n przez Fn oznaczmy n × n macierz określoną następująco.




Fn = 



···
···
···
xn
x2n
x3n
..
.
x(n−1)n+1 x(n−1)n+2 · · ·
xn2
x1
xn+1
x2n+1
..
.
x2
xn+2
x2n+2
..
.
Jeśli n > s, to det Fn = 0.
93








94Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
D. Niech A1 , A2 , . . . , An będą kolumnami macierzy Fn . Teza wynika z oczywistej równości As+1 =
r1 A1 + r2 A2 + · · · +rs As . Załóżmy, że
f (x) = xs − us−1 xs−1 − us−2 xs−2 − · · · − u1 x − u0
jest wielomianem o współczynnikach całkowitych i nierozkładalnym w Z[x]. Niech α ∈ C
będzie pierwiastkiem tego wielomianu. Wtedy
αs = us−1 αs−1 + us−2 αs−2 + · · · + u1 α + u0
i dla każdego n > 0 mamy:
[0]
αn = a[s−1]
αs−1 + a[s−2]
αs−2 + · · · + a[1]
n
n
n α + an ,
[j]
gdzie każde an (dla
j = 0, 1, . . . , s − 1) jest liczbą całkowitą. Dla każdego j ∈ {0, 1, . . . , s − 1}
[j]
[j]
mamy więc ciąg an liczb całkowitych. Jest oczywiste, że aj = 1 dla j = 0, 1, . . . , s − 1
[j]
[j]
oraz, że ai = 0 dla i ∈ {0, 1, . . . , s − 1}, i 6= j. Ponadto, as = uj dla j = 0, 1, . . . , s − 1.
[j]
8.1.4. Oznaczenia takie, jak powyżej. Niech j ∈ {0, 1, . . . , s − 1} i niech bn = an dla n ∈ N.
Wtedy ciąg (bn ) spełnia zależność rekurencyjną
bn+s = us−1 bn+(s−1) + us−2 bn+(s−2) + · · · + u1 bn+1 + u0 bn
dla wszystkich n > 0.
D. Mnożymy równość αs = us−1 αs−1 + us−2 αs−2 + · · · + u1 α + u0 stronami przez αn . Mamy
wówczas:
s−1
X
j=0
[j]
an+s αj
=α
s+n
=
s−1
X
k=0
uk α
k+n
=
s−1
X
k=0
uk
s−1
X
[j]
ak+n αj
j=0
=
s−1 X
s−1
X
j=0
!
[j]
uk ak+n
αj .
k=0
Porównując odpowiednie współczynniki otrzymujemy tezę. F W. Bieliński, Co to są funkcje tworzące ? [Dlt] 7/96 1-3.
V. G. Bołtiański, The iteration method, [Kw] 3/83 16-21.
A. F. Horadam, Complex Fibonacci numbers and Fibon. quaternions, [Mon] 70(3)(1963) 289-291.
J. Matkowski, Ciąg geometryczny; metoda rozwiązywania równanń rekurencyjnych, [Dlt] 7/2002.
K. Pawłowski, O liniowych równaniach różnicowych, [Dlt] 2/83 8-12.
R. Rabczuk, O szeregach rekurencyjnych i ich zastosowaniach, [Mat] 6/73 385-388.
J. Ryll, Ciągi rekurencyjne a szeregi potęgowe, [Dlt] 5/85.
G. Studnicki, Problemy dotyczące rekurencji i indukcji matematycznej, [Mat] 3/79 153-159.
J. N. Sukonnik, Postępy arytmetyczno-geometryczne, [Kw] 1/75 36-39.
Z. Świętochowski, O ciągach rekurencyjnych, [Mat] 1/87 44-48.
K. Szymański, Ciągi rekurencyjne, [Mat] 1/90 2-13.
K. Wachnicka, E. Wachnicki, Badanie zbieżności ciągów określonych rekurencyjnie, [Mat] 6/94.
J. Wróblewski, Ciągi Pisota, czyli jak zobaczyć rekurencję liniową, [Dlt] 7/2002 12-13.
Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
8.2
Ciągi trzeciego rzędu
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Liniowym ciągiem rekurencyjnym trzeciego rzędu nazywamy każdy ciąg (an ) taki, że
an+3 = uan+2 + van+1 + wan ,
dla n > 0,
gdzie u, v i w są ustalonymi współczynnikami.
8.2.1. Jeśli ciąg (an ) spełnia równanie rekurencyjne
an+3 = 3pan+2 − 3p2 an+1 + p3 an ,
gdzie p jest ustaloną niezerową liczbą, to
1
1
an = a(n − 1)(n − 2)pn − bn(n − 2)pn−1 + cn(n − 1)pn−2 ,
2
2
gdzie a = a0 , b = a1 , c = a2 .
8.2.2. Niech a0 = 1, a1 = b + p, a2 = b2 + 2p,
an+3 = (b + 2)an+2 − (2b + 1)an+1 + ban ,
gdzie b i p są ustalonymi liczbami. Wtedy
an = bn + pn
dla wszystkich n > 0.
Załóżmy, że f (x) = x3 − ux2 − vx − w jest wielomianem o współczynnikach całkowitych
i nierozkładalnym w Z[x]. Niech α ∈ C będzie pierwiastkiem tego wielomianu. Wtedy α3 =
uα2 + vα + w i dla każdego n > 0 mamy:
αn = an α2 + bn α + cn ,
gdzie an , bn , cn ∈ Z. Mamy zatem trzy ciągi (an ), (bn ) i (cn ) o wyrazach całkowitych.
8.2.3. Jeśli (an ), (bn ) i (cn ) są ciągami takimi jak powyżej, to:
a0 = 0, a1 = 0, a2 = 1, an+3 = uan+2 + van+1 + wan ;
b0 = 0,
b1 = 1,
b2 = 0,
bn+3 = ubn+2 + vbn+1 + wbn ;
c0 = 1,
c1 = 0,
c2 = 0,
cn+3 = ucn+2 + vcn+1 + wcn .
(Wynika to z 8.1.4).
8.2.4. Ciągi (an ), (bn ) i (cn ), określone powyżej, tworzą bazę przestrzeni wszystkich ciągów
(dn ) spełniających zależność rekurencyjną
dn+3 = udn+2 + vdn+1 + wdn .
Innymi słowy, jeśli ciąg (dn ) spełnia powyższą zależność rekurencyjną, to istnieją jednoznacznie wyznaczone liczby α, β, γ takie, że
dn = αan + βbn + γcn
dla wszystkich n > 0.
(Patrz 8.2.3).
95
96Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
8.2.5. Jeśli (an ), (bn ) i (cn ) są ciągami takimi jak powyżej, to dla każdego n > 0 zachodzą
równości:
an+1 = an u + bn , bn+1 = an v + cn , cn+1 = an w.
D.
an+1 α2 + bn+1 α + cn+1
=
αn+1 = α · αn = α · (an α2 + bn α + cn )
=
an (uα2 + vα + w) + bn α2 + cn α
=
(an u + bn )α2 + (an v + cn )α + an w. 8.2.6 (Waddill 1990). Jeśli ciąg (an ) spełnia równość rekurencyjną:
an+3 = ran+2 + san+1 + tan ,
gdzie r, s, t są ustalonymi liczbami, to


n−2 

r s t
an

 

 an−1  =  1 0 0 
0 1 0
an−2
dla n > 3.

a2


 a1  .
a0
([MR] 93i:11017).
F S. J. Scott, On the number of zeros of a cubic recurrence, [Mon] 67(2)(1960) 169-170.
A. G. Shannon, A. F. Horadam, Some properties of third - order recurrence relations, [FQ] 10(1972)
135-145.
A. G. Shannon, A. F. Horadam, Generating functions for power of third - order recurrence sequences, [Duke] 38(1971) 791-794.
M. F. Smiley, On the zeros of a cubic recurrence, [Mon] 63(3)(1956) 171-172.
M. Ward, On the number of vanishing terms in an integral cubic recurrence, [Mon] 62(3)(1955)
155-160.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
8.3
Przykłady ciągów trzeciego rzędu
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
8.3.1. Niech (an ) będzie ciągiem liczb rzeczywistych takim, że an+3 = −an . Wtedy istnieją
jednoznacznie wyznaczone liczby rzeczywiste a, b, c takie, że
π
an = a(−1) + b cos n
3
n
π
+ c sin n
.
3
([Kozn] 88, 268).
8.3.2. Niech x1 = 1, x2 = 0, x3 = 2, xn+3 = 2xn+1 + xn . Wtedy dla każdej liczby naturalnej
m istnieje liczba naturalna n taka, że liczby an i an+1 są podzielne przez m. ([Kw] 10/81 34).
8.3.3. Niech a1 = 1, a2 = 4, a3 = 15, an+3 = 15an+1 − 4an . Jeśli an jest liczbą pierwszą, to
n jest liczbą pierwszą. ([Zw] 2002).
U. Ciąg (an ) można również zdefiniować równościami: a1 = 1, a2 = 4, an+2 = 4an+1 − an . 8.3.4. Niech a0 = 1, a1 = −1, a2 = 6, an+3 = 3an+1 − 2an . Wtedy
an = (−2)n + n
dla wszystkich n > 0.
Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
8.3.5. Niech a0 = 0, a1 = 0, a2 = 1, an+3 = an+1 + 1998an . Wtedy
a2n−1 = 2an an+1 + 1998a2n−1 ,
dla wszystkich n > 1.
([KoM] 1997 N160).
8.3.6. Niech (an ) będzie ciągiem liczb rzeczywistych takim, że a1 = 1, a2 = 2, a3 = 4,
an+3 = an+2 − 2an+1 + 2an . Wtedy
an = 2 1 − 2(n−3)/2 sin(nπ/2) .
([Kozn] 70).
1
8.3.7. Niech a1 = a > 0, a2 = b > 0, a3 = c > 0 oraz an+3 = (an + an+1 + an+2 ). Wtedy
3
1
lim an = (a + 2b + 3c).
6
([Mat] 5-6/68 264).
8.3.8. Niech a1 = 0, a2 = 2, a3 = 3, an+3 = 2an+2 − an . Wtedy p | ap dla każdej liczby
pierwszej p. (Na podstawie [MG] 505(2002) s.146 z.86A).
8.3.9. Niech a1 = 0, a2 = 1, a3 = 2, an+3 = 2an+2 − an . Wtedy p | ap (ap + 1), dla każdej
liczby pierwszej p > 7 ([IMO] Longlist 1988).
8.3.10. Niech a1 = 0, a2 = 0, a3 = 1, an+3 = 2an+2 − 4an+1 + 4an . Wtedy a1 = a2 = a5 =
a7 = a14 = a53 = 0, natomiast
a52 = −884763262976.
([EvP] 28).
8.3.11 (M. Mignotte). Niech a1 = 0, a2 = 0, a3 = 1, an+3 = 2an+2 − 4an+1 + 4an . Wtedy
an = 0 ⇐⇒ n = 1, 2, 5, 7, 14
lub
53.
([Coh1] 283).
8.3.12. Niech a0 = 0, a1 = 1, a2 = 1, an+3 = 2an+2 + 2an+1 − an . Wtedy
an = u2n ,
gdzie (un ) jest ciągiem Fibonacciego.
(patrz 5.5.5, [MG] 87(509)(2003) s.194).
8.3.13. Niech a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, an+3 = 2an+2 + 2an+1 − an . Wtedy
an = un un+1 ,
gdzie (un ) jest ciągiem liczb Fibonacciego.
(patrz 5.5.6).
97
98Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
8.3.14. Niech a1 = 1, a2 = 12, a3 = 20, an+3 = 2an+2 + 2an+1 − an . Wtedy, dla każdego
n ∈ N, liczba
1 + 4an an+1
jest kwadratowa.
([Kw] 12/89 26).
8.3.15. Niech a, b, c będą dowolnymi liczbami i niech (an ) będzie ciągiem takim, że a0 = c,
a1 = a + b + c, a2 = 4a + 2b + c, an+3 = 3an+2 − 3an+1 + an . Wtedy
an = an2 + bn + c
dla wszystkich n > 0.
8.3.16. Niech a1 = 1, a2 = 3, a3 = 6, an+3 = 3an+2 − 3an+1 + an . Wtedy
1
an = n(n + 1).
2
([Str67] 60, Wynika z 8.3.15).
8.3.17. Niech (an ) będzie ciągiem takim, że a0 = 0, a1 = 1, a2 = 4, an+3 = 3an+2 −3an+1 +an .
Wtedy an = n2 dla wszystkich n > 0. (Wynika z 8.3.15).
8.3.18. Niech (an ) będzie takim ciągiem o wyrazach z ciała k, że an+3 −3an+2 +3an+1 −an = 7
dla n ∈ N. Wtedy istnieją jednoznacznie wyznaczone elementy a, b, c ∈ k takie, że an =
a + bn + cn2 + 76 n3 . ([Kozn] 88, 268).
8.3.19. Niech (an ) będzie takim ciągiem o wyrazach z ciała k, że a1 = 1, a2 = 0, a3 = −1
oraz an+3 − 3an+2 + 3an+1 − an = 5, dla n ∈ N. Wtedy
an = −3 +
49
5
n − 5n2 + n3 .
6
6
([Kozn] 77).
8.3.20. Niech (an ) będzie ciągiem takim, że a0 = 1, a1 = 3, a2 = 6,
an+3 = 4an+2 − 5an+1 + 2an .
Wtedy an = 2n + n dla wszystkich n > 0.
(Patrz 5.5.2).
8.3.21. Niech (an ) będzie ciągiem takim, że a0 = 1, a1 = 1, a2 = 2,
an+3 = 4an+2 − 5an+1 + 2an .
Wtedy an = 2n − n dla wszystkich n > 0.
8.3.22. Niech (an ) będzie ciągiem takim, że a0 = 1, a1 = 0, a2 = 0,
an+3 = 4an+2 − 5an+1 + 2an .
Wtedy an = 2n − 2n dla wszystkich n > 0.
Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
8.3.23. Ciąg (an ) spełnia równość rekurencyjną an+3 = 5an+2 − 9an+1 + 9an . Jeśli |an | 6 2n
dla wszystkich n ∈ N, to
an+2 = 2an+1 − 3an .
([OM] Czechosłowacja 1983/1984).
8.3.24. Niech a1 = 1, a2 = 1, a3 = 9, an+3 = 15an+2 − 15an+1 + an dla n ∈ N. Przykłady:
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1
1
9
121
1681
23409
326041
4541161
63250209
880961761
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
12
12
32
112
412
1532
5712
21312
79532
296812 .
Wszystkie wyrazy tego ciągu są kwadratami liczb naturalnych.
([OM] Bułgaria 1987, [Pa97]).
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
8.4
an+3 = an+2 + an+1 + an
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
8.4.1. Prostokąt 1 × n zapełniamy prostokątami o wymiarach 1 × 1, 1 × 2 i 1 × 3. Jeśli tn
oznacza liczbę różnych sposobów takiego zapełnienia, to t1 = 1, t2 = 2, t3 = 4 oraz
tn+3 = tn+2 + tn+1 + tn
dla n > 1.
([KoM] 7/96).
8.4.2. Niech g0 = 1, g1 = 2, g2 = 4,
gn+3 = gn+2 + gn+1 + gn .
Ciąg ten nazywa się często ”tribonacci sequence”. Każda liczba naturalna n ma jednoznaczne
przedstawienie w postaci
n=
r
X
εi gi ,
i=0
gdzie εi ∈ {0, 1} i przy tym εi εi+1 εi+2 = 0.
(Sirvent: [FQ] 1997).
U. Podobne jednoznaczne przedstawienie zachodzi dla zwykłych liczb Fibonacciego. Warunek
εi εi+1 εi+2 = 0 zastąpiony jest wtedy warunkiem εi εi+1 = 0. W tym przypadku takie przedstawienie
nazywa się ”Zeckendorf decomposition” (patrz 1.3.11). 8.4.3 (Waddill 1978). Niech t0 = 1, t1 = t2 = 1,
tn+3 = tn+2 + tn+1 + tn .
Dla każdej liczby naturalnej m > 2 ciąg (tn mod m) jest czysto-okresowy. Niech h(m) oznacza
długość okresu ciągu (tn ) modulo m.
(1) Jeśli m = pr11 · · · prkk jest rozkładem na czynniki pierwsze liczby m, to
h(m) = nww h(pr11 ), . . . , h(prkk ) .
(2) Jeśli p ∈ P i h(p) 6= h(p2 ), to h(pr ) = pr−1 h(p) dla wszystkich r > 1.
([MR] 80b:10016).
99
100Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
8.4.4. Niech a1 = 1, a2 = 3, a3 = 7 oraz an+3 = an+2 + an+1 + an . Niech


0 1 0


A =  0 0 1 ,
1 1 1
Wówczas, dla każdego n ∈ N, liczba an jest śladem macierzy An .
([EvP] 186).
8.4.5. Niech (zn ) będzie ciągiem zdefiniowanym równościami:


z0


 z
1

z2



zn+3
=
=
=
=
3,
1,
3,
zn+2 + zn+1 + zn dla n ∈ N0 .
Wtedy dla każdej liczby pierwszej p zachodzą następujące kongruencje:
(1)
zp ≡ 1 (mod p);
(2)
znp ≡ zn (mod p) dla n ∈ N0 ;
(3)
znpr ≡ znpr−1 (mod pr ) dla wszystkich liczb naturalnych n, r.
D. Jest to twierdzenie 8.6.13 dla a = b = c = 1. F A. Krishnaswami, V. E. Hoggatt, On tribonacci numbers and related functions,
42-45.
J. Sharp, Have you seen this number ? [MG] 494(1998) 203-215. (O zależności xn+3
xn+2 i bryłach geometrycznych).
J. D. Sally, P. J. Sally, The tribonacci games, [SalS] 22-26.
V. F. Sirvent, A semigroup associated with the k-bonacci numbers with dynamic
[FQ] 35(1997) 335-340.
W. R. Spickerman, Binet formula for tribonacci numbers, [FQ] 20(1982) 118-120.
M. E. Waddill, Some properties of a generalized Fibonacci sequence modulo m,
344-353.
[FQ] 15(1977)
= xn + xn+1 +
interpretation,
[FQ] 16(1978)
Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
8.5
an+3 = an+1 + an (Ciąg Perrina)
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Ciągiem Perrina nazywa się ciąg (wn ) zdefiniowany równościami:





w0 = 3,
w1 = 0,

w2 = 2,



wn+3 = wn+1 + wn , dla n > 0.
8.5.1 (Maple). Początkowe wyrazy ciągu Perrina wraz z ich rozkładami kanonicznymi.
w0
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
w8
w9
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
w10
w11
w12
w13
w14
w15
w16
w17
w18
w19
3,
0,
2,
3,
2,
5,
5,
7,
10,
12,
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
17
22
29
39
51
68
90
119
158
209
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
17,
2 · 11,
29,
3 · 13,
3 · 17,
22 · 17,
2 · 32 · 5,
7 · 17,
2 · 79,
11 · 19,
w20
w21
w22
w23
w24
w25
w26
w27
w28
w29
= 277
= 367
= 486
= 644
= 853
= 1130
= 1497
= 1983
= 2627
= 3480
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
277,
367,
2 · 35 ,
22 · 7 · 23,
853,
2 · 5 · 113,
3 · 499,
3 · 661,
37 · 71,
23 · 3 · 5 · 29.
W 1878 roku Edouard Lucas zauważył, że jeśli p jest liczbą pierwszą, to liczba wp jest
podzielna przez p. Dowód tego faktu podamy za chwilę. To samo udowodnił w 1899 roku
R. Perrin. W 1982 roku William Adams i Daniel Shanks opublikowali w Mathematics of
Computations pracę, w której (wn ) nazwali ciągiem Perrina.
Wielomianem charakterystycznym rozważanego ciągu rekurencyjnego jest
f (t) = t3 − t − 1.
Łatwo prawdzić, że wielomiany f (t) i f 0 (t) (gdzie f 0 (t) = 3t2 − 1 jest pochodną wielomianu
f (t)) są względnie pierwsze. Wielomian f (t) ma zatem trzy parami różne pierwiastki (zespolone). Oznaczmy te pierwiastki przez α, β oraz γ. Co najmniej jeden z tych pierwiastków,
powiedzmy α, jest dodatnią liczbą rzeczywistą. W artykule Kevina Browna z 2000 roku jest
informacja, że:
r
8.5.2. α =
3
q
1+
3
1+
√
3
1 + . . . = 1, 437734932 · · · .
([Br]).
Z tej informacji nie skorzystamy.
Ponieważ t3 − t − 1 = (t − α)(t − β)(t − γ), więc:
α + β + γ = 0,
αβ + βγ + γα = −1,
αβγ = 1.
Rozpatrzmy nowy ciąg (an ) określony wzorem an = αn + β n + γ n , dla n ∈ N0 . Zauważmy, że
a0 = α0 + β 0 + γ 0 = 3, a1 = α + β + γ = 0 oraz
a2 = α2 + β 2 + γ 2 = (α + β + γ)2 − 2(αβ + βγ + γα) = 0 − 2(−1) = 2.
101
102Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
Zatem a0 = w0 , a1 = w1 oraz a2 = w2 . Mamy ponadto:
an+3 = αn+3 + β n+3 + γ n+3 = αn α3 + β n β 3 + γ n γ 3
= αn (α + 1) + β n (β + 1) + γ n (γ + 1)
=
αn+1 + β n+1 + γ n+1 + (αn + β n + γ n )
= an+1 + an .
Stąd wynika, że wn = an dla wszystkich n ∈ N0 . Zapamiętajmy:
8.5.3. Dla każdej nieujemnej liczby całkowitej n zachodzi równość
wn = α n + β n + γ n ,
gdzie α, β, γ są pierwiastkami wielomianu t3 − t − 1.
8.5.4 (Lucas). Jeśli p jest liczbą pierwszą, to liczba wp jest podzielna przez p.
D. Niech p będzie liczbą pierwszą. Rozpatrzmy równości
0 = (α + β + γ)p =
X
hi, j, kiαi β j γ k ,
i+j+k=p
gdzie sumowanie przebiega wszystkie tójki (i, j, k), nieujemnych liczb całkowitych takich, że i+j +k =
p. Każde hi, j, ki jest uogólnionym symbolem Newtona:
hi, j, ki =
(i + j + k)!
i!j!k!
(patrz na przykład [N11]. W naszym przypadku
p!
p!(i + j)!
hi, j, ki =
=
=
i!j!k!
i!j!k!(i + j)!
p i+j
,
k
i
a więc wszystkie liczby hi, j, ki, oprócz trzech liczb: hp, 0, 0i, h0, p, 0i oraz h0, 0, pi (które są równe 1),
są podzielne przez p. Mamy zatem równość 0 = αp + β p + γ p + pb, czyli 0 = wp + pb, gdzie b jest sumą
iloczynów postaci αi β j γ k pomnożonych przez jakieś liczby całkowite. Liczby α, β, γ są elementami
całkowitymi nad pierścieniem Z (gdyż są pierwiastkami monicznego wielomianu t3 − t − 1), a zatem
w
liczba b jest również elementem całkowitym nad Z. Ale b = − pp , więc b jest liczbą wymierną. Każda
liczba wymierna, która jest elementem całkowitym nad Z, jest oczywiście liczbą całkowitą. Zatem
b ∈ Z. Mamy więc wp = p(−b), gdzie b ∈ Z, czyli p dzieli wp . Powyższe twierdzenie ma kilka różnych dowodów. Wspominaliśmy już o tym, że znane
są dowody podane w 1878 roku przez Lucasa i w 1899 roku przez Perrina. W 1908 roku
twierdzenie to pojawiło się jako zadanie 151 podane przez Escotta w [Mon] 15(1908) s.22.
Rozwiązanie, podane również przez Escotta, jest w [Mon] 15(1908) na stronie 187. Rozwiązanie w ogólniejszej formie podał L.E. Dickson na stronie 209. W czasopiśmie [Mon] spotkamy
się z tym twierdzeniem jeszcze co najmniej dwa razy: Dec. 1992 jako Problem 10268 (w numerze June-July 1995 podano błędne rozwiązanie; korekta jest w Dec. 1996) oraz April 1998
jako Problem 10655. Trzy różne dowody omawianego twierdzenia podał Robin Chapman w
[MG] March 1998. Dowód znajdziemy również w [Cmj] 2000 s.223. W 2011 roku trzy różne
Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
dowody podał Gregory Minton w [MM] 84(1)(2011) 33-37. Jeden z jego dowodów wykorzystuje znane własności elementów całkowitych nad pierścieniem liczb całkowitych. Ten właśnie
dowód tutaj przedstawiliśmy. W podrozdziale ”Uogólnienia cięgów Lucasa i Perrina” udowodnimy, że omawiane twierdzenie jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego twierdzenia
(patrz 8.6.10).
Przedstawimy teraz pewne inne własności ciągu Perrina.
8.5.5. w3n =
n
X
!
n
wk , dla n ∈ N0 .
k
k=0
D. w3n = α3
n
P
k=0
n
k
n
P
γk =
k=0
8.5.6. wn =
n
k
wn
+ β3
n
+ γ3
n
n
n
X
n
n
= (α + 1) + (β + 1) + (γ + 1) =
n
P
k=0
n
P
αk + β k + γ k =
n
k
k=0
k=0
D.
n
([Mon] 6(102)(1995) s.557).
n
k
αk +
n
P
k=0
n
k
βk +
wk . !
n
(−1)n−k w3k , dla n ∈ N0 .
k
n
n
n
= αn + β n + γ n = α3 − 1 + β 3 − 1 + γ 3 − 1
=
n
P
k=0
=
n
P
k=0
=
n
P
k=0
n
P
n
k
(−1)n−k α3k +
n
k
(−1)n−k α3k + β 3k + γ 3k
n
k
(−1)n−k w3k . k=0
n
k
(−1)n−k β 3k +
n
P
k=0
n
k
(−1)n−k γ 3k
Z 8.5.4 i 8.5.5 wynika:
8.5.7. w3p ≡ 3 (mod p) dla p ∈ P.
8.5.8. Jeśli p jest liczbą pierwszą, to
wpn ≡ wn (mod p)
dla wszystkich n ∈ N.
(Patrz 8.6.8).
8.5.9. Jeśli p jest liczbą pierwszą, to
wpr n ≡ wpr−1 n (mod pr )
dla wszystkich n, r ∈ N.
(Patrz 8.6.9).
8.5.10. W ciągu (an ) liczby a1 , a2 , a3 są naturalne oraz an+3 = an+1 + an , dla n ∈ N.
Wykazać, że jeśli p jest liczbą pierwszą i n ∈ N, to liczba
an+3p+1 − an+p+1 − an+1
jest podzielna przez p.
([Kw] 6/94 M1437, Jest to szczególny przypadek stwierdzenia 8.6.22).
103
104Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
8.5.11. Niech a1 = a2 = a3 = 1 oraz an+3 = an+1 + an , dla n ∈ N. Dla każdej liczby naturalnej m istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że m | an . ([Dlt] 7/2003 z.1030).
8.5.12. Niech a0 = 3, a1 = 0, a2 = 4 oraz
an+3 = 2an+1 + an
dla n > 0. Przykłady:
a3 = 3
a12 = 323
a4 = 8
a13 = 520
a5 = 10
a14 = 844
a6 = 19
a15 = 1363
a7 = 28
a16 = 2208
a8 = 48
a17 = 3570
a9 = 75
a18 = 5779
a10 = 124
a19 = 9348
a11 = 198
a20 = 15128.
Dla dowolnej liczby pierwszej p, liczba ap jest podzielna przez p.
F W. Addams, D. Shanks, Strong primality tests that are not sufficient, [MatC] 39(159)(1982) 255300.
K. Brown, Perrin’s sequence, [Br], Kmath 345, 2000.
G. Minton, Three approaches to a sequence problem, [MM] 81(1)(2011) 33-40.
R. Perrin, Item 1484, L’Intermédiare des Math., 6(1899), 76-77.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
8.6
Uogólnienia ciągów Lucasa i Perrina
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Ciąg liczb Lucasa oznaczaliśmy przez (vn ). Przypomnijmy, że v0 = 2, v1 = 1 oraz
vn+2 = vn+1 + vn dla n ∈ N0 . W poprzednim podrozdziale rozpatrywaliśmy ciąg Perrina
(wn ), określony równościami w0 = 3, w1 = 0, w2 = 2 oraz wn+3 = wn+1 + wn dla n ∈ N0 .
Wykazaliśmy (patrz 4.1.1), że każde vn jest równe αn + β n , gdzie α, β są pierwiastkami wielomianu t2 − t − 1. Podobną własność posiada ciąg (wn ). Wykazaliśmy (patrz 8.5.3), że każde
wn jest równe αn + β n + γ n , gdzie α, β, γ są pierwiastkami wielomianu t3 − t − 1. W jednym
i drugim przypadku pojawiły się pierwiastki monicznych wielomianów o współczynnikach
całkowitych.
W tym podrozdziale zajmiemy się sytuacją ogólniejszą. Zbadamy ciągi liczbowe (xn ), w
których każde xn będzie sumą n-tych potęg wszystkich pierwiastków ustalonego wielomianu monicznego o współczynnikach całkowitych. Wykażemy, że pewne znane twierdzenia dla
ciągów Lucasa i Perrina są szczególnymi przypadkami ogólniejszych twierdzeń.
Wykorzystamy pewne znane pojęcia i fakty z algebry, które dotyczyć będą głównie pierścieni przemiennych z jedynką. Dowody Czytelnik znajdzie w wielu książkach z podstaw
algebry. Polecamy książki: [AtM]1 , [Ka74], [B-B] [BaJ], [La84], [MoS].
1
Istnieje przekład tej książki na język polski pt. Wprowadzenie do algebry komutatywnej; Wydawnictwo
Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 2008; tłumaczenie :Wojciech Lubawski, Mateusz Michałek.
Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
Niech A ⊂ B będą pierścieniami przemiennymi z jedynką i niech b ∈ B. Mówimy, że
element b jest całkowity nad A, jeśli zachodzi równość postaci
bs + a1 bs−1 + a2 bs−2 + · · · + as−1 b + as ,
gdzie s jest liczbą naturalną oraz a1 , a2 , . . . , as są elementami należącymi do pierścienia A.
Innymi słowy, element b ∈ B jest całkowity nad A jeśli jest pierwiastkiem jakiegoś wielomianu
monicznego jednej zmiennej o współczynnikach z pierścienia A.
8.6.1. Jeśli A ⊂ B są pierścieniami z jedynką, to zbiór wszystkich tych elementów pierścienia B, które są całkowite nad A, jest podpieścieniem pierścienia B zawierającym A.
W szczególności, dowolne skończone sumy i iloczyny elementów całkowitych nad A są
elementami całkowitymi nad A.
Rozpatrywać będziemy pewne takie liczby rzeczywiste, a nawet zespolone, które będą
elementami całkowitymi nad pierścieniem Z. Oczywiście każda zwykła liczba całkowita jest
elementem całkowitym nad Z. Dla liczb wymiernych mamy:
8.6.2. Jeśli liczba wymierna q jest elementem całkowitym nad Z, to q jest liczbą całkowitą.
Wykorzystamy również klasyczne twierdzenie o wielomianach symetrycznych.
8.6.3. Niech h(x1 , . . . , xs ) będzie wielomianem zmiennych x1 , . . . , xs o współczynnikach całkowitych. Jeśli wielomian ten jest symetryczny, to istnieje taki wielomian o współczynnikach
całkowitych H(x1 , . . . , xs ), że
h(x1 , . . . , xs ) = H σ1 (x1 , . . . , xs ), σ2 (x1 , . . . , xs ), . . . , σs (x1 , . . . , xs ) ,
gdzie σ1 , . . . , σs są podstawowymi wielomianami symetrycznymi.
Przypomnijmy również, że jeśli i1 , . . . , is są nieujemnymi liczbami całkowitymi, to
hi1 , i2 , . . . , is i =
(i1 + i2 + · · · + is )!
.
i1 ! · i2 ! · · · · · is !
Każde takie hi1 , . . . , is i jest liczbą naturalną (patrz [N11]).
8.6.4. Dla m ∈ N0 oraz dowolnych liczb y1 , . . . , ys zachodzi równość
y1 + · · · + ys
m
=
X
hi1 , . . . , is iy1i1 · · · ysis ,
i1 +···+is =m
gdzie sumowanie przebiega wszystkie ciągi nieujemnych liczb całkowitych (i1 , . . . , is ) takich,
że i1 + i2 + · · · + is = m.
8.6.5. Niech i1 , . . . , is będą nieujemnymi liczbami całkowitymi takimi, że i1 + · · · + is = p,
gdzie p jest liczbą pierwszą. Jeśli każda z liczb i1 , . . . , is jest ostro mniejsza od p, to liczba
hi1 , . . . , is i jest podzielna przez p.
105
106Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
Przystępujemy teraz do omówienia zapowiedzianych wcześniej zagadnień. Stosować będziemy następujące oznaczenia:
(∗)















s = ustalona liczba naturalna;
f (t) = ts − c1 ts−1 − c2 ts−2 − · · · − cs−1 t − cs ;
moniczny wielomian stopnia s
o całkowitych współczynnikach − c1 , · · · − cs ,
przy czym cs jest różne od zera;








δ1 , δ2 , . . . , δs






:
wszystkie pierwiastki wielomianu f (t);
zn = δ1n + δ2n + · · · + δsn , dla n ∈ N0 .
Pierwiastki δ1 , . . . , δs są liczbami zespolonymi i dla nich zachodzi równość
f (t) = (t − δ1 )(t − δ2 ) · · · (t − δs ).
Nie zakładamy, że te pierwiastki są parami różne. Mamy zatem następujące równości:
σ1 (δ1 , . . . , δs ) = c1 ,
σ2 (δ1 , . . . , δs ) = −c2 ,
..
.
σs (δ1 , . . . , δs ) = (−1)s−1 cs ,
gdzie σ1 (x1 , . . . , xs ), . . . , σs (x1 , . . . , xs ) są podstawowymi wielomianami symetrycznymi. Założenie cs 6= 0 gwarantuje, że wszystkie pierwiastki δ1 , . . . , δs są niezerowe. Ponieważ δ1 , . . . , δs
są pierwiastkami monicznego wielomianu f (t), więc każde δi jest elementem całkowitym
nad Z.
Interesować nas będzie głównie ciąg (zn ). Przypomnijmy, że
zn = δ1n + · · · + δsn
dla n ∈ N0 . W szczególności z0 = s oraz
z1 = σ1 (δ1 , . . . , δs ) = δ1 + · · · + δs = c1 .
Wyrazy z0 i z1 są więc liczbami całkowitymi.
8.6.6. Wszystkie wyrazy ciągu (zn ) są liczbami całkowitymi.
D. Niech n ∈ N. Rozpatrzmy wielomian s-zmiennych
h(x1 , . . . , xs ) = xn1 + xn2 + · · · + xns .
Jest to symetryczny wielomian należący do pierścienia Z[x1 , . . . , xs ]. Z twierdzenia 8.6.3 wynika, że
istnieje wielomian H ∈ Z[x1 , . . . , xs ] taki, że
h(x1 , . . . , xs ) = H σ1 (x1 , . . . , xs ), σ2 (x1 , . . . , xs ), . . . , σs (x1 , . . . , xs ) ,
Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
gdzie σ1 , . . . , σs są podstawowymi wielomianami symetrycznymi zmiennych x1 , . . . , xs . W powyższej
równości wielomianowej podstawiamy δ1 , . . . , δs i otrzymujemy:
zn
= δ1n + · · · + δsn = h(δ1 , . . . , δs )
= H σ1 (δ1 , . . . , δs ), σ2 (δ1 , . . . , δs ), . . . , σs (δ1 , . . . , δs )
= H c1 , −c2 , . . . , (−1)s−1 cs .
Ponieważ liczby c1 , . . . , cs są całkowite
oraz wszystkie współczynniki
wielomianu H(x1 , . . . , xs ) są
również całkowite, więc zn = H c1 , −c2 , . . . , (−1)s−1 cs jest liczbą całkowitą. Pewnymi ciągami (zn ) zajmowaliśmy się już wcześniej. Cały podrozdział o ciągu c(u, v)
(patrz 6.7.1 - 6.7.8) dotyczył tego rodzaju ciągów dla s = 2.
Przypadek s = 1 jest oczywisty. W tym przypadku wielomian f (t) jest postaci t − c oraz
każde zn jest równe cn , gdzie c jest ustaloną niezerową liczbą całkowitą. Ciąg (zn ) jest więc
ciągiem geometrycznym, którego ilorazem jest liczba c, W tym przypadku, dla każdej liczby
pierwszej p zachodzą kongruencje:
zp ≡ z1 (mod p),
zpr ≡ zpr−1 (mod pr ).
Pierwsza z tych kongruencji, to małe twierdzenie Fermata, a druga wynika z twierdzenia
Eulera. Z tych kongruencji szybko wynikają następne dwie kongruencje:
znp ≡ zn (mod p),
znpr ≡ znpr−1 (mod pr ),
zachodzące dla dowolnej liczby naturalnej n. Tak się dzieje dla s = 1. Udowodnimy teraz, że
to wszystko zachodzi dla każdego s > 1.
8.6.7. Przy założeniach (∗). Jeśli p jest liczbą pierwszą, to
zp ≡ c1 (mod p).
D. Niech p będzie ustaloną liczbą pierwszą. Rozpatrzmy równości
cp1 = (δ1 + · · · + δs )p =
X
hi1 , . . . , is iδ1i1 · · · δsis ,
i1 +···+is =p
gdzie sumowanie przebiega wszystkie nieujemne liczby całkowite i1 , . . . , is takie, że i1 + · · · + is = p
(patrz 8.6.4). Liczby
hp, 0, . . . , 0i, h0, p, . . . , 0i, . . . , h0, 0, . . . , pi
są równe 1. Wszystkie pozostałe liczby hi1 , . . . , is i są podzielne przez p (patrz 8.6.5). Mamy zatem
równość cp1 = δ1p + · · · + δsp = pb, czyli
cp1 = zp + pb,
gdzie b jest sumą iloczynów postaci δ1i1 · · · δsis pomnożonych przez jakieś liczby całkowite. Wiemy,
że liczby δ1 , . . . , δs są elementami całkowitymi nad Z. Z twierdzenia 8.6.1 wynika zatem, że b jest
elementem całkowitym nad Z. Ale
cp − z p
b= 1
p
i przy tym p, cp1 , zp są liczbami całkowitymi, więc b jest liczbą wymierną. Każda liczba wymierna,
która jest elementem całkowitym nad Z, jest liczbą całkowitą (patrz 8.6.2). Zatem b ∈ Z i wobec tego
zp ≡ cp1 (mod p). Z małego twierdzenia Fermata wiemy, że
cp1 ≡ c1 (mod p),
107
108Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
a zatem zp ≡ c1 (mod p). Przypomnijmy, że z1 = c1 . Udowodniliḿy więc, że dla każdej liczby pierwszej p zachodzi
kongruencja zp ≡ z1 (mod p). Można udowodnić więcej:
8.6.8. Przy założeniach (∗). Jeśli p jest liczbą pierwszą, to
znp ≡ zn (mod p)
dla wszystkich liczb naturalnych n.
D. Niech p będzie ustaloną liczbą pierwszą oraz n ustaloną liczbą naturalną. Rozpatrzmy równości
znp = (δ1n + · · · + δsn )p =
X
hi1 , . . . , is iδ1ni1 · · · δsnis ,
i1 +···+is =p
gdzie sumowanie przebiega wszystkie nieujemne liczby całkowite i1 , . . . , is takie, że i1 + · · · + is = p
(patrz 8.6.4). Liczby
hp, 0, . . . , 0i, h0, p, . . . , 0i, . . . , h0, 0, . . . , pi
są równe 1. Wszystkie pozostałe liczby hi1 , . . . , is i są podzielne przez p (patrz 8.6.5). Mamy zatem
równość znp = δ1np + · · · + δsnp = pb, czyli
znp = znp + pb,
gdzie b jest sumą iloczynów postaci δ1ni1 · · · δsnis pomnożonych przez jakieś liczby całkowite. Wiemy,
że liczby δ1 , . . . , δs są elementami całkowitymi nad Z. Z twierdzenia 8.6.1 wynika zatem, że b jest
elementem całkowitym nad Z. Ale
z p − znp
b= n
p
i przy tym p, znp , znp są liczbami całkowitymi, więc b jest liczbą wymierną. Każda liczba wymierna,
która jest elementem całkowitym nad Z, jest liczbą całkowitą (patrz 8.6.2). Zatem b ∈ Z i wobec
tego znp ≡ znp (mod p). Z małego twierdzenia Fermata wiemy, że znp ≡ zn (mod p), a zatem znp ≡ zn
(mod p). Można udowodnić również następujące ogólniejsze twierdzenie.
8.6.9 (C.S. Bisht 1984). Przy założeniach (∗). Jeśli p jest liczbą pierwszą, to
znpr ≡ znpr−1 (mod pr )
dla wszystkich liczb naturalnych n, r.
Dla s = 2 dowód tego twierdzenia podaliśmy wcześniej. Patrz twierdzenie 6.7.8.
Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
Załóżmy teraz, że c1 = 0 oraz s > 3. Wówczas z powyższych twierdzeń otrzymujemy
następujące uogólnienie twierdzenia Lucasa 8.5.4.
8.6.10. Niech s > 3 będzie liczbą naturalną i niech
g(t) = ts + d2 ts−2 + d3 ts−3 + · · · + ds−1 t + ds
będzie monicznym wielomianem o współczynnikach całkowitych (współczynnik przy ts−1 jest
równy zero). Niech γ1 , γ2 , . . . , γs będą wszystkimi pierwiastkami (zespolonymi) wielomianu
g(t). Rozważmy ciąg (xn ) określony wzorem
xn = γ1n + γ2n + · · · + γsn
dla wszystkich n ∈ N0 . Ciąg ten posiada następujące własności.
(1) Każdy wyraz ciągu (xn ) jest liczbą całkowitą.
(2) Dla każdej liczby pierwszej p liczba xp jest podzielna przez p.
(3) Dla każdej liczby pierwszej p wszystkie liczby xp , xp2 , xp3 , . . . są podzielne przez p.
Zajmiemy się teraz przykładami ciągów posiadających rozważane własności. Jak już wspomnieliśmy, w przypadku s = 1 mamy do czynienia ze zwykłymi ciągami geometrycznymi o
niezerowych całkowitych ilorazach. Przypadkiem s = 2 zajmowaliśmy się dokładnie w podrozdziale dotyczącym ciągu c(u, v) (patrz 6.7.1 - 6.7.8). Teraz podamy przykłady dla s > 3.
Rozpoczynamy od s = 3.
8.6.11. Niech a, b będą dowolnymi liczbami całkowitymi i niech c będzie liczbą całkowitą różną
od zera. Rozważmy ciąg (zn ) określony równościami:


z0


 z
1

z2



zn+3
=
=
=
=
3,
a,
a2 + 2b,
azn+2 + bzn+1 + czn dla n ∈ N0 .
Dla każdej nieujemnej liczby całkowitej n zachodzi równość
zn = α n + β n + γ n ,
gdzie α, β, γ są wszystkimi pierwiastkami wielomianu f (t) = t3 − at2 − bt − c.
D. Oznaczmy qn = αn + β n + γ n dla n ∈ N0 . Udowodnimy, że qn = zn dla wszystkich n ∈ N0 .
Jest jasne, że q0 = z0 oraz q1 = z1 . Sprawdzamy, że q2 = z2 :
q2 = α2 + β 2 + γ 2 = (α + β + γ)2 − 2(αβ + βγ + γα) = a2 − 2(−b) = a2 + 2b = z2 .
Mamy ponadto:
qn+3
=
αn+3 + β n+3 + γ n+3 = αn α3 + β n β 3 + γ n γ 3
=
αn (aα2 + bα + c) + β n (aβ 2 + bβ + c) + γ n (aγ 2 + bγ + c)
a αn+2 + β n+2 + γ n+2 + b αn+1 + β n+1 + γ n+1 + cb αn + β n + γ n
=
= aqn+2 + bqn+1 + cqn .
Zatem istotnie zn = qn dla wszystkich n ∈ N0 . 109
110Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
8.6.12. Pewne przykłady takich ciągów (zn ), które spełniają równość
zn+3 = azn+2 + bzn+1 + czn
oraz ich n-ty wyraz jest postaci αn + β n + γ n , gdzie α, β, γ są liczbami całkowitymi.
(z0 , z1 , z2 )
(3, 3, 35)
(3, 2, 14)
(3, 7, 45)
(3, 6, 30)
(3, 7, 27)
(3, 6, 14)
(3, 9, 35)
(3, 9, 29)
(3, 9, 29)
(3, 12, 50)
(3, 14, 74)
(a, b, c)
(3, 13, −15)
(2, 5, −6)
(7, −2, −40)
(6, −3, −10)
(7, −11, 5)
(6, −11, 6)
(9, −23, 15)
(9, −26, 24)
(9, −26, 24)
(12, −47, 60)
(14, −61, 84)
zn
zn
zn
zn
zn
zn
zn
zn
zn
zn
zn
zn
= 1n + (−3)n + 5n
= 1n + (−2)n + 3n
= (−2)n + 4n + 5n
= (−1)n + 2n + 5n
= 2 + 5n
= 1n + 2n + 3n
= 1n + 3n + 5n
= 2n + 3n + 4n
= 2n + 3n + 4n
= 3n + 4n + 5n
= 3n + 4n + 7n
Ze stwierdzenia 8.6.11 oraz z wszystkich udowodnionych tutaj twierdzeń otrzymujemy:
8.6.13. Niech (zn ) będzie ciągiem zdefiniowanym równościami:


z0


 z
=
=
=
=
1

z2



zn+3
3,
a,
a2 + 2b,
azn+2 + bzn+1 + czn dla n ∈ N0 ,
gdzie a, b, 0 6= c są dowolnymi liczbami całkowitymi. Wtedy dla każdej liczby pierwszej p
zachodzą następujące kongruencje:
(1)
zp ≡ a (mod p);
(2)
znp ≡ zn (mod p) dla n ∈ N0 ;
(3)
znpr ≡ znpr−1 (mod pr ) dla wszystkich liczb naturalnych n, r.
W szczególnym przypadku, gdy a = 0, otrzymujemy stąd następujące uogólnienie twierdzenia Lucasa 8.5.4 dotyczącego ciągu Perrina.
8.6.14. Niech (zn ) będzie ciągiem zdefiniowanym równościami:


z0


 z
1

z2



zn+3
=
=
=
=
3,
0,
2b,
bzn+1 + czn dla n ∈ N0 ,
gdzie b, 0 6= c są liczbami całkowitymi. Wtedy dla każdej liczby pierwszej p, liczba zp jest
podzielna przez p.
Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
Następne stwierdzenia dotyczą przypadku s = 4. Pierwsze z tych stwierdzeń dowodzimy
tak samo jak stwierdzenie 8.6.11.
8.6.15. Niech a, b, c będą dowolnymi liczbami całkowitymi i niech d będzie liczbą całkowitą
różną od zera. Rozważmy ciąg (zn ) określony równościami:

z0





 z1
z
2



z
3



zn+4
=
=
=
=
=
3,
a,
a2 + 2b,
a3 + 3ab + 3c,
azn+3 + bzn+2 + czn+1 + dzn dla n ∈ N0 .
Dla każdej nieujemnej liczby całkowitej n zachodzi równość
zn = α n + β n + γ n + δ n ,
gdzie α, β, γ, δ są wszystkimi pierwiastkami wielomianu f (t) = t4 − at3 − bt2 − ct − d.
Z tego stwierdzenia oraz z wszystkich udowodnionych tutaj twierdzeń otrzymujemy:
8.6.16. Niech (zn ) będzie ciągiem zdefiniowanym równościami:

z0





z
 1
z
2



z
3



zn+4
=
=
=
=
=
3,
a,
a2 + 2b,
a3 + 3ab + 3c,
azn+3 + bzn+2 + czn+1 + dzn dla n ∈ N0 .
gdzie a, b, c, 0 6= d są dowolnymi liczbami całkowitymi. Wtedy dla każdej liczby pierwszej p
zachodzą następujące kongruencje:
(1)
zp ≡ a (mod p);
(2)
znp ≡ zn (mod p) dla n ∈ N0 ;
(3)
znpr ≡ znpr−1 (mod pr ) dla wszystkich liczb naturalnych n, r.
W szczególnym przypadku, gdy a = 0, otrzymujemy stąd następujące uogólnienie twierdzenia Lucasa 8.5.4 dotyczącego ciągu Perrina.
8.6.17. Niech (zn ) będzie ciągiem zdefiniowanym równościami:

z0





 z1
z
2



z
3



zn+4
=
=
=
=
=
3,
0,
2b,
3c,
bzn+2 + czn+1 + dzn dla n ∈ N0 ,
gdzie b, c, 0 6= d są liczbami całkowitymi. Wtedy dla każdej liczby pierwszej p, liczba zp jest
podzielna przez p.
111
112Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
8.6.18. Niech x0 = 4, x1 = 0, x2 = 2c, x3 = 3b,
xn+4 = axn + bxn+1 + cxn+2
dla n > 0, gdzie a, b, c ∈ Z, b nieparzyste. Wtedy p | xpm dla wszystkich p ∈ P, m ∈ N.
([OM] Rumunia 2004).
8.6.19. Niech a0 = 4, a1 = a2 = 0, a3 = 3 oraz an+4 = an+1 + an . Wtedy p | ap dla
wszystkich p ∈ P. Ponadto,
an = tn1 + tn2 + tn3 + tn4 ,
gdzie t1 , t2 , t3 , t4 są pierwiastkami wielomianu t4 − t − 1.
([Mon] 3(107) 2000, [Dic1] 397).
Dla danej liczby naturalnej s > 3 rozważmy ciąg (dn ) określony równościami:


d0 = m,


 d = d = ··· = d
1
2
m−2 = 0,

ds−1 = s − 1,



dn+s = dn+1 + dn , dla n > 0.
Jeśli s = 3, to (dn ) jest powyższym ciągiem Perrina. (W przypadku m = s otrzymujemy ciąg
Lucasa.)
8.6.20. Jeśli s > 3 i p jest liczbą pierwszą, to p | dp .
([Cmj] 31(3)(2000) 223-224).
8.6.21. Niech s > 2 i niech (an ) będzie ciągiem takim, że an+s = an+1 + an , dla wszystkich
n ∈ N0 . Wtedy dla dowolnych nieujemnych liczb całkowitych n, m zachodzi równość
!
m
X
m
an+sm =
j=0
an+j .
j
D. Indukcja ze względu na m. Dla m = 0 oraz m = 1 to jest oczywiste. Załóżmy, że rozważana
równość zachodzi dla pewnego m > 1 i wszystkich n ∈ N0 . Mamy wtedy:
an+s(m+1)
=
a(n+sm)+s = a(n+sm)+1 + an+sm = a(n+1)+sm + an+sm
=
m
P
j=0
=
m
j
a(n+1)+j +
m
P
j=0
an+m+1 + an +
m P
j=1
=
m+1
P
j=1
m+1
j
m
j
m
j−1
an+j +
m+1
P
j=1
+
m
j
m
j−1
an+j +
m
P
j=0
m
j
an+j = an+m+1 + an +
an+j
m
P
j=1
m+1
j
an+j
an+j
i to kończy dowód. 8.6.22. Niech s > 2 i niech (an ) będzie ciągiem takim, że a0 , a1 , . . . , as−1 są liczbami całkowitymi oraz
an+s = an+1 + an ,
dla wszystkich n ∈ N0 . Jeśli p jest liczbą pierwszą i n jest dowolną liczbą naturalną, to liczba
an+sp − an+p − an jest podzielna przez p.
Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
113
D. Wykazaliśmy (patrz 8.6.21), że
an+sp
Ponieważ wszystkie symbole Newtona
(mod p). p
1
p X
p
=
an+j .
j
j=0
, ...,
p
p−1
są podzielne przez p, więc an+s ≡ an+p + an+0
F C. S. Bisht, Some congruence properties of generalized Lucas integral sequences, [FQ], 22(1984)
290-295.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
8.7
Przykłady ciągów czwartego rzędu
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
8.7.1. Niech a0 = a1 = a2 = a3 = 1 oraz
an+4 = 2an+3 − 4an+1 − 2an .
Wtedy 31 | a31 = 1107179136. Liczba 31 jest jedyną liczbą pierwszą p taką, że p | ap .
([Br] Congruences of 4th order ...).
8.7.2. Dany jest ciąg (an ) określony wzorami a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3 = 6,
an+4 = 2an+3 + an+2 − 2an+1 − an
dla n > 0. Udowodnić, że n | an dla n ∈ N.
([OM] Polska 1988).
8.7.3. Niech a, b, c, d będą dowolnymi liczbami i niech (an ) będzie ciągiem takim, że

a0





a
 1
a
2



a
3



an+4
=
=
=
=
=
d
a+b+c+d
8a + 4b + 2c + d
27a + 9b + 3c + d
4an+3 − 6an+2 + 4an+1 − an .
Wtedy an = an3 + bn2 + cn + d dla wszystkich n > 0.
8.7.4. Niech (an ) będzie ciągiem takim, że a0 = 0, a1 = 1, a2 = 8, a3 = 27,
an+4 = 4an+3 − 6an+2 + 4an+1 − an .
Wtedy an = n3 dla wszystkich n > 0.
(Wynika z 8.7.3).
114Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
8.8
Liniowa rekurencyjność ze zmiennymi współczynnikami
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Rozważać będziemy ciągi (an ) spełniające, dla wszystkich n ∈ N, równość
λs (n)an+s + λs−1 (n)an+s−1 + · · · + λ1 (n)an+1 + λ0 (n)an = h(n),
gdzie h, λ0 , . . . , λs są funkcjami ze zbioru N, liczb naturalnych. Jeśli λs 6= 0, to mówić będziemy, że ciąg (an ) jest rzędu s.
8.8.1. Załóżmy, ciągi ϕ1 , . . . , ϕs spełniają równość rekurencyjną
(∗)
λs (n)an+s + λs−1 (n)an+s−1 + · · · + λ1 (n)an+1 + λ0 (n)an = 0,
gdzie λ0 , . . . , λs są danymi funkcjami określonymi na zbiorze liczb naturalnych. Jeśli wyznacznik (zwany wyznacznikiem Casorati’ego)
ϕs (s) ϕ (1) ϕ (1) . . .
2
1
ϕ1 (2) ϕ2 (2) . . .
..
···
.
...
ϕ1 (s) ϕ2 (s) . . .
ϕs (1)
ϕs (2)
..
.
jest różny od zera, to każdy ciąg a = (an ), spełniający równość rekurencyjną (∗), jest postaci
a = c1 ϕ1 + · · · + cs ϕs ,
gdzie c1 , . . . , cs są jednoznacznie wyznaczonymi stałymi.
([Kozn] 114).
8.8.2. Niech a1 = 1, an+1 − an = 8n. Wtedy an = (2n − 1)2 .
([GeG] 17).
8.8.3. Niech a1 = 1, an+1 − 2an = n. Wtedy an = 3 · 2n − n − 2.
([Kozn] 92).
8.8.4. Nich a1 = 1, an+1 − 2an = 2(n + 1). Wtedy an 6 2n+2 dla n ∈ N.
([OM] Czechy-Słowacja 1996/97).
8.8.5. Niech a0 = a ∈ R, an+1 − 2an = −n2 . Każdy wyraz tego ciągu jest dodatni wtedy i
tylko wtedy, gdy a > 3. ([Putn] 1980).
8.8.6. Niech a0 = 3, an+1 − 3an = −2n(n + 2). Wtedy an = 3n + n2 + 3n + 2.
8.8.7. Niech an+1 − an =
([Chen]).
(−1)n
. Wtedy
n
an = (−1)n+1 λ +
n−1
X
i=1
!
1
.
i
([Kozn] 91).
1
8.8.8. Niech a1 =
i an+1 − an = cos(nϕ), gdzie ϕ jest liczbą rzeczywistą nie będącą
2
całkowitą wielokrotnością liczby 2π. Wtedy
an =
sin(n − (1/2))ϕ
.
2 sin(ϕ/2)
([Kozn] 91).
Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
8.8.9. Jeśli a0 = 3, a1 = 8, an = 3an−1 + 2an−2 + 2n , to an = 2 + 2n + n2n+1 .
115
([Chen]).
8.8.10. Jeśli an+2 − 2an+1 + an = 2n , to istnieją stałe a, b takie, że an = a + bn + 2n .
([Kozn] 118).
8.8.11. Jeśli an+2 − 2an+1 + an = n, to istnieją stałe a, b takie, że an = a + bn + 61 n(n −
1)(n − 2). ([Kozn] 118).
8.8.12. Jeśli an+2 − 2an+1 + an =
1
, to istnieją stałe a, b takie, że
n(n + 1)(n + 2)
1
an = a + bn +
.
2n
([Kozn] 101).
1
, to istnieją stałe a, b takie, że
n(n + 1)(n + 2)
1
1
an = a + bn + 2n + n(n − 1)(n − 2) +
.
6
2n
8.8.13. Jeśli an+2 − 2an+1 + an = 2n + n +
([Kozn] 118).
8.8.14. Jeśli an+2 − 4an+1 + 4an = n2n , to istnieją stałe a, b takie, że
1
an = 2n a + bn + n(3) ,
24
gdzie n(3) = n(n − 1)(n − 2).
([Kozn] 102).
8.8.15. Jeśli an+2 − 5an+1 + 6an = 2n+1 (3n − 1), to istnieją stałe a, b takie, że
an = a3n − 2n−1 (b + 10n + 3n(n − 1)) .
([Kozn] 111, 268).
8.8.16. Niech a1 = a, a2 = b oraz nan+2 − (n + 1)an+1 + an = 0. Wtedy
an = b + (b − a)
n−2
X
1
.
k!
k=0
([Kozn] 126).
D. Podstawiając yn = an+1 −an otrzymujemy równość rekurencyjną nyn+1 −yn = 0 z warunkiem
y1 = b − a. Stąd wynika, że yn =
b−a
(n−1)! ,
czyli an+1 − an =
b−a
(n−1)!
i stąd łatwo otrzymuje się tezę. 8.8.17. Niech an+2 − n(n + 1)an = 0. Wtedy
an = (n − 1)! (a + b(−1)n ) ,
gdzie a i b są jednoznacznie wyznaczonymi stałymi.
([Kozn] 140).
8.8.18. Niech an+2 − n(n + 1)an = (n + 1)!. Wtedy
1
an = (n − 1)! (a + b(−1)n + n) ,
2
gdzie a i b są jednoznacznie wyznaczonymi stałymi. ([Kozn] 142).
8.8.19 (Arkin, Hoggatt 1975). Niech x1 = 1, x2 = 3, xn+1 = (2n + 1)xn − n2 xn−1 . Jeśli
xk−1 ≡ 0 (mod k 2 ), to k jest liczbą pierwszą. ([MR] 50#12900).
8.8.20. Niech x0 = 2, x1 = 3, x2 = 6, xn = (n + 4)xn−1 − 4nxn−2 + (4n − 8)xn−3 dla n > 3.
Wtedy xn = n! + 2n . ([Putn] 1990).
116
Ciągi rekurencyjne.
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
Literatura
[AtM] M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison–Wesley Publishing Company, 1969; (tł. ros. 1972).
[B-B] A. Białynicki Birula, Zarys Algebry, PWN, Warszawa 1987.
[BaJ] S. Balcerzyk, T. Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN, Warszawa 1985.
[Br]
K. Brown, Algebra and number theory, http://mathpages.com/, 2000.
[Chen] C. C. Chen, Preprint 2000, Internet, http://www.math.nus.edu.sg/~matccc.
[Cmj] The College Mathematics Journal, The Mathematical Association of America.
[Coh1] H. Cohen, Number Theory. Volume I: Tools and Diophantine Equations, Graduate Texts in
Mathematics 239, Springer, 2007.
[Dic1] L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. I. Divisibility and primality, Carnegie
Institute of Washington, 1919. Reprinted by AMS Chelsea Publishing, New York, 1992.
[Dlt]
Delta, popularny polski miesięcznik matematyczno-fizyczno-astronomiczny.
[Duke] Duke Mathematical Journal, (Duke Math. J.).
[EvP] G. Everest, A. van der Poorten, I. Shparlinski, T. Ward, Recurrence Sequences, Mathematical
Surveys and Monographs, vol. 104, AMS, 2003.
[FQ]
The Fibonacci Quarterly, czasopismo matematyczne.
[GeG] S. I. Gelfand, M. L.Gerwer, A. A. Kiryłow, N. N. Konstantinow, A. G. Kusznirenko, Zadania
z elementarnej matematyki, Ciągi, Kombinatoryka, Granice (po rosyjsku), Nauka, Moskwa,
1965.
[IMO] Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna.
[Ka74] I. Kaplansky, Commutative Rings, Chicago, London 1974.
[KoM] KöMal, Kozepiskolai Matematikai Lapok, węgierskie czasopismo matematyczne, 1894-2012.
[Kozn] I. Koźniewska, Równania Rekurencyjne, PWN, Warszawa, 1972.
[Kw]
Kwant, popularne czasopismo rosyjskie.
[La84] S. Lang, Algebra, Second Edition, Addison–Wesley Publ. Comp. 1984.
[Mark] A. J. Markuszewicz, Ciągi Rekurencyjne, Warszawa, 1955.
[Mat] Matematyka, polskie czasopismo dla nauczycieli.
[MatC] Mathematics of Computations, American Mathematical Society, czasopismo matematyczne.
[MG] The Mathematical Gazette, angielskie popularne czasopismo matematyczne.
[MM] Mathematics Magazine, popularne czasopismo matematyczne.
[Mon] The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America.
[MoS] A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej, (wydanie 8), Warszawa 1975.
[MR] Mathematical Reviews.
[N11] A. Nowicki, Silnie i Symbole Newtona, Podróże po Imperium Liczb, cz.11, Wydawnictwo
OWSIiZ, Toruń, Olsztyn, 2011.
[OM] Olimpiada Matematyczna.
[Pa97] H. Pawłowski, Zadania z Olimpiad Matematycznych z Całego Świata, Tutor, Toruń, 1997.
[Putn] Putnam (William Lowell) Mathematical Competition.
Ciągi rekurencyjne.
[S59]
8. Liniowe ciągi rekurencyjne wyższych rzędów
117
W. Sierpiński, Teoria Liczb II, PWN, Warszawa, 1959.
[SalS] J. D. Sally, P. J. Sally, Jr., A Vertical Development of Mathematical Problems, AMS, 2007.
[Str67] S. Straszewicz, Zadania z Olimpiad Matematycznych, tom III, 11-15, 59/60 - 63/64, PZWS,
Warszawa, 1967.
[Zw]
Zwardoń, Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej.