Rozkład logarytmiczno – normalny

Modele zmienności aktywów
ryzykownych
Model multiplikatywny
Rozkład logarytmiczno-normalny
Parametry siatki dwumianowej
Model multiplikatywny zmienności
aktywów
Rekurencyjny model multiplikatywny:
S(0)=S0, S(k+1) = S(k) u(k), k=1,2,…
Cena aktywa w chwili k dana jest więc wzorem
(1)
S(k) = u(k-1)u(k-2)…u(0)S(0).
Po zlogarytmowaniu obu stron wprowadzeniu
oznaczenia w(i)=lnu(i) mamy
k 1
k 1
i 0
i 0
ln S (k )  ln S (0)   ln u (i )  ln S (0)   w(i )
k 1
(2)
ln S (k )  ln S (0)   w(i )
i 0
Oczekiwana logarytmiczna stopa wzrostu
ceny akcji w modelu multiplikatywnym
Ponieważ S(k+1) = S(k) u(k), więc
(3)
w(k) = ln u(k) = ln[S(k+1)/S(k) ]
czyli zmienna w(k) jest logarytmiczną stopą wzrostu ceny
akcji w k-tym etapie
(4)
E {ln[S(k+1)/S(k)]} = E[w(k)] = μk
μk - oczekiwana logarytmiczna stopa wzrostu w k-tym
etapie
Z definicji modelu
(5) E{ln (S(k)/S(0))} = E[w(0)+…+w(k-1)]= μ0 + μ1 +…+ μk-1
Lewa strona oznacza oczekiwaną całkowitą (po k
etapach) logarytmiczną stopę wzrostu
Oczekiwana wartość i wariancja
logarytmu ceny końcowej
Jeśli wszystkie zmienne w(i) mają tę samą wartość
oczekiwaną μ i wariancję σ2 oraz są wzajemnie
niezależne, to korzystając z własności wartości
oczekiwanej i wariancji możemy zapisać:
(6)
E [ln S(k)] = lnS(0) +μk,
(7)
var [lnS(k)] = k σ2.
Łatwo zauważyć, że wartość oczekiwana logarytmu
ceny jest funkcją liniową zmiennej k zaś wariancja
logarytmu ceny rośnie proporcjonalnie do k.
Oczekiwana wartość współczynnika
wzrostu ceny po k krokach
 Z równości (5) dla jednakowych wartości
oczekiwanych otrzymujemy
(8)
E [ln S(k)/S(0)] = μk
Dla ciągłej funkcji f i zmiennej losowej X posiadającej
wartość oczekiwaną prawdziwa jest równość
E [f (X) ] = f (E (X) ).
Stosując tę własność do równości (8) dla funkcji f(x) = ex
otrzymujemy
(9)
E [S(k)/S(0)] = eμk
Gdzie μ - oczekiwana logarytmiczna stopa wzrostu w
pojedynczym etapie
Logarytmiczna a zwykła stopa wzrostu
Przy przyjętych oznaczeniach
μ = E [ln (S(k+1)/S(k))] , k=0,1,…
Ponieważ
S(k+1)/S(k) = [S(k+1)-S(k)]/S(k)+1
Zatem
ln [S(n+1)/S(n)] = ln {[S(n+1)-S(n)]/S(n)+1}
Oznaczając r = [S(n+1)-S(n)]/S(n) (r jest stopą wzrostu ceny w
jednym etapie, mamy
ln [S(n+1)/S(n)]= ln (r+1).
Dla bliskich zeru wartości r mamy przybliżenie
(10)
ln (r+1)  r, czyli μ = E (r)
Korzystamy z rozwinięcia
ln( 1  x)  x  x2  R( x)
2
ln( 1  x)  x dla x  ( ,  )
Rozkład zmiennej losowej ln[S(k)/S(0)]
 Bezpośrednio ze związku
k 1
k 1
i 0
i 0
ln S (k )  ln S (0)   ln u (i )  ln S (0)   w(i )
 Otrzymujemy logarytm z ilorazu
(11)
ln
S (k )
S (0)
k 1
k 1
i 0
i 0
  ln u (i )   w(i )
 Jeżeli w(i) są niezależnymi zmiennymi losowymi o
rozkładach normalnych i parametrach μ, σ2 , to
zmienna losowa ln[S(k)/S(0)] ma rozkład normalny o
wartości oczekiwanej (kμ) oraz wariancji kσ2 (Wniosek
3, par. 37, S Zubrzycki „Wykł. rach. p-stwa..”)
Rozkład graniczny zmiennej losowej ln[S(k)/S(0)]
Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że jeżeli
zmienne losowe w(i) mają jednakowe rozkłady o
parametrach μ, σ2 oraz stanowią ciąg niezależnych
zmiennych losowych, to zmienna losowa ln[S(k)/S(0)]
ma w granicy rozkład normalny, czyli
ln
lim k  P{a 
lub
S (k )
 k
S ( 0)
 b} 
 k
1
2
 x2
a exp( 2 )dx
b
inaczej
S (k )
lim k  P{a k  k  ln
 b k  k} 
S ( 0)
1
2
 x2
a exp( 2 )dx
b
czyli
lim k  P{a k  k  ln S (0)   ln S (k )  b k  k  ln S (0) } 
1
2
 x2
a exp( 2 )dx
b
Rozkład logarytmiczno – normalny
 Niech Y oznacza zmienną losową o rozkładzie normalnym
N(μ,σ) . Niech X = eY (Y = lnX)
 DEF. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
nazywamy rozkładem logarytmiczno – normalnym i
oznaczamy Λ(μ,σ)
 (X jest funkcją wykładniczą zmiennej losowej o rozkładzie
normalnym)
 FX – dystrybuanta zmiennej X
niech
x0
FX ( x)  P{ X  x}  P{ln X  ln x} 
 P{Y  ln x}  FY (ln x)
gdzie FY dystrybuanta zmiennej Y
Rozkład logarytmiczno – normalny
 Zatem
FX ( x)  FY (ln x) dla x  0
ogólnie
x0
0
FX ( x)  
 FY (ln x) x  0
 (12)
 Oznaczmy przez (x) gęstość rozkładu
zmiennej X
 (13)  ( x)  F ' ( x)  F (ln x)  ' 
X
Y
x
(density rozkl . N (  ,  ) w punkcie ln x)  1x

1
1
2  x

exp 
ln x   2
2 2

Rozkład logarytmiczno – normalny

Niech Y oznacza zmienną losową o rozkładzie normalnym
N(μ,σ) . Niech X = eY

Wtedy k - ty moment rozkładu logarytmiczno-normalnego
Mk dany jest wzorem:
(14)
Mk = exp (μk + 0,5 σ2 k2)
a stąd
EX = exp (μ+ 0,5 σ2)
(15)
War X = E(X2) - (E(X))2 = exp (2μ+ 2σ2) - exp (2μ+ σ2)=
= exp (2μ+ 2σ2) [ exp ( σ2) –1]
Model multiplikatywny, dwumianowy
 Zakładamy, że w każdym okresie cena akcji może
spaść lub wzrosnąć, zawsze w tej samej proporcji,
czyli
 (16)
u, gdzie u  1
u (k )  
d , gdzie 0  d  1
przy czym pierwsza z tych wartości jest
przyjmowana z prawdopodobieństwem p
a druga z (1-p)
Drzewo cen w modelu multiplikatywnym,
dwumianowym - Siatka dwumianowa cen
(4 etapy, S – cena początkowa)
Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym
dwumianowym, n-etapowym
Ze wzoru S(n) = u(n-1)u(n-2)…u(0)S(0) wynika, że
możliwe ceny końcowe muszą mieć postać
S(0) ukdn-k, gdzie k = 0,1,…,n.
Na drzewie cenowym istnieje
n
 
k 
różnych dróg
prowadzących do węzła identyfikowanego z
ceną S(0)ukdn-k , gdyż każda droga jest
jednoznacznie scharakteryzowana przez nwyrazowy ciąg (u,u,d,u,…,d,u), zawierający k
liter u oraz (n-k) liter d.
Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym
dwumianowym, n-etapowym
 Prawdopodobieństwo każdej takiej drogi
– jako koniunkcji zdarzeń niezależnych wynosi

pk (1-p)n-k
Zatem prawdopodobieństwo ceny
końcowej Sukdn-k wynosi

n k
  p (1  p) n  k
k 
Przykład. Model multiplikatywny, dwumianowy (S(0)=100;
u=1,1; d=0,9; prawdopodobieństwo wzrostu 0,6). Cena
końcowa akcji po 304 etapach oraz jej prawdopodobieństwo
100,00 zł CENA POCZĄTKOWA
P
nr wiersza
Q
R
S
T
P$7*G$5^R13*G$6^S13
ROZKŁAD.DWUM(R13;304;G$8;FAŁSZ)
p-stwo
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
3,61393E-68
7,32424E-66
7,39748E-64
4,96453E-62
2,49054E-60
9,96216E-59
3,30965E-57
9,3931E-56
2,32479E-54
5,09732E-53
cena koncowa akcji (po 304 liczba
liczba
składniki wartości
etapach)
wzrostów spadków oczekiwanej ceny
383 156 579 951 951,00
313 491 747 233 415,00
256 493 247 736 430,00
209 858 111 784 352,00
171 702 091 459 924,00
140 483 529 376 302,00
114 941 069 489 701,00
94 042 693 218 846,60
76 944 021 724 510,90
62 954 199 592 781,60
304
303
302
301
300
299
298
297
296
295
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,00 zł
0,00 zł
0,00 zł
0,00 zł
0,00 zł
0,00 zł
0,00 zł
0,00 zł
0,00 zł
0,00 zł
Rozkład prawdopodobieństwa ceny
końcowej (cena – oś pozioma)
TEORETYCZNY ROZKŁAD CENY AKCJI
0,05
0,045
PRAWDOPODOBIEŃSTWO
0,04
0,035
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
500 000
450 000
400 000
350 000
300 000
250 000
200 000
150 000
100 000
50 000
0
Rozkład prawdopodobieństwa ceny
końcowej (cena – oś pozioma)
0,05
0,045
0,04
0,035
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
Rozkład prawdopodobieństwa ceny
końcowej. Oś X – skala logarytmiczna
TEORETYCZNY ROZKŁAD CENY AKCJI
0,05
0,045
PRAWDOPODOBIEŃSTWO
0,04
0,035
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
1 000 000
10 0 00 0
10 000
1 000
10 0
10
1
0
0
0,05
0,045
0,04
0,035
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
+
0E
2,0
+
0E
1,8
+
0E
1,6
+
0E
1,4
+
0E
1,2
+
0E
1,0
+
0E
8,0
+
0E
6,0
+
0E
4,0
+
0E
2,0
+
0E
0,0
07
07
07
07
07
07
06
06
06
06
00
0,05
0,045
0,04
0,035
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
+
0E
1,0
+
0E
1,0
+
0E
1,0
+
0E
1,0
+
0E
1,0
+
0E
1,0
+
0E
1,0
+
0E
1,0
+
0E
1,0
08
07
06
05
04
03
02
01
1
00
-0
0E
1,0
Symulacja ceny 300 etapach
350,00 zł
300,00 zł
250,00 zł
200,00 zł
150,00 zł
100,00 zł
50,00 zł
- zł
1
18 35 52 69 86 103 120 137 154 171 188 205 222 239 256 273 290
Symulacja ceny 300 etapach
50 000,00 zł
45 000,00 zł
40 000,00 zł
35 000,00 zł
30 000,00 zł
25 000,00 zł
20 000,00 zł
15 000,00 zł
10 000,00 zł
5 000,00 zł
- zł
1
18 35 52 69 86 103 120 137 154 171 188 205 222 239 256 273 290
Symulacja ceny 300 etapach
7 000,00 zł
6 000,00 zł
5 000,00 zł
4 000,00 zł
3 000,00 zł
2 000,00 zł
1 000,00 zł
- zł
1
18 35 52 69 86 103 120 137 154 171 188 205 222 239 256 273 290
Logarytmiczna-normalność rozkładu
granicznego ceny S w modelu
multiplikatywnym, dwumianowym
 Ze wzoru
ln
S (k )
S (0)
k 1
k 1
i 0
i 0
  ln u (i )   w(i )
 i z faktu, że suma ma graniczny (tzn. przy
k) rozkład normalny wynika, że zmienna
losowa ln S(k) ma także graniczny rozkład
normalny. Oznaczmy lim k ln S(k) = ln S.
Zatem zmienna ln S ma rozkład normalny,
zaś zmienna X= exp(ln S) czyli zmienna X=
S ma rozkład logarytmiczno-normalny
Parametry siatki dwumianowej
Sformułowanie problemu
Dana jest roczna oczekiwana logarytmiczna stopa
zwrotu z akcji:
(17) E[ln(ST /S0)] = 
 - gdzie ST oznacza cenę akcji po roku
oraz wariancja logarytmu ze zmiennej (ST /S0)
(18)
War [ln(ST /S0)] = 2
Ile powinny wynosić przy tych danych parametry siatki
zmienności, czyli wielkości u,p w jednym etapie,
jeżeli w ciągu roku wystąpi n etapów oraz u =1/d ?
Parametry siatki dwumianowej
 Zakładamy, że zmienne losowe
u, gdzie u  1
u (k )  
d , gdzie 0  d  1
 k=1,2,…,n są niezależne, wzrost następuje z
prawdopodobieństwem p.
 Zmienne losowe
 (19)
ln u, gdzie u  1
ln u (k )  
ln d , gdzie 0  d  1
 k=1,2,…,n są także niezależne, co wynika
bezpośrednio z definicji niezależności zmiennych
losowych
Parametry siatki dwumianowej
 Ogólne równania modelu:
n 1
(a ) ln S n  ln S 0   ln u (k )
k 0
   E ln   ...  E ln   E (ln u)  
(b) E ln
S1
S0
(c) E[ln
S1
S0
Sn
S n1
S2
S1
 ln
S2
S1
 ...  ln
Sn
S n1
]
 E (ln S1  ln S 0  ln S 2  ln S1  ...  ln S n  ln S n 1 ) 
 E (ln S n  ln S 0 )  E ln( S n / S 0 )   n

(d ) War ln( S n / S 0   War ln
gdzie  2  War (ln
S i 1
Si
)
S1
S0
 ln
S2
S1
 ...  ln
Sn
S n1
  n
2
Parametry siatki dwumianowej
Si oznacza cenę akcji po i-tym etapie
(e) E (ln )  p ln u  (1  p ) ln d  
S1
S0
War (ln SS10 )  ln u  p  ln d  (1  p)   p ln u  (1  p) ln d  
2
2
2
 ln u  p  ln d  (1  p)  p 2 ln u   (1  p) 2 ln d   2 pln u (1  p) ln d 
2
2
2
2
 ln u  p(1  p)  ln d  (1  p)(1  (1  p))  2 pln u (1  p) ln d 
2
2
 p(1  p)[ln u   ln d   2 ln u ln d ] 
2
2
2
 u
 p(1  p)(ln u  ln d )  p(1  p) ln    2
 d
2
( f ) War (ln )  War (ln
S1
S0
S i1
Si
 u
)  p(1  p) ln 
 d
2
Parametry siatki dwumianowej
 Ze związku ( c ) wynika, że po n etapach w omawianym
modelu
E(ln(Sn/S0)) = n ,
 co jest równoważne równościom
E(Sn /S0)=en, E(Sn)= S0 en
 Jeżeli dodatkowo założymy, że S1=1, to otrzymujemy
E(lnSn)=n, E(Sn)=en
Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia U:=lnu,D:=lnd, t:=1/n
E[ln Si 1 / Si ]  E (ln u (i))  p ln u  (1  p) ln d
E (ln u (i ))  pU  (1  p) D  pU  (1  p)U 
 (20)
 U (2 p  1)  n  t  , gdzie t 
1
n
Parametry siatki dwumianowej
 Wariancja. Z niezależności zmiennych
ln(u(k)), wynika, że
n 1
War ln S n / S 0    War (ln u (k )) 
k 0
2


u


 nWar ln S1 / S 0   n p (1  p ) ln  


d




War ln S n / S 0   n 2
2


u


2
gdzie    p (1  p ) ln  


d




Parametry siatki dwumianowej
War ln S n / S 0   n 2   2
 Pp
2
 u
  p (1  p) ln   p(1  p)(ln u  ln d ) 2 
 d
 p (1  p )(U  D) 2
2
niech teraz u  d1 , wtedy ln u   ln d wiec U   D, zatem
  p (1  p)( 2U ) 
2
2
2
n
z (20)
U (2 p  1)  t 
 t   2
Parametry siatki dwumianowej
U (2 p  1)  t 

2
2
 p (1  p )( 2U )  t  
U (2 p  1) 2  t  2

2
2
 p (1  p )( 2U )  t  
po dodaniu stronami
U 2  t    t   2
2
ln u 
t  2  t   2
ln d   t    t   2
t  1 1
t 
p
  

2
2
2U
2 2 2 t    t  

1 1

2 2
1
2
 2 t
1
2
p
1 1

2 2
1

 2 t
2
1

1 1

2 2
1

 2 t
2
  2 tt
2

1 1
 2  t
1 1
t
 
 

2
2
2
2 2    t 2 2  1   2 t
1 1

t , czyli
2 2
1 1
p 
t , gdyż ze wzoru Taylora
2 2
x
 0  11! x  22!a x 2  R( x)
1  ax
2
ln u  t    t   2  t   2   t
x
 x dla x bliskich 0
2
1  ax
ln d   t    t   2   t

u  e
d  e 
p
t
t
1 1

t
2 2
Parametry siatki dwumianowej
 Ostatecznie otrzymujemy następujące parametry siatki
dwumianowej
ue
 (21)
 t
  t
d e
1 1
p 
t
2 2
  = E [ ln (ST/S0) ], ST – cena po roku
 2 - roczna wariancja zmiennej ln(ST/S0)
 t – czas trwania jednego etapu (ułamek roku)
Interpretacja parametrów , 2
  = E[ln(ST/S0)],
 = ln(E[(ST/S0)])
E[(ST/S0)])=e
E(ST) = S0 e , gdyż S0 jest stałą
 Parametr  jest więc roczną oczekiwaną logarytmiczną
stopą wzrostu,
 Jeżeli S0 = 1,
to  = E[ln(ST)]. Stąd E(ST) = e
 War [ln(ST /S0)] =War [ln(ST)] = 2
 2 – jest wtedy wariancją z logarytmu ceny po roku, czyli
miarą zmienności rocznej ceny akcji
Literatura
 Teoria inwestycji finansowych – D. Luenberger
 Instrumenty pochodne – sympozjum
matematyki finansowej. Kraków UJ 1997
 Kontrakty terminowe i opcje. Wprowadzenie
J. Hull Warszawa 1997
 Inwestycje K. Jajuga, T. Jajuga PWN 2008
 Rynkowe instrumenty finansowe
A. Sopoćko PWN 2005