Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne

Martyna Józefiak i Magdalena Stańczyk
5. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne, równoliczność zbiorów.
Równoliczność zbiorów
Definicja
Zbiory A i B są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja różnowartościowa f
przekształcająca zbiór A na zbiór B.
𝐴~𝐵 ↔ ∃ 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑎 𝑟óż𝑛𝑜𝑤𝑎𝑟𝑡𝑜ś𝑐𝑖𝑜𝑤𝑎 𝑓: 𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑛𝑎 𝐵
Twierdzenie
Dla dowolnych zbiorów A, B, C mamy:
1. A~A
2. A~B → B~A
3.(A~B ∧ B~C) → A~C
Własności:


Dwa zbiory skończone są równoliczne dokładnie wtedy, gdy mają tę samą liczbę
elementów.
Dowolne dwa nieskończone zbiory przeliczalne są równoliczne.
Przykłady:



Dowolne dwa spośród następujących zbiorów są równoliczne:
ℝ, ℝ\{0}, ℝ+ , ℝ+ ∪ {0}, (0,1), [0,1), [0,1].
Niech A=ℕ, B={2𝑛: 𝑛 ∈ ℕ}. B jest zbiorem liczb parzystych. Są to zbiory równoliczne,
świadczy o tym bijekcja 𝑓: 𝐴 → 𝐵 dana wzorem f(x)=2x.
(𝑎, 𝑏)~[𝑎, 𝑏], czyli przedziały otwarty i domknięty są równoliczne.
1
Martyna Józefiak i Magdalena Stańczyk
Zbiory przeliczalne
Definicja
Zbiór A nazywamy przeliczalnym, jeżeli jest skończony lub równoliczny ze zbiorem wszystkich
liczb naturalnych.
Twierdzenie 1
Zbiór A ≠ ∅ jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem wyrazów pewnego ciągu
nieskończonego, tzn. istnieje funkcja f:ℕ 𝑛𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ A.
Własności:







Podzbiór zbioru przeliczalnego jest zbiorem przeliczalnym.
Suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
Suma skończonej liczby zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
Suma przeliczalnej ilości zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
Zbiór wszystkich ciągów skończonych o wyrazach należących do pewnego zbioru
przeliczalnego jest zbiorem przeliczalnym.
Zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny. (Liczbą algebraiczną nazywamy liczbę
rzeczywistą, która jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach wymiernych (np.
x2-2)).
Przykłady:




Zbiór ℤ wszystkich liczb całkowitych jest przeliczalny.
Zbiór ℚ wszystkich liczb wymiernych jest zbiorem przeliczalnym
Zbiór Χ = ℕ ∪ {0} jest przeliczalny.
Zbiór liczb parzystych ℕ𝑝 = {2, 4, 6, 8, … } jest przeliczalny.

Zbiór ℕ2 = ℕ × ℕ jest przeliczalny.
Twierdzenie 2
Jeżeli zbiory A1,…,An są przeliczalne to uogólniony iloczyn kartezjański A1x…xAn jest zbiorem
przeliczalnym.
2
Martyna Józefiak i Magdalena Stańczyk
Zbiory nieprzeliczalne
Definicja
Zbiór nazywamy nieprzeliczalnym, jeżeli nie jest przeliczalny.
Własności:




Nadzbiór zbioru nieprzeliczalnego jest zbiorem nieprzeliczalnym.
Suma dwóch (i dowolnej ilości) zbiorów nieprzeliczalnych jest zbiorem
nieprzeliczalnym.
Różnica zbioru nieprzeliczalnego i przeliczalnego jest zbiorem nieprzeliczalnym.
Iloczyn kartezjański dowolnej ilości zbiorów nieprzeliczalnych jest zbiorem
nieprzeliczalnym.
Przykłady:




Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z przedziału [0,1] jest nieprzeliczalny.
Zbiór ℝ jest nieprzeliczalny.
Zbiór wszystkich liczb niewymiernych jest nieprzeliczalnym ℝ = ℚ ∪ (ℝ\ℚ).
Zbiór wszystkich liczb przestępnych jest zbiorem nieprzeliczalnym.
3