Podzielności Definicja 1. Dane są liczby całkowite a, b, przy czym b 6= 0. Liczba a jest podzielna przez liczbę b wtedy i tylko wtedy, gdy a = bc dla pewnej liczby całkowitej c. Zadanka: 1. Rozwiąż równanie w zbiorze liczb całkowitych (m2 + 1)(n2 + 1) = (m + n)2 + 1. Rozwiązanie: Przekształćmy dane równanie następująco: (m2 + 1)(n2 + 1) = (m + n)2 + 1 =⇒ m2 n2 + m2 + n2 + 1 = m2 + 2mn + n2 + 1 =⇒ m2 n2 = 2mn Ponieważ liczby m i n są różne od zera, więc otrzymujemy mn = 2. Stąd wniosek, że liczby m i n są dzielnikami liczby 2. Liczby m i n są dodatnie, zatem możliwe są przypadki: 1◦ m = 1, wtedy n = 2. 2◦ m = 2, wtedy n = 1. Łatwo sprawdzić, że pary liczb (m, n) = (2, 1) i (m, n) = (1, 2) spełniają wyjściowe równanie. 2. Niech k! = 1 · 2 · 3 ... · k dla każdej liczby całkowitej dodatniej k. Znajdź wszystkie liczby całkowite dodatnie n spełniające równanie 1! + 2! + 3! + ... + n! = (n + 1)!. Rozwiązanie: Zauważmy, że liczba k! jest podzielna przez 2 dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej k różnej od 1. Ponieważ n jest liczbą dodatnią, więc n + 1 > 1, skąd wniosek, że prawa strona danego równania jest podzielna przez 2, a lewa strona nie jest podzielna przez 2. Stąd wynika, że dane równanie nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich. 3. Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych (a, b) spełniające równanie ab + 1 = a + b. Rozwiązanie: Przekształćmy dane równanie następująco ab + 1 = a + b ⇐ ab − a − b + 1 = 0 ⇐ a(b − 1) − (b − 1) = 0 ⇐ (a − 1)(b − 1) = 0 Z ostatniego równania otrzymujemy, że jedna z liczb a − 1, b − 1 jest równa 0, a druga pewnej liczbie całkowitej n. Mamy więc możliwe przypadki (a, b) = (1, n + 1) lub (a, b) = (n + 1, 1). łatwo sprawdzić, że te pary liczb spełniają wyjściowe równanie. 4. Wyznacz wszystkie liczby całkowite większe niż 1 dla których liczba n2 − 1 jest liczbą pierwszą. Rozwiązanie: Niech p oznacza tę liczbę pierwszą. Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia otrzymujemy (n − 1)(n + 1) = p, skąd z definicji liczb pierwszych i założenia, że n > 1 mamy, że jedna z liczb n − 1, n + 1 jest równa 1. Ponieważ n − 1 < n + 1, więc n − 1 = 1, skąd n = 2. Łatwo sprawdzić, że ta liczba spełnia warunki zadania. 1 Podzielności 5. Wyznacz wszystkie pary (x, y) liczb całkowitych spełniające równanie xy = 2x + 3y + 5. Rozwiązanie: Przekształćmy równanie następująco: xy = 2x+3y+5 =⇒ xy−2x−3y−5 = 0 =⇒ x(y−2)−3y−5 = 0 =⇒ x(y−2)−3y+6−11 = 0 =⇒ x(y − 2) − 3(y − 2) − 11 = 0 =⇒ (x − 3)(y − 2) = 11 Stąd otrzymujemy, że liczby liczba x − 3 jest dzielnikiem 11, zatem możliwe są przypadki 1◦ x − 3 = 11, wtedy y − 2 = 1, skąd otrzymujemy parę (x, y) = (14, 3) 2◦ x − 3 = −11, wtedy y − 2 = −1, skąd otrzymujemy parę (x, y) = (−8, 1) 3◦ x − 3 = 1, wtedy y − 2 = 11, skąd otrzymujemy parę (x, y) = (4, 13). 4◦ x − 3 = −1, wtedy y − 2 = −11, skąd otrzymujemy parę (x, y) = (2, −9) Łatwo sprawdzić, że dane pary liczb spełniają wyjściowe równanie. 6. Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych x2 3 + 5 y = 8. Wskazówka: Pomnożyć obie strony równania przez 3y, następnie wyciągnąć przed nawias y. 7. Wyznacz wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba n4 + 33 jest kwadratem liczby naturalnej. Wskazówka: Napisać, że n4 +33 = a2 dla liczby naturalnej a i skorzystać z pewnego wzoru skróconego mnożenia. 8. Wyznacz wszystkie liczby całkowite n, dla których liczba n2 +2 n+2 jest liczbą naturalną. Rozwiązanie: Zauważmy, że n2 − 4 + 6 (n − 2)(n + 2) + 6 6 n2 + 2 = = =n−2+ n+2 n+2 n+2 n+2 6 To oznacza, że szukamy wszystkich liczb całkowitych n dla których liczba n+2 jest całkowita, co jest równoważne temu, ze n + 2 jest dzielnikiem liczby 6. Stąd wniosek, że n + 2 = 6 lub n + 2 = 3 lub n + 2 = 2 lub n + 2 = 1 lub n + 2 = −1 lub n + 2 = −2 lub n + 2 = −3 lub n + 2 = −6, czyli n = 4 lub n = 1 lub n = 0 lub n = −1 lub n = −3 lub n = −4 lub n = −5. 9. Liczbę 2012 przedstaw w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych. Ile rozwiązań ma to zadanie. Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: Skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia. Na ile sposobów można przedstawić liczbę 2012 w postaci iloczynu dwóch liczb naturalnych? 10. Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru p tak, aby pierwiastkiem równania x3 + px2 = 18 była liczba pierwsza. Wskazówka: Niech r będzie pierwiastkiem wyjściowego równania. To oznacza, że liczba 18 jest podzielna przez r2 . 2 Podzielności 11. Dana jest liczba pierwsza p. Wyznacz wszystkie pary liczb (x, y) spełniające równanie 1 1 1 x + y = p. Rozwiązanie (niepełne): Z danego równania wynika, że px+py = xy =⇒ xy−px−py = 0 =⇒ xy−px−py+p2 −p2 = 0 =⇒ (x−p)(y−p) = p2 . Ponieważ p2 jest liczbą pierwszą, więc ma 6 dzielników: p2 , p, 1, −1, −p, −p2 ). Rozwiązanie kończymy podobnie jak w zadaniu 5 (bardzo ważne jest sprawdzenie). 12. Rozstrzygnij, czy istnieją różne liczby pierwsze p1 , p2 , p3 , ... , pn dla których liczba 1 1 1 p1 + p2 + ... + pn jest całkowita. Rozwiązanie: Niech p11 + p12 +...+ p1n = k dla pewnej liczby całkowitej k. Pomnóżmy daną równość stronami przez p1 p2 ...pn . Otrzymamy p2 p3 p4 ...pn + p1 p3 p4 ...pn + ... + p1 p2 ...pn−1 = p1 p2 p3 ...pn Ponieważ liczby p1 , p2 , ..., pn są różnymi liczbami pierwszymi, więc liczba p2 p3 p4 ...pn nie jest podzielna przez p1 . Zauważmy, że każdy składnik sumy po lewej stronie równania, oprócz pierwszego jest podzielny przez p1 . To oznacza, ze lewa strona równania nie jest podzielna przez p1 . Prawa strona tego równania jest podzielna przez p1 , co oznacza, że nie istnieją liczby pierwsze spełniające warunki zadania. 13. Znajdź wszystkie liczby pierwsze p, q, r spełniające równanie pqr = 11(p + q + r). Wskazówka: Zauważmy, że jedna z liczb p, q, r jest równa 11. Ze względu na symetrię wyrażenia pqr = 11(p + q + r) (co oznacza, że jeżeli liczby p, q, r zamienimy miejscami, to wyrażenie będzie wyglądać tak samo) możemy założyć, że p = 11. Dalej postępujemy tak, jak w zadaniu 5. 14. Rozwiąż układ równań w liczbach całkowitych większych od 1. ( ab = c + d cd = a + b Wskazówka: Dodać równości stronami i wykorzystać sztuczkę z zadania 1. 15. Czy istnieje taka liczba naturalna n, że liczba n(n+2) jest kwadratem liczby całkowitej? Wskazówka: Wykorzystać wzory (n + 1)2 = n2 + 2n + 1 i a2 − b2 = (a − b)(a + b). Wskazówka do innego sposobu: Liczba n2 znajduje się pomiędzy dwoma kolejnymi kwadratami liczb całkowitych. 16. Wyznacz wszystkie liczby całkowite a dla których równanie x2 + ax + a = 0 ma pierwiastki całkowite. Rozwiązanie niepełne: √ Niech x1 będzie jednym z pierwiastków danego równania √ −a+ a2 −4a spełniającym x1 = , skąd 2x +a = a2 − 4a =⇒ (2x1 +a)2 = a2 −4a, 1 2 2 zatem liczba a − 4a jest kwadratem liczby całkowitej, skąd a2 − 4a = b2 , dla pewnej liczby całkowitej b. Stąd otrzymujemy (a−2)2 −2 = b2 =⇒ (a−2)2 −b2 = 2 =⇒ (a − 2 − b)(a − 2 + b) = 2. Następnie rozważamy 4 przypadki (gdy a + b − 2 jest równe jednej z liczb 2, −2, 1, −1), a następnie wykonujemy sprawdzenie. http://anaisy.blog.pl/?p=35 3