1. Rozdajemy karty do bryd»a. Niech Nk oznacza zdarzenie, »e

1. Rozdajemy karty do bryd»a. Niech
k
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
N
definiujemy zdarzenia Wk , Sk i Ek
oznacza zdarzenie, »e gracz
∈ {1, 2, 3, 4}). Analogicznie
dostaª gracz W , je±li zaszªy nast¦puj¡ce
asów (k
Ile asów
Nk
dostaª przynajmniej
dla graczy
W , S i E.
zdarzenia:
W10 ?
N2 ∩ S2 ?
N10 ∩ S10 ∩ E10 ?
W2 \ W3 ?
(N2 ∪ S2 ) ∩ E2 ?
W2 \ (E1 ∪ N1 ∪ S1 )?
(W 1 ∩ (W2 ∪ (S2 ∩ N3 )))0 ?
2. Rzucamy dwiema kostkami do gry.
a) Czy prawdopodobie«stwo otrzymania sumy 7 oczek jest takie samo, jak otrzymania sumy 8?
b) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e na jednej z nich wypadnie wi¦cej oczek ni» na drugiej?
3. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Porównaj prawdopodobie«stwa, »e otrzymamy sum¦ oczek 8,
w dwóch modelach:
a) wyniki traktujemy jako uporz¡dkowan¡ par¦ liczb, a ka»da z nich jest jednakowo prawdopodobna,
b) wyniki traktujemy jako nieuporz¡dkowan¡ par¦ liczb, a ka»da z nich jest jednakowo prawdopodobna.
Czy te prawdopodobie«stwa s¡ takie same? Dlaczego?
4. Rzucamy 5 razy kostk¡. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e uzyskamy dokªadnie dwie ró»ne warto±ci (np.
h1, 3, 1, 1, 3i).
5. Losujemy jedn¡ liczb¦ ze zbioru
{1, . . . , 1234}.
Zdefiniuj zbióR zdarze« elementarnych
Ω
dla
tego eksperymentu i zapisz symbolicznie poni»sze zdarzenia:
a) wyci¡gni¦ta liczba dzieli si¦ przez 4 lub 5,
b) wyci¡gni¦ta liczba nie dzieli si¦ ani przez 6, ani przez 9.
Oblicz prawdopodobie«stwa tych zdarze«.
6. Dane s¡ liczby naturalne
n i k , przy czym 1 ¬ k ¬ n. Ze zbioru {1, . . . , 2n} losujemy k
ró»nych
liczb. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e wszystkie wylosowane liczby s¡ parzyste, je»eli:
a) losujemy kolejno,
b) wyci¡gamy zbiór
k
liczb.
Czy prawdopodobie«stwa s¡ te same? Dlaczego?
7. Porównaj prawdopodobie«stwa, »e w bryd»u gracz
W
otrzyma wszystkie 13 pików, w dwóch
modelach:
a) dajemy losowo ka»demu z graczy od razu po 13 nieuporz¡dkowanych kart; w tym przypadku zdarzeniem elementarnym jest uporz¡dkowana czwórka podzbiorów 13-elementowych
zbioru kart,
b) rozdajemy karty tradycyjnie, tzn. najpierw tasujemy karty, a potem kolejno dajemy graczom po jednej (zaczynaj¡c od
W );
w tym przypadku zdarzeniem elementarnym jest per-
mutacja 52 kart.
Czy prawdopodobie«stwa s¡ te same? Dlaczego?
8. Losujemy 5 liczb spo±ród
1, . . . , 9
1
2
a) bez zwracania,
b) ze zwracaniem
(kolejno±¢ istotna). Oblicz prawdopodobie«stwo, »e ich iloczyn jest podzielny przez 10.
9. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e wybieraj¡c kolejno, z powtórzeniami, trzy liczby
0, . . . , 10,
otrzymamy rozwi¡zanie równania
x, y, z spo±ród
x + y + z = 10.
10. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e wybieraj¡c losowo trzy wierzchoªki
(2n + 1)-k¡ta
foremnego,
otrzymamy trójk¡t ostrok¡tny.
11. Z tradycyjnej talii 24 kart wybieramy pi¦¢. Oblicz prawdopodobie«stwo otrzymania nast¦puj¡cych ukªadów: jedna para (i nic wi¦cej), dwie pary (i nic wi¦cej), strit, full, poker.
12. Wybieramy losowo liczb¦ ze zbioru
dzieli si¦ przez przynajmniej jedn¡
{1, . . . , 1234}. Jakie
z liczb: 2, 3, 5, 7?
jest prawdopodobie«stwo, »e liczba ta
13. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e przy losowym rozdaniu kart do bryd»a ka»dy z graczy otrzyma
a) asa, b) pika.
n razy dwiema kostkami. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e wyrzucimy wszystkie pary
hi, ii, dla i ∈ {1, . . . , 6}.
Do poci¡gu zªo»onego z n wagonów wsiada losowo k pasa»erów (k > n). Oblicz prawdopodo-
14. Rzucamy
15.
bie«stwo, »e do ka»dego wagonu wsi¡dzie przynajmniej jeden pasa»er.
n i k , przy czym 1 < k < n. Ze zbioru {1, . . . , n} losujemy dwie ró»ne
liczby. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e jedna z nich jest mniejsza, a druga wi¦ksza od k , je»eli:
16. Dane s¡ liczby naturalne
a) losujemy kolejno,
b) wyci¡gamy nieuporz¡dkowan¡ par¦ liczb.
Czy prawdopodobie«stwa te s¡ takie same? Dlaczego?
17. Rzucamy 3 razy kostk¡ do gry. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e najwi¦ksza otrzymana liczba
oczek jest dwa razy wi¦ksza, ni» najmniejsza otrzymana liczba oczek.
18. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wybrana losowo liczba 6-cyfrowa ma cyfr¦ 3 na pierwszym
lub ostatnim miejscu?
19. W koªo wpisany jest kwadrat. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e:
a) punkt rzucony losowo na koªo znajdzie si¦ wewn¡trz kwadratu,
b) z pi¦ciu punktów, rzuconych losowo na koªo, jeden znajdzie si¦ w kwadracie, a pozostaªe po jednym w ka»dym z czterech pozostaªych fragmentów koªa.
20. Ala i Ola wychodz¡ z domu do pracy zawsze o 7:00. Ich drogi pokrywaj¡ si¦ na odcinku
o dªugo±ci
a.
Ala idzie z
A
do
B,
AB
A (a Ola do B ) w przyp (Ola te»). Oblicz praw-
a Ola odwrotnie. Ala dochodzi do
padkowym momencie mi¦dzy 7:30 a 7:45 i idzie ze staª¡ pr¦dko±ci¡
dopodobie«stwo spotkania obu kobiet.
21. Z wn¦trza sze±ciok¡ta foremnego o boku
a
wybrano losowo jeden punkt. Jakie jest prawdo-
podobie«stwo, »e odlegªo±¢ tego punktu od ±rodka sze±ciok¡ta nie przekracza
ustalon¡ liczb¡,
√
0 < t < a 3/2.
22. Na okr¦gu umieszczono losowo trzy punkty:
4ABC
t,
gdzie
t
jest
A, B , C . Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e trójk¡t
jest ostrok¡tny?
23. Na odcinku
z punktu
L
AB
umieszczono losowo dwa punkty,
jest bli»ej do
M
ni» do
L
i
M.
Oblicz prawdopodobie«stwo, »e
A.
24. Dwie osoby umówiªy si¦ w restauracji mi¦dzy 18:00 a 18:30. Jakie jest prawdopodobie«stwo,
»e nie b¦d¡ na siebie czeka¢ dªu»ej ni» kwadrans?
3
25. Liczby rzeczywiste
xiy
wybieramy losowo z przedziaªu
a) prawdopodobie«stwo, »e
[0, 4].
Oblicz
2
x ¬ y ¬ 2,
b) prawdopodobie«stwo, »e ich iloczyn nie przekracza 1.
x2 + 2ax + b = 0
prostok¡ta, −k ¬ a ¬ k ,
26. Wyznaczy¢ prawdopodobie«stwo, »e pierwiastki równania kwadratowego
s¡ rzeczywiste, je±li wspóªczynniki równania wybrano losowo z
−l ¬ b ¬ l.
27. Na pªaszczy¹nie
w pªaszczy¹nie
π
znajduje si¦ koªo o promieniu
R.
W odlegªo±ci
l > R
od ±rodka koªa,
π , umieszczono odcinek dªugo±ci 2h, którego symetralna przechodzi przez ±rodek
koªa. Z losowego punktu okr¦gu wylatuje po stycznej cz¡stka. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e
trafi ona w odcinek.
28. Niech
Ω
b¦dzie dowolnym niepustym zbiorem. Czy rodzina
n
F = A ⊂ Ω : card A ¬ ℵ0
lub
card(Ω \ A) ¬ ℵ0
o
σ -ciaªem podzbiorów zbioru Ω?
Niech Ω = R i niech F = B(R). Udowodnij, »e nast¦puj¡ce zbiory nale»¡ do F : [2; 5], (3; ∞),
{0}, (1; 2] ∪ [3; 4).
Zaªó»my, »e F jest σ -ciaªem zbiorów. Wyka», »e dla wszystkich A, B ∈ F zachodzi A ∩ B ∈ F .
jest
29.
30.
31. Oceniamy szanse studenta na egzaminach z analizy i logiki. Na podstawie danych statystycznych przyjmujemy, »e szansa na zdanie analizy wynosi
a obydwu przedmiotów
0,5.
0,8,
co najmniej jednego egzaminu
0,9,
Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e losowo wybrany student
a) zda logik¦?
b) zda tylko jeden egzamin?
c) nie zda »adnego egzaminu?
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
32.
n
zawodników startuje w turnieju rozgrywanym systemem pucharowym. W ka»dej rundzie
gracze s¡ kojarzeni w pary losowo, a w ka»dym spotkaniu zawodnicy maj¡ równe same szanse
wygranej (remisy nie s¡ mo»liwe). W turnieju startuje para bli¹niaków. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e spotkaj¡ si¦ w finale?
P (A ∩ B 0 ), P (A0 ∩ B 0 ), P ((A ∪ B) \ (A ∩ B))
P (A ∪ B) = r.
Dane s¡ liczby a, b, c, p i q . Zaªó»my, »e
33. Oblicz
34.
wiedz¡c, »e
P (A) = p, P (B) = q ,
P (A) = a, P (B) = b, P (C) = c, P (A ∪ B) = P (B ∪ C) = P (C ∪ A) = p, P (A ∩ B ∩ C) = r.
Oblicz:
D: zaszªo przynajmniej jedno ze zdarze« A, B , C ,
b) prawdopodobie«stwo zdarzenia E : zaszªo dokªadnie jedno ze zdarze« A, B , C ,
c) prawdopodobie«stwo zdarzenia F : zaszªy dokªadnie dwa ze zdarze« A, B , C .
Niech P (A) = 3/4 i P (B) = 1/3. Poka», »e 1/12 ¬ P (A ∩ B) ¬ 1/3 i podaj przykªady, gdy te
oszacowania s¡ osi¡gni¦te. Oszacuj podobnie P (A ∪ B).
Niech A ∪ B ∪ C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (A ∩ B) = P (A ∩ C) = P (B ∩ C).
Poka», »e 1/6 ¬ P (A) ¬ 1/4 i »e oba ograniczenia s¡ optymalne.
a) prawdopodobie«stwo zdarzenia
35.
36.
37. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e bryd»ysta ma asa pik, je»eli wiadomo, »e ma co najmniej
jednego asa.
4
38. Losujemy 3 razy bez zwracania kulk¦ z kapelusza z 10 kulkami biaªymi i 6 czarnymi. Jakie jest
prawdopodobie«stwo, »e wszystkie wylosowane kule b¦d¡ czarne?
39. Gracz dostaª kolejno 13 kart (z 52), obejrzaª 8 pierwszych i stwierdziª, »e nie ma w±ród nich
asa. Jaka jest szansa, »e dostaª asa?
40. Losujemy jedn¡ kart¦ z 52. Zbadaj zale»no±¢ zdarze«:
41.
42.
43.
• A: wyci¡gni¦to figur¦ (figury to as, król, dama i walet),
• B : wyci¡gni¦to asa trefl lub dwójk¦ karo,
• C : wyci¡gni¦to asa trefl lub waleta karo.
Czy zdarzenia A ∪ B i C s¡ niezale»ne, je»eli
a) zdarzenia A, B i C s¡ niezale»ne?
b) zdarzenia A, B i C s¡ parami niezale»ne, ale nie s¡ niezale»ne?
Wiadomo, »e P (A) = 0,9 i P (B) = 0,8. Wykaza¢, »e P (A|B) ­ 0,875.
Wykaza¢, »e je»eli P (B) > 0, to
P (A|B) ­ 1 −
44. Wykaza¢, »e je»eli zdarzenia
A⊂B
P (A0 )
.
P (B)
P (A) = 0
s¡ niezale»ne, to
lub
P (B) = 1.
45. Wykaza¢, »e z równo±ci
P (A|B) = P (A|B 0 )
A i B.
A, B i C s¡
wynika niezale»no±¢ zdarze«
46. Zaªó»my, »e zdarzenia
P (A ∩ B ∩ C) = 0.
P (A) = P (B) = P (C) = p
parametru p.
parami niezale»ne,
Wyznaczy¢ maksymaln¡ warto±¢
oraz
47. Spo±ród m¦»czyzn 5%, a spo±ród kobiet 0,25% jest daltonistami. Wybrana losowo osoba okazaªa
si¦ daltonist¡ (zakªadamy, »e szanse trafienia na m¦»czyzn¦ i na kobiet¦ s¡ takie same). Oblicz
prawdopodobie«stwo, »e jest to m¦»czyzna.
48. W pierwszym kapeluszu jest 5 kul biaªych i 4 czarne, w drugim 2 biaªe i 8 czarnych. Dziecko losuje 2 kule (kolejno±¢ nie jest istotna) z pierwszego kapelusza i wrzuca je do drugiego,
a nast¦pnie losuje kul¦ z drugiego kapelusza.
a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e w drugim losowaniu wyci¡gnie czarn¡ kul¦?
b) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e obie przeªo»one w pierwszym etapie kule byªy biaªe,
je»eli wyci¡gni¦ta w drugim losowaniu kula jest biaªa?
49. Test na pewn¡ chorob¦, na któr¡ cierpi ±rednio 1 osoba na 1000, daje zawsze odpowied¹
dodatni¡ u chorego, a tzw. faªszyw¡ odpowied¹ dodatni¡ u 5% zdrowych.
a) Jaka jest szansa, »e osoba, u której test daª odpowied¹ pozytywn¡, jest chora? Zakªadamy,
»e osoba byªa wybrana do bada« losowo.
b) Jaka jest szansa, »e osoba, u której dwa kolejne testy daªy odpowied¹ pozytywn¡, jest
chora?
50. Przeprowadzono seri¦
n
do±wiadcze« wedªug schematu Bernoullego z prawdopodobie«stwem
sukcesu w ka»dym do±wiadczeniu równym
a) prawdopodobie«stwo zdarzenia
p.
Oblicz:
A
polegaj¡cego na tym, »e przynajmniej jedna z prób za-
B
polegaj¡cego na tym, »e dokªadnie
ko«czyªa si¦ sukcesem,
b) prawdopodobie«stwo zdarzenia
zako«czyªo si¦ sukcesem,
k
prób (0
¬ k ¬ n)
5
c) prawdopodobie«stwo zdarzenia
C
polegaj¡cego na tym, »e pierwsze dwie próby zako«czyªy
si¦ sukcesem,
D polegaj¡cego na tym, »e pierwsze dwie próby zako«czyªy
si¦ sukcesem, natomiast w sumie dokªadnie k prób (2 ¬ k ¬ n) zako«czyªo si¦ sukcesem,
prawdopodobie«stwo, »e dokªadnie k prób (2 ¬ k ¬ n) zako«czyªo si¦ sukcesem, je»eli
d) prawdopodobie«stwo zdarzenia
e)
wiadomo, i» pierwsze dwie próby zako«czyªy si¦ sukcesem.
51. Przeprowadzono seri¦
n
do±wiadcze« wedªug schematu Bernoullego z prawdopodobie«stwem
p. Udowodnij,
1 + (1 − 2p)n /2.
sukcesu w ka»dym do±wiadczeniu równym
parzystej liczby sukcesów jest równe
»e prawdopodobie«stwo uzyskania
52. Prawdopodobie«stwo powstania »ycia na losowo wybranej planecie wynosi
1
0,001 %. Stosuj¡c
twierdzenie Poissona oszacuj prawdopodobie«stwo, »e badaj¡c 1 000 000 planet znajdziemy
»ycie na
a) 3,
b) 4
spo±ród nich. Oszacuj bª¡d powy»szego przybli»enia i wyznacz przedziaªy, do których na pewno
nale»¡ dokªadne warto±ci.
53. Wadliwo±¢ partii detali wynosi
0,02.
Stosuj¡c twierdzenie Poissona oszacuj prawdopodobie«-
stwo, »e w pudeªku zawieraj¡cym 100 detali
a) nie b¦dzie detalu wadliwego,
b) b¦d¡ co najwy»ej dwa detale wadliwe.
Podaj oszacowanie wielko±ci popeªnionego bª¦du i wyznacz przedziaªy, do których na pewno
nale»¡ dokªadne warto±ci.
54. Stosuj¡c twierdzenie Poissona oszacuj prawdopodobie«stwo, »e w 50 rzutach dwiema kostkami
do gry otrzymamy niski dublet (para
a) 3,
hi, ii,
gdzie
i ¬ 2)
dokªadnie
b) 4
razy. Oszacuj bª¡d powy»szego przybli»enia i wyznacz przedziaªy, do których na pewno nale»¡
dokªadne warto±ci.
55. Czesio i Angelika rzucaj¡ na zmian¦ kostk¡, Czesio zaczyna. Wygrywa ten, kto pierwszy wyrzuci
szóstk¦. Oblicz prawdopodobie«stwo wygranej Czesia.
56. Student ma do zaliczenia przedmioty A i R. Szansa zaliczenia przedmiotu A (przy ka»dej próbie) wynosi
p, natomiast prawdopodobie«stwo zaliczenia przedmiotu R wynosi s. Aby zaliczy¢
przedmiot R, student musi najpierw zaliczy¢ przedmiot A. Wiadomo, »e po pi¦tnastu próbach
zaliczenia student nie zaliczyª jeszcze przedmiotu R. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e nie
zaliczyª jeszcze przedmiotu A?
57. Kawaªek drutu o dªugo±ci 40 cm zgi¦to pod k¡tem prostym w losowo wybranym punkcie,
a nast¦pnie zgi¦to drut w dwóch innych punktach w taki sposób, aby powstaªa prostok¡tna
ramka. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego, »e:
2
a) pole obszaru ograniczonego ramk¡ jest niemniejsze ni» 84 cm ,
b) ró»nica mi¦dzy dªu»szym i krótszym bokiem ramki jest mniejsza ni» 6 cm,
2
c) pole obszaru ograniczonego ramk¡ jest niemniejsze ni» 84 cm , je±li wiadomo, »e ró»nica
mi¦dzy dªu»szym i krótszym bokiem ramki jest mniejsza ni» 6 cm.
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
1Dane
fikcyjne.
6
58. Wiadomo, »e 90 % elementów produkcji masowej speªnia »¡dane wymagania techniczne. Przeprowadzono dodatkow¡ kontrol¦, przy której mogªy by¢ popeªnione pewne bª¦dy, a mianowicie:
element wadliwy mógª zosta¢ sklasyfikowany jako dobry z prawdopodobie«stwem
ment dobry mógª zosta¢ sklasyfikowany jako wadliwy z prawdopodobie«stwem
5 %,
a ele-
1 %.
a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e losowo wybrany element zostanie sklasyfikowany jeko
dobry?
b) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wybrany element jest dobry, je±li zostaª sklasyfikowany
jako dobry?
59. W partii 100 tranzystorów jest 5 sztuk wadliwych. Losujemy cztery sztuki. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego, »e:
a) co najwy»ej dwa wybrane tranzystor s¡ wadliwe,
b) przynajmniej dwa wybrane tranzystor s¡ wadliwe.
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
60. Wybieramy losowo punkt z kwadratu okre±lonego przez zale»no±ci
|x| ¬ 2 i |y| ¬ 2.
Obliczy¢
prawdopodobie«stwo tego, »e:
0 ¬ x ¬ y ¬ 2,
punkt ten nie nale»y do pasa okre±lonego przez zale»no±ci −2 ¬ y ¬ 1,
punkt ten nie nale»y do trójk¡ta okre±lonego przez zale»no±vi 0 ¬ x ¬ y ¬ 2,
wiadomo, »e nie nale»y do pasa okre±lonego przez zale»no±ci −2 ¬ y ¬ 1.
a) punkt ten nie nale»y do trójk¡ta okre±lonego przez zale»no±ci
b)
c)
je»eli
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
61. W magazynie s¡ »akiety z trzech zakªadów krawieckich,
z zakªadu
A1
pochodzi 50 % »akietów, z
Wiadomo tak»e, »e zakªad
A1
»akietów I gatunku, a zakªad
A2
A1 , A2
i
A3 ,
przy czym wiadomo, »e
pochodzi 30 % »akietów, a reszta z zakªadu
produkuje 80 % »akietów I gatunku, zakªad
A3
A2
A3 .
produkuje 70 %
produkuje 60 % »akietów I gatunku. Z magazynu wybrano
losowo jeden »akiet.
a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wybrany »akiet jest I gatunku?
b) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wybrany »akiet zostaª wyprodukowany w zakªadzie
A1 ,
je±li jest I gatunku?
62. Wykaza¢, »e w ka»dej przestrzeni probabilistycznej
Je±li zdarzenia
A i B∪C
AiB
s¡ niezale»ne, zdarzenia
AiC
hΩ, F, P i
prawdziwa jest teza:
s¡ niezale»ne oraz
B ∩ C = ∅,
to zdarzenia
s¡ niezale»ne.
63. Wiadomo, »e 1 % populacji cierpi na chorob¦
X . Badacz posiada test wykrywaj¡cy t¦ chorob¦,
która czasem daje bª¦dne wskazania, a mianowicie: osoba chora mo»e zosta¢ sklasyfikowana
jako zdrowa z prawdopodobie«stwem
chora z prawdopodobie«stwem
0,05,
a osoba zdrowa mo»e zosta¢ sklasyfikowana jako
0,02.
a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e losowo wybrana osoba zostanie sklasyfikowana jako
chora?
b) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wybrana losowo osoba jest chora, je±li zostaªa sklasyfikowana jako chora?
64. Mamy trzy urny. W pierwszej z nich s¡ 4 kule biaªe i 5 kul czarnych, w drugiej 5 kul biaªych
i jedna kula czarna, a w trzeciej tylko jedna kula czarna. Rzucamy symetryczn¡ kostk¡ do gry.
Je±li wypadnie liczba parzysta, losujemy z pierwszej urny, je±li wypadnie pi¡tka, to losujemy
z drugiej urny, w pozostaªych przypadkach losujemy z trzeciej urny.
7
a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wylosowana kula biaªa?
b) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wylosowana kula pochodzi z drugiej urny, je±li jest
biaªa?
P (B) = 2P (A) i P (C) = 3P (A) oraz P (B ∩ C) = P (A ∩ B). Wykaza¢, »e st¡d
P (A) ¬ 1/4, b¡d¹ pokaza¢ na przykªadzie, »e ta nierówno±¢ nie musi zachodzi¢.
65. Zakªadamy, »e
wynika, i»
66. Pewna matka ma 4 dzieci. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e
a) matka ma co najwy»ej dwie córki,
b) matka ma przynajmniej dwie córki.
(Zakªadamy, »e: pªe¢ kolejnych dzieci jest zdarzeniem losowym, niezale»nym od pªci poprzednich dzieci; prawdopodobie«stwo urodzenia dziewczynki wynosi 51 %). Czy powy»sze zdarzenia
s¡ niezale»ne?
67. W urnie znajduje si¦ 300 kul biaªych i 200 kul czarnych. Losujemy bez zwracania trzy kule.
Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego, »e:
a) dokªadnie jedna kula jest czarna,
b) przynajmniej jedna kula jest czarna.
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
68. Kawaªek drutu o dªugo±ci 20 cm zgi¦to pod k¡tem prostym w losowo wybranym punkcie,
a nast¦pnie zgi¦to drut w dwóch innych punktach w taki sposób, aby powstaªa deltoidalna
ramka (ksztaªt latawca). Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego, »e:
2
a) pole obszaru ograniczonego ramk¡ jest niemniejsze ni» 20 cm ,
b) ró»nica mi¦dzy dªu»szym i krótszym bokiem ramki jest mniejsza ni» 5 cm,
2
c) pole obszaru ograniczonego ramk¡ jest niemniejsze ni» 20 cm , je±li wiadomo, »e ró»nica
mi¦dzy dªu»szym i krótszym bokiem ramki jest mniejsza ni» 5 cm.
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
69. Na przeno±nik ta±mowy trafiaj¡ jednakowe produkty wytwarzane przez dwa automaty. Stosunek ilo±ciowy produkcji pierwszego automatu do produkcji drugiego wynosi
3 : 2.
Pierwszy
automat wytwarza ±rednio 60 % produktów pierwszej jako±ci, a drugi 80 %.
a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e losowo wybrany produkt jest pierwszej jako±ci?
b) Wylosowany produkt okazaª si¦ by¢ pierwszej jako±ci. Mógª on zosta¢ wyprodukowany
przez ka»dy z automatów, pierwszy lub drugi. Która z tych mo»liwo±ci jest bardziej prawdopodobna?
70. Poda¢ definicj¦ prawdopodobie«stwa warunkowego. Korzystaj¡c z tej definicji wykaza¢, »e
w ka»dej przestrzeni probabilistycznej
∀
A,B,Z∈F
hΩ, F, P i
prawdziwa jest teza:
P (Z) > 0 ⇒ P (A|Z) ­ P (A ∩ B|Z) .
71. Spo±ród klocków z cyframi od
1 do 9 wylosowano kolejno bez zwracania trzy i uªo»ono je obok
siebie, tworz¡c pewn¡ liczb¦ trzycyfrow¡. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego, »e:
a) utworzona liczba jest wi¦ksza ni» 400,
b) utworzona liczba jest mniejsza ni» 600,
c) iloczyn wylosowanych cyfr jest wi¦kszy ni» 300.
Czy powy»sze zdarzenia s¡
a) parami niezale»ne?
b) niezale»ne?
8
72. Losujemy kolejno z przedziaªu
[−1, 1]
trzy punkty,
x, y
i
z.
Wyznaczy¢ prawdopodobie«stwo
tego, »e
a)
b)
c)
x < y,
x + z < y,
x < y , je±li
wiadomo, »e
x + z < y.
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
C s¡ po dwie szuady. W ka»dej szuadzie znajduje si¦ jedna moneta,
z tym, »e w komodzie A s¡ to monety zªote, w komodzie C monety srebrne, a w komodzie B
73. W komodach
A, B
i
jedna moneta zªota i jedna moneta srebrna. Wybieramy losowo najpierw komod¦, a nast¦pnie
szuad¦ i wyjmujemy monet¦.
a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wyjmiemy srebrn¡ monet¦?
b) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e w drugiej szuadzie wybranej komody jest srebrna
moneta, je±li wyj¦ta moneta jest srebrna?
74. Wykaza¢, »e w ka»dej przestrzeni probabilistycznej
∀
hΩ, F, P i
prawdziwa jest teza:
P (A) + P (Z) − 1
P (A)
P (Z) > 0 ⇒
¬ P (A|Z) ¬
.
P (Z)
P (Z)
A,Z∈F
75. Mamy dwie grupy kierowców: ostro»nych (jest ich 95 %, kierowca z tej grupy powoduje wypadek w ci¡gu roku z prawdopodobie«stwem 0,01) i niedbaªych (powoduj¡ oni wypadek w ci¡gu
roku z prawdopodobie«stwem 1/2). Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e losowo wybrany kierowca, który przez dwa kolejne lata nie spowodowaª wypadku, nie b¦dzie miaª wypadku tak»e
w trzecim kolejnym roku?
76. Rzucamy dwukrotnie niesymetryczn¡ kostk¡, na której szóstka wypada z prawdopodobie«stwem
a,
a pozostaªe pi¦¢ wyników jest jednakowo prawdopodobnych. Wyznaczy¢ prawdopo-
dobie«stwo tego, »e
a) co najwy»ej raz wypadnie pi¡tka,
b) przynajmniej raz wypadnie pi¡tka,.
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
77. Kawaªek drutu o dªugo±ci 20 cm zgi¦to w losowo wybranym punkcie, a nast¦pnie zgi¦to drut
w jeszcze jednym punkcie w taki sposób, aby powstaªa ramka o ksztaªcie trójk¡ta równoramiennego, przy czym obydwa ko«ce drutu s¡ w wierzchoªku tej ramki. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego, »e:
2
a) pole obszaru ograniczonego ramk¡ jest niemniejsze ni» 20 cm ,
b) ró»nica mi¦dzy dªugo±ci¡ ramienia i podstawy ramki jest mniejsza ni» 5 cm,
2
c) pole obszaru ograniczonego ramk¡ jest niemniejsze ni» 20 cm , je±li wiadomo, »e ró»nica
mi¦dzy dªugo±ci¡ ramienia i podstawy ramki jest mniejsza ni» 5 cm.
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
78. W±ród sze±ciu monet pi¦¢ jest prawidªowych, a szósta ma po obydwu stronach orªa. Wybieramy
losowo monet¦ i rzucamy ni¡ pi¦¢ razy.
a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e pi¦¢ razy wypadª orzeª?
b) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wybrana moneta jest wadliwa, je±li pi¦¢ razy wypadª
orzeª?
79. Poda¢ definicj¦ ukªadu zupeªnego zdarze«. Korzystaj¡c z tej definicji udowodni¢ wzór na prawdopodobie«stwo caªkowite.
9
80. Trzy p¡czki rozdzielamy losowo mi¦dzy trzy osoby. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego, »e:
a) ka»da osoba dostanie przynajmniej jednego p¡czka,
b) pierwsza osoba dostanie przynajmniej jednego p¡czka,
c) trzecia osoba dostanie przynajmniej jednego p¡czka.
Czy powy»sze zdarzenia s¡
a) parami niezale»ne?
b) niezale»ne?
81. Odcinek o dªugo±ci 10 cm dzielimy losowo na trzy cz¦±ci. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego,
»e:
a) z powy»szych cz¦±ci mo»na zbudowa¢ trójk¡t,
b) przynajmniej jedna z cz¦±ci ma dªugo±¢ wi¦ksz¡ ni» 2 cm,
c) z powy»szych cz¦±ci mo»na zbudowa¢ trójk¡t, je»eli wiadomo, »e przynajmniej jedna z cz¦±ci ma dªugo±¢ wi¦ksz¡ ni» 2 cm.
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
82. Wiadomo, »e 5 % studentów (grupa A) umie odpowiedzie¢ na wszystkie pytania egzaminacyjne,
30 % (grupa B) umie odpowiedzie¢ na 70 % pyta«, a pozostali tylko na 50 % pyta«.
a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e losowo wybrany student odpowie na zadane pytanie?
b) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e losowo wybrany student nale»y do grupy B, je±li odpowiedziaª na zadane pytanie?
83. Wykaza¢, »e w ka»dej przestrzeni probabilistycznej
Je±li zdarzenia
AiZ
s¡ niezale»ne,
prawdziwa jest teza:
P (C) > 0, A ∩ Z ⊂ C ⊂ A ∪ Z ,
to
P (A|C) ­ P (A).
A∩B ∩C = ∅ oraz P (A) = P (B) = P (C) = p.
Wyznaczy¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ mo»liw¡ warto±¢ p.
W pewnej loterii sprzedano 1000 losów, spo±ród których 200 wygrywa. Osoba A kupiªa trzy
84. Zakªadamy, »e zdarzenia
85.
hΩ, F, P i
A, B i C
s¡ niezale»ne,
losy. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego, »e:
a) osoba
A
ma dokªadnie dwa losy wygrywaj¡ce,
b) przynajmniej jeden los kupiony przez osob¦
A
wygrywa.
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
86. Poda¢ aksjomatyczn¡ definicj¦ prawdopodobie«stwa. Korzystaj¡c z tej definicji wykaza¢, »e
w ka»dej przestrzeni probabilistycznej
∀
hΩ, F, P i
prawdziwa jest teza:
P (A) ­ P (A ∩ B).
A,B∈F
87. Z przedziaªów
b = 0.
√
0 < a < 2 i −2 < b < 1 wybieramy losowo wspóªczynniki równania x2 + 2 ax +
Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego, »e:
a) równanie to posiada cho¢ jeden pierwiastek rzeczywisty dodatni,
b) równanie to posiada pierwiastki rzeczywiste,
c) równanie to posiada cho¢ jeden pierwiastek rzeczywisty dodatni, je±li wiadomo, »e posiada
pierwiastki rzeczywiste.
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
88. Zaªó»my, »e dla pewnych zdarze«
i
P (B|D) > P (B).
A, B, D ∈ F
Wykaza¢, »e st¡d wynika, i»
s¡ speªnione nierówno±ci
P (A|D) > P (A)
P (A ∩ B|D) ­ P (A ∩ B),
b¡d¹ pokaza¢ na
przykªadzie, »e ta nierówno±¢ nie musi zachodzi¢.
10
89. W pewnej loterii wygrywa co pi¡ty los. Osoba
A kupiªa trzy losy. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo
tego, »e:
a) osoba
A
ma dokªadnie jeden los wygrywaj¡cy,
b) przynajmniej jeden los kupiony przez osob¦
A
wygrywa.
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
90. Poda¢ definicj¦
σ -ciaªa
zbiorów. Korzystaj¡c z tej definicji wykaza¢, »e w ka»dym
σ -ciele F
prawdziwa jest teza:
∀
A,B∈F
A \ B ∈ F.
91. Rzucamy pi¦¢ razy kostk¡. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego, »e:
a) przynajmniej jeden raz wypadnie liczba parzysta,
3,
b) przynajmniej jeden raz wypadnie liczba podzielna przez
c) dokªadnie raz wypadnie szóstka.
Czy powy»sze zdarzenia s¡
a) parami niezale»ne?
b) niezale»ne?
92. Z przedziaªu
[0, 10]
wybieramy losowo dwa punkty,
x i y.
Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego,
»e:
x i y nale»y do przedziaªu [0, 3],
odlegªo±¢ mi¦dzy punktami x i 0 jest mniejsza ni» odlegªo±¢ mi¦dzy punktami y i 5,
±rodek przedziaªu o ko«cach x i y nale»y do przedziaªu [0, 3], je±li wiadomo, »e odlegªo±¢
mi¦dzy punktami x i 0 jest mniejsza ni» odlegªo±¢ mi¦dzy punktami y i 5.
a) ±rodek przedziaªu o ko«cach
b)
c)
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
93. Wykaza¢, »e w ka»dej przestrzeni probabilistycznej
{A, B, C} jest rodzin¡ zdarze«
A i B 0 ∩ C 0 nie s¡ niezale»ne.
Je±li zdarzenia
to zdarzenia
hΩ, F, P i
prawdziwa jest teza:
parami niezale»nych, ale nie niezale»nych,
94. Odcinek o dªugo±ci 10 cm dzielimy losowo na trzy cz¦±ci. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego,
»e:
a) z powy»szych cz¦±ci mo»na zbudowa¢ trójk¡t,
b) przynajmniej jedna z cz¦±ci ma dªugo±¢ wi¦ksz¡ ni» 2 cm,
c) z powy»szych cz¦±ci mo»na zbudowa¢ trójk¡t, je»eli wiadomo, »e przynajmniej jedna z cz¦±ci ma dªugo±¢ wi¦ksz¡ ni» 2 cm.
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
95. Przyrz¡d mo»e si¦ skªada¢ z dwóch rodzajów elementów: wysokiej jako±ci albo ±redniej jako±ci.
Okoªo 30 % przyrz¡dów skªada si¦ z elementów wysokiej jako±ci. Je±li przyrz¡d skªada si¦
z elementów wysokiej jako±ci, to jego niezawodno±¢ w czasie
±redniej jako±ci, to
t
wynosi
0,95,
a je±li z elementów
0,8.
a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wybrany przyrz¡d dziaªaª poprawnie w czasie
t?
b) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wybrany przyrz¡d skªadaª si¦ z elementów wysokiej
jako±ci, je»eli dziaªaª poprawnie w czasie
t?
96. Poda¢ aksjomatyczn¡ definicj¦ prawdopodobie«stwa. Korzystaj¡c z tej definicji wykaza¢, »e
w ka»dej przestrzeni probabilistycznej
∀
A,B∈F
hΩ, F, P i
prawdziwa jest teza:
P (A ∪ B) + P (A ∩ B) = P (A) + P (B).
11
97. Poda¢ definicj¦
σ -ciaªa
zbiorów. Korzystaj¡c z tej definicji wykaza¢, »e w ka»dym
σ -ciele F
prawdziwa jest teza:
∀
A,B∈F
98. W kwadrat o boku
5.
10
A ∩ B ∈ F.
wpisano koªo, a nast¦pnie narysowano wspóª±rodkowe koªo o ±rednicy
Wybieramy losowo punkt z kwadratu. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e:
a) wybierzemy punkt nale»¡cy do wi¦kszego koªa,
b) wybierzemy punkt nienale»¡cy do mniejszego koªa,
c) wybierzemy punkt nale»¡cy do wi¦kszego koªa, je±li wiadomo, »e wybrano punkt nienale»¡cy do mniejszego koªa.
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
99. Rzucamy kostk¡ i je»eli wypadnie przynajmniej 5 oczek, to losujemy liczb¦ caªkowit¡ z przedziaªu
[1; 5],
a w przeciwnym przypadku liczb¦ caªkowit¡ z przedziaªu
a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wylosujemy liczb¦
[3; 6].
5?
b) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wyrzucili±my przynajmniej 5 oczek, je±li wylosowali±my
liczb¦
5?
100. Rzucono 3 kostki. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e przynajmniej na jednej kostce wypadnie
jedynka, je»eli na ka»dej kostce wypadªa inna liczba oczek?
101. W prawej kieszeni znajduj¡ si¦ 3 monety po 2 zª i 2 monety po 1 zª, a w lewej kieszeni 6 monet
po 2 zª i 2 monety po 1 zª. Z prawej kieszeni do lewej przeªo»ono losowo jedn¡ monet¦. Obliczy¢
prawdopodobie«stwo wyci¡gni¦cia z lewej kieszeni po tym przeªo»eniu monety o warto±ci 1 zª.
Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e z prawej kieszeni wyci¡gni¦to monet¦ o warto±ci 1 zª, je»eli
z lewej kieszeni wyci¡gni¦to monet¦ o warto±ci 1 zª?
102. Z talii 32 kart wyci¡gni¦to kolejno 5 kart. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wyci¡gni¦to
dokªadnie jednego asa, je»eli w±ród pierwszych dwóch kart byª dokªadnie jeden as?
103. Z talii 32 kart wyci¡gni¦to kolejno 5 kart. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wyci¡gni¦to
dokªadnie dwa asy, je»eli w±ród pierwszych dwóch kart byª dokªadnie jeden as?
104. Korzystaj¡c ze wzoru na prawdopodobie«stwo caªkowite udowodnij wzór Bayesa.
105. Jest dziesi¦¢ jednakowych urn. Dziewi¦¢ spo±ród nich zawiera po 2 kule biaªe i 2 kule czarne,
a jedna urna zwiera 5 kul biaªych i 1 kul¦ czarn¡. Z losowo wybranej urny wylosowano jedn¡
kul¦.
a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wylosowano kul¦ biaª¡?
b) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e losowania dokonano z urny, w której jest 5 kul biaªych,
je±li wylosowano kul¦ biaª¡?
106. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego, »e pi¦ciocyfrowy numer pierwszego napotkanego samochodu
a) nie zawiera cyfry 5?
b) nie zawiera dwóch cyfr 5?
107. Oblicz prawdopodobie«stwo tego, »e losowo wybrany punkt kwadratu
wewn¡trz koªa
|x| + |y| ¬
√
2
le»y
x2 + y 2 ¬ 1.
108. Losujemy jedn¡ kart¦ z talii 52 kart. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e jest to siódemka, je±li
wiadomo, »e wyci¡gni¦ta karta nie jest gur¡ ani asem.
109. W partii 200 lamp elektronowych jest 8 sztuk wadliwych. Losujemy trzy sztuki. Obliczy¢
prawdopodobie«stwo tego, »e:
12
a) wszystkie wybrane lampy s¡ wadliwe,
b) przynajmniej jedna wybrana lampa nie jest wadliwa.
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
110. Wybieramy losowo punkt z kwadratu okre±lonego przez zale»no±ci
|x| ¬ 2 i |y| ¬ 2.
Obliczy¢
prawdopodobie«stwo tego, »e:
x2 + y 2 ¬ 4,
√
punkt ten nie nale»y do pasa okre±lonego przez zale»no±¢ |y| ¬
2,
2
2
punkt ten nie nale»y do koªa okre±lonego przez zale»no±¢ x + y ¬ 4,
√
nie nale»y do pasa okre±lonego przez zale»no±¢ |y| ¬
2.
a) punkt ten nie nale»y do koªa okre±lonego przez zale»no±¢
b)
c)
je»eli wiadomo, »e
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
111. Sze±cian wykonany z jasnego drewna pomalowano na czarno i poci¦to pªaszczyznami równolegªymi do ±cian tego sze±cianu na 64 mniejsze sze±ciany. Spo±ród tych sze±cianików wybrano
losowo jeden. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego, »e:
a) wybrany sze±cianik ma wszystkie ±ciany jasne,
b) wybrany sze±cianik ma dwie ±ciany czarne,
c) wybrany sze±cianik ma przynajmniej jedn¡ ±cian¦ czarn¡.
Czy powy»sze zdarzenia s¡
a) parami niezale»ne?
b) niezale»ne?
112. Fabryka wyrabia ±ruby na trzech maszynach,
A1 , A2
i
A3 ,
których produkcja wynosi odpo-
wiednio 25 %, 35 % i 40 % caªej produkcji. Maszyny daj¡ odpowiednio 5 %, 4 % i 2 % braków.
Wybieramy ±rub¦ w sposób losowy.
a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wybrana ±ruba jest brakiem?
b) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wybrana ±ruba zostaªa wyprodukowana na maszynie
A1 ,
je±li jest brakiem?
113. Wykaza¢, »e w ka»dej przestrzeni probabilistycznej
AiB
Je±li zdarzenia
114. Na odcinku
a) z
b) z
c) z
L
L
L
AB
s¡ niezale»ne, to zdarzenia
A0 i B 0
umieszczono losowo dwa punkty
jest bli»ej do
jest bli»ej do
jest bli»ej do
M ni» do A,
B ni» do A,
M ni» do A je»eli
hΩ, F, P i
tak»e s¡ niezale»ne.
L i M.
wiadomo, »e z
prawdziwa jest teza:
L
Oblicz prawdopodobie«stwo, »e:
jest bli»ej do
B
ni» do
A.
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
A ∪ B i C s¡ niezale»ne, je»eli
A, B i C s¡ niezale»ne?
A, B i C s¡ parami niezale»ne?
115. Czy zdarzenia
a) zdarzenia
b) zdarzenia
(An ) b¦dzie
niesko«czonym ci¡giem zdarze« takim, »e P (An ) = 1 dla ka»dego n.
T
∞
wodnij, »e P
A
n=1 n = 1.
Z kwadratu [2; 4] × [1; 3] wybrano losowo punkt hx; yi. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e:
a) odlegªo±¢ wybranego punktu od dolnej kraw¦dzi kwadratu jest mniejsza ni» |x − y|,
116. Niech
117.
Udo-
b) wybrany punkt jest poªo»ony bli»ej dolnej kraw¦dzi kwadratu ni» lewej kraw¦dzi kwadratu,
13
c) odlegªo±¢ wybranego punktu od dolnej kraw¦dzi kwadratu jest mniejsza ni»
|x − y|
pod
warunkiem, »e wybrany punkt jest poªo»ony bli»ej dolnej kraw¦dzi kwadratu ni» lewej
kraw¦dzi kwadratu.
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
118. Spo±ród me»czyzn 5%, a spo±ród kobiet 0,25% jest daltonistami.
a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e osoba wybrana losowo z grupy, w której byªo 20 razy
wi¦cej kobiet ni» m¦»czyzn oka»e si¦ daltonist¡?
b) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e losowo wybrana z powy»szej grupy osoba, która okazaªa
si¦ daltonist¡, jest m¦»czyzn¡?
119. Zaªó»my, »e zdarzenia
A1 , . . . , An
s¡ pewne. Czy zdarzenie
A1 ∩· · ·∩An
tak»e musi by¢ pewne?
Odpowied¹ uzasadnij.
120. Zaªó»my, »e zdarzenia
A1 , . . . , A n
s¡ niemo»liwe. Czy zdarzenie
A1 ∩ · · · ∩ An
tak»e musi by¢
niemo»liwe? Odpowied¹ uzasadnij.
121. Zaªó»my, »e zdarzenia
A1 , . . . , An
maj¡ prawdopodobie«stwo
tak»e musi mie¢ prawdopodobie«stwo równe
1/2?
1/2.
Czy zdarzenie
A1 ∩ · · · ∩ An
Odpowied¹ uzasadnij.
122. Mamy 5 zestawów fili»anka + podstawek: dwa zestawy zielone, dwa zestawy czerwone i jeden
zestaw niebieski. Ustawiamy filizanki losowo na podstawkach. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e
»adna para nie b¦dzie tego samego koloru.
123. Rzucono 3 symetryczne kostki do gry. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego, »e:
a) suma oczek wynosi
6,
b)suma oczek wynosi
17.
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
124. Rzucamy
10 razy dwiema symetrycznymi kostkami do gry. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego,
»e:
2 razy wypadnie dublet (tzn.
najwy»ej 3 razy wypadnie dublet.
a) co najmniej
b) co
wyniki na obu kostkach b¦d¡ takie same),
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
125. Rzucamy kostk¡ i je»eli wypadn¡ najwy»ej 2 oczka, to losujemy liczb¦ caªkowit¡ z przedziaªu
[3; 6],
a w przeciwnym przypadku liczb¦ caªkowit¡ z przedziaªu
a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wylosujemy liczb¦
[1; 5].
5?
b) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wyrzucili±my najwy»ej 2 oczka, je±li wylosowali±my
liczb¦
5?
126. Spo±ród 10 losów 2 wygrywaj¡. Kupiono jednocze±nie 5 losów. Jakie jest prawdopodobie«stwo,
»e w±ród nich znajduje si¦
a) co najmniej jeden los wygrywaj¡cy?
b) co najwy»ej jeden los wygrywaj¡cy?
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
127. Z kwadratu
[1; 3] × [1; 3]
wybrano losowo punkt
hx; yi.
Oblicz prawdopodobie«stwo, »e:
a) suma wspóªrz¦dnych wybranego punktu przekracza
4?
1?
moduª ró»nicy wspóªrz¦dnych wybranego punktu nie przekracza 1 je»eli wiadomo, »e suma
wspóªrz¦dnych wybranego punktu przekracza 4?
b) moduª ró»nicy wspóªrz¦dnych wybranego punktu nie przekracza
c)
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
14
128. Stosuj¡c twierdzenie Poissona oszacuj prawdopodobie«stwo, »e obstawiaj¡c w klasycznej ruletce
2
100 razy pod rz¡d zero wygramy dokªadnie
a) 3,
b) 4
razy. Oszacuj bª¡d powy»szego przybli»enia i wyznacz przedziaªy, do których na pewno nale»¡
dokªadne warto±ci.
129. Korzystaj¡c z definicji prawdopodobie«stwa udowodnij, »e dla dowolnych
A, B ∈ F
zachodzi
równo±¢:
P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B).
A ∪ B ∪ C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A)
P (B ∩ C). Wyka», »e 1/6 ¬ P (A) ¬ 1/4 i »e oba ograniczenia
130. Zaªó»my, »e
oraz
P (A ∩ B) = P (A ∩ C) =
s¡ optymalne.
131. Korzystaj¡c z definicji prawdopodobie«stwa udowodnij dowolnie wybrany aksjomat ci¡gªo±ci.
132. Spo±ród 10 losów 2 wygrywaj¡. Kupiono jednocze±nie 5 losów. Jakie jest prawdopodobie«stwo,
»e w±ród nich znajduje si¦
a) co najmniej jeden los wygrywaj¡cy?
b) co najwy»ej jeden los wygrywaj¡cy?
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
133. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba przegranych w klasycznej ruletce (w której wynik
jest losowo wybran¡ liczb¡ caªkowit¡ z przedziaªu
[0, 36]), je»eli 110 razy pod rz¡d obstawiamy
zero? Podaj wzór na dokªadn¡ warto±¢ tego prawdopodobie«stwa. Oszacuj to prawdopodobie«stwo stosuj¡c twierdzenie Poissona. Wyznacz przedziaªy, do których na pewno nale»y
dokªadna warto±¢.
A b¦dzie cz¦±ci¡ wspóln¡ trójk¡ta równoramiennego o wierzchoªkach h1; 0i, h7; 0i i h4; 4i
i póªpªaszczyzny y ­ a, gdzie a jest losowo wybranym punktem z przedziaªu [0; 4). Obliczy¢
prawdopodobie«stwo, »e pole trójk¡ta A jest mniejsze ni» 1.
Niech A b¦dzie cz¦±ci¡ wspóln¡ trójk¡ta równoramiennego o wierzchoªkach h1; 0i, h7; 0i i h4; 4i
i póªpªaszczyzny y ­ a, gdzie a jest losowo wybranym punktem z przedziaªu [2; 4). Obliczy¢
prawdopodobie«stwo, »e pole trójk¡ta A jest mniejsze ni» 1.
Niech A b¦dzie cz¦±ci¡ wspóln¡ trójk¡ta równoramiennego o wierzchoªkach h1; 0i, h7; 0i i h4; 4i
i póªpªaszczyzny x ­ a, gdzie a jest losowo wybranym punktem z przedziaªu (1; 7). Obliczy¢
prawdopodobie«stwo, »e pole trójk¡ta A jest mniejsze ni» 1.
134. Niech
135.
136.
2W
ruletce wynik jest losowo wybran¡ liczb¡ caªkowit¡ z przedziaªu
[0, 36].
15
1. Z trójk¡ta okre±lonego zale»no±ciami
0 ¬ y ¬ 2x ¬ 6
hx, yi.
wybrano losowo punkt
Jakie jest
prawdopodobie«stwo, »e
a) suma wspóªrz¦dnych wybranego punktu jest mniejsza ni»
b) odci¦ta wybranego punktu jest mniejsza ni»
2?
c) suma wspóªrz¦dnych wybranego punktu jest mniejsza ni»
tu jest mniejsza ni»
3?
3, je»eli odci¦ta wybranego punk-
2?
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
2. Losujemy dwie liczby z przedziaªu
[0, 1].
Obliczy¢:
a) prawdopodobie«stwo, »e suma wylosowanych liczb jest wi¦ksza ni»
1/2,
b) prawdopodobie«stwo, »e mniejsza z wylosowanych liczb jest mniejsza ni»
c) prawdopodobie«stwo, »e suma wylosowanych liczb jest wi¦ksza ni»
wylosowanych liczb jest mniejsza ni»
1/2,
1/3.
je»eli mniejsza z
1/3.
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
3. Mamy dwie urny,
A
i
B.
W urnie
A
s¡ 3 kule czarne i 7 kul biaªych, a w urnie
czarnych i 4 kule biaªe. Wyci¡gamy 9 kul z urny
Nast¦pnie losujemy kul¦ z urny
A
B
6 kul
i wkªadamy je wszystkie do urny
B.
B.
a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wylosowana kula jest biaªa?
b) Wiedz¡c, »e z urny
B
wylosowano kul¦ biaª¡, obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e w urnie
A
pozostaªa kula czarna.
4. W zbiorze 100 monet jedna po obu stronach ma orªy, pozostaªe za± s¡ prawidªowe. W wyniku
10 rzutów losowo wybran¡ monet¡ otrzymali±my 10 orªów. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e
byªa to moneta z orªami po obu stronach.
5. Imi¦ Franek ma w Polsce okoªo 1,6% chªopców. W pewnej szkole uczy si¦ 300 chªopców.
a) Wyznaczy¢ najbardziej prawdopodobn¡ liczb¦ Franków w tej szkole.
b) Wyznaczy¢ prawdopodobie«stwo, »e liczba Franków w tej szkole jest nie wi¦ksza ni»
6. Liczba 2,5 jest dzielona w sposób losowy na dwie nieujemne liczby rzeczywiste
x = 2,03 i y = 0,47
lub na
x = 2,5 −
√
3iy=
√
3.
x
i
y,
3.
np. na
Nast¦pnie ka»da z liczb jest zaokr¡glana
do najbli»szej liczby caªkowitej, np. do 2 i 0 w pierwszym przykªadzie oraz do 1 i 2 w drugim.
Oblicz
a) prawdopodobie«stwo, »e suma tak otrzymanych zaokr¡gle« równa si¦
2,
b) prawdopodobie«stwo, »e ró»nica tak otrzymanych zaokr¡gle« równa si¦
c) prawdopodobie«stwo, »e suma tak otrzymanych zaokr¡gle« równa si¦
otrzymanych zaokr¡gle« jest równa
2,
0,
je»eli ró»nica tak
0.
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
7. ‘rednio 20 m¦»czyzn na 100 i 15 kobiet na 100 ma grup¦ krwi 0. Z grupy osób, w której jest
80 m¦»czyzn i 70 kobiet wylosowano jedn¡ osob¦. Okazaªo si¦, »e ma ona krew grupy 0. Jakie
jest prawdopodobie«stwo, »e jest to kobieta?
8. Test na kart¦ rowerow¡ skªada si¦ z 10 pyta«. Do ka»dego z pyta« s¡ 3 odpowiedzi, przy czym
dokªadnie jedna jest poprawna. Aby zaliczy¢ test, nale»y zaznaczy¢ co najmniej 8 prawidªowych
odpowiedzi. Adam si¦ myli ±rednio w 2 tego typu pytaniach na 10. Oblicz prawdopodobie«stwo,
»e Adam zda ten egzamin.
16
9. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e w paczce igieª dziewiarskich zawieraj¡cej 1000 sztuk znajduj¡
si¦ co najwy»ej 2 igªy wybrakowane, je±li wiadomo, »e przeci¦tna liczba braków wynosi 0,6%.
Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba wybrakowanych igieª?
P(A) = 1/4, P(B) = 3/4, A ∩ B = ∅. Uporz¡dkowa¢ rosn¡co P(A ∪ B), P(A0 ∪ B)
0
i P(A ∪ B ).
0
0
0
Dane s¡ P(A ∩ B ) = 1/2, P(A ) = 2/3, P(A ∩ B) = 1/4. Uporz¡dkowa¢ rosn¡co P(A ∪ B),
P(A0 ∪ B) i P(A ∪ B 0 ).
10. Dane s¡
11.
12. Czterej gracze dostali po 13 kart. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e
a) gracz
b) gracz
c) gracz
N nie posiada pików?
S posiada 8 pików?
N nie posiada pików, je»eli
gracz
S
posiada 8 pików?
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
13. Czterej gracze dostali po 13 kart. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e
S nie posiada »adnego asa?
gracze W , N i S posiada po przynajmniej jednym asie?
gracze W , N i S posiada po przynajmniej jednym asie, je»eli gracz N
a) gracz
b)
c)
nie posiada »adnego
asa?
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
14. Koszykarze ze szkoªy sportowej trafiaj¡ do kosza z prawdopodobie«stwem
rze ze zwykªej szkoªy z prawdopodobie«stwem
p = 0,99, a koszyka-
0
p = 0,8. Z grupy 100 uczniów, w±ród których
byªo 15 koszykarzy ze szkoªy sportowej, wylosowano jednego, który rzuciª kolejno dwa razy do
kosza. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e
a) wylosowany ucze« trafiª do kosza za pierwszym razem?
b) wylosowany ucze« trafiª do kosza za drugim razem?
c) wylosowany ucze« trafiª do kosza za drugim razem, je»eli trafiª do kosza za pierwszym
razem?
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
15. Na odcinku
AB
o dªugo±ci 30 cm umieszczono losowo dwa punkty
L i M.
Jakie jest prawdo-
podobie«stwo, »e
a) odcinek
b) odcinek
c) odcinek
LM ma dªugo±¢ wi¦ksz¡ ni» 1/3?
LA ma dªugo±¢ wi¦ksz¡ ni» 1/3?
LM ma dªugo±¢ wi¦ksz¡ ni» 1/3, je»eli
odcinek
LA
ma dªugo±¢ wi¦ksz¡ ni»
1/3?
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
A powiedziaªa studentowi B , »e przyjdzie do ustalonej kawiarni mi¦dzy 20:00 a 21:00
tam przez 15 minut. Student B powiedziaª studentce B , »e uczyni to samo, tj. »e
16. Studentka
i b¦dzie
przyjdzie do tej kawiarni mi¦dzy 20:00 a 21:00 i b¦dzie tam przez 15 minut. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e
a) dojdzie do spotkania studentki
b) student
B
A
ze studentem
B?
b¦dzie w kawiarni o godzinie 20:10?
c) dojdzie do spotkania studentki
A
o godzinie 20:10?
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
ze studentem
B,
je»eli student
B
b¦dzie w kawiarni
17
17. Rzucamy 3 kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e
a) na wszystkich kostkach wypadªa ta sama liczba oczek?
b) na przynajmniej dwóch kostkach wypadªa ta sama liczba oczek?
c) na wszystkich kostkach wypadªa ta sama liczba oczek, je»eli przynajmniej dwóch kostkach
wypadªa ta sama liczba oczek?
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
18. Prawdopodobie«stwo trafienia do celu z karabinu z celownikiem laserowym wynosi
karabinu bez celownika laserowego 0,8.
0,95,
a z
Ze skrzyni, w której byªy 4 karabiny z celownikiem
laserowym i 6 karabinów bez takiego celownika wybrano losowo jeden karabin i oddano celny
strzaª do tarczy. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wylosowany karabin posiadaª celownik
laserowy?
19. Drog¡ obok stacji benzynowej firmy Bracia J. sp. z o.o. przeje»d»a ±rednio dwa razy wi¦cej
samochodów osobowych ni» ci¦»arowych. Na stacji tankuje paliwo ±rednio co dziesi¡ty samochód osobowy i co pi¡ty samochód ci¦»arowy. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e samochód,
który przed chwil¡ zatankowaª, byª osobowy?
20. Uszkodzeniu ulegªy dokªadnie dwa spo±ród czterech niezale»nie dziaªaj¡cych bezpieczników.
i ∈ {1, 2, 3, 4} niech pi oznacza prawdopodobie«stwo przepalenia i-tego bezpiecznika. Jakie
jest prawdopodobie«stwo, »e uszkodzeniu ulegª bezpiecznik #1, je»eli p1 = 0,1, p2 = 0,2,
p3 = 0,3 i p4 = 0,4.
Dla
21. Rzucono 2 symetryczne kostki do gry, czerwon¡ i zielon¡. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e
a) suma oczek wynosi
3?
b) na zielonej kostce wypadªy 2 oczka?
c) na chocia» jednej kostce wypadªy 2 oczka?
d) suma oczek wynosi
3,
je»eli na zielonej kostce wypadªy 2 oczka?
e) na chocia» jednej kostce wypadªy 2 oczka, je»eli na chocia» jednej kostce wypadªy 2 oczka?
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
22. Egzamin skªada si¦ z
3 pyta« testowych z k = 3 odpowiedziami do wyboru. Aby zda¢ egzamin
nale»y odpowiedzie¢ poprawnie na przynajmniej dwa pytania. Student dobry zna odpowied¹ na
ka»de pytanie z prawdopodobie«stwem
dobie«stwem
1/k .
Z grupy
m = 30
p = 0,9,
a student sªaby strzela i trafia z prawdopo-
studentów, w±ród których byªo
n=5
dobrych studentów,
wylosowano jednego, który zdaª egzamin. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e byª to dobry
student?
n = 52 kart wylosowano k = 5 kart (zakªadamy, »e w talii jest tyle samo kart w ka»dym
kolorze oraz 2 ¬ k ¬ n/2). Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e
23. Z talii
a) wylosowano dokªadnie dwa kiery?
b) wylosowano przynajmniej dwa kiery?
c) w±ród wylosowanych kart nie ma ani trefli, ani pików?
d) wylosowano dokªadnie dwa kiery, je»eli w±ród wylosowanych kart nie ma ani trefli, ani
pików?
e) wylosowano przynajmniej dwa kiery, je»eli w±ród wylosowanych kart nie ma ani trefli, ani
pików?
Czy powy»sze zdarzenia s¡ niezale»ne?
18
24. W szkole jest
n = 730
uczniów urodzonych w 2004 roku. Zakªadaj¡c, »e prawdopodobie«stwo
urodzenia si¦ ka»dego dnia w ustalonym roku jest jednakowe, wyznaczy¢
a) prawdopodobie«stwo, »e trzech uczniów urodziªo si¦ 29 lutego 2004 roku,
b) najbardziej prawdopodobn¡ liczb¦ uczniów urodzonych 29 lutego 2004 roku.
25. W urnie znajduje si¦
m=5
kul czarnych i
n=7
kul czerwonych. Losujemy z urny jedn¡ kul¦
i rzucamy kostk¡, po czym je»eli wypadnie mniej ni»
5
oczek, to wylosowan¡ kul¦ wrzucamy
z powrotem do urny. Na koniec losujemy drug¡ kul¦, która okazaªa si¦ czarna. Jakie jest
prawdopodobie«stwo, »e wyrzucili±my mniej ni» 5 oczek?
26. W urnie #1 znajduje si¦
m=5
kul czarnych i
n=7
kul czerwonych, a w urnie #2
k=6
kul
czarnych i dwie kule czerwone. Losujemy z urny #1 jedn¡ kul¦ i wrzucamy j¡ do urny #2. Na
koniec losujemy z urny #2 jedn¡ kul¦, która okazaªa si¦ czarna. Jakie jest prawdopodobie«stwo,
»e z urny #1 tak»e wylosowali±my kul¦ czarn¡?
27. Na przyj¦cie organizowane przez znanego celebryt¦ Wªodzimierza L. przyszªo
n = 20
osób.
Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e
a) w±ród przybyªych przynajmniej dwie urodziªy si¦ pod tym samym znakiem Zodiaku?
b) przynajmniej dwu osobom spo±ród przybyªych patronuje to samo zwierz¦ i ten sam »ywioª
horoskopu chi«skiego?
c) w±ród przybyªych przynajmniej jedna osoba urodziªa si¦ pod tym samym znakiem Zodiaku,
co gospodarz?
d) przynajmniej jednej osobie spo±ród przybyªych patronuje to samo zwierz¦ i ten sam »ywioª
horoskopu chi«skiego, co gospodarzowi?
(Zakªadamy, »e prawdopodobie«stwo urodzenia pod ka»dym ze znaków Zodiaku/horoskopu
chi«skiego jest takie samo.)