Wst¦p do kryptografii zadania

Wst¦p do kryptografii zadania
Uwaga. Gwiazdka dotyczy zada«, do których jest potrzebna pewna znajomo±¢ j¦zyka
angielskiego. Je±li nie jest powiedziane inaczej, u»ywamy alfabetu 26literowego, w którym
litery s¡ uto»samiane z ich pozycj¡ licz¡c od 0 (tj. pozycj¡ a jest 0). W przypadku j¦zyka
polskiego (zadania bez gwiazdki), litery ,,z ogonkami s¡ zast¦powane ich odpowiednikami
bez ogonków (np. ¦ jest zast¡pione przez e, « przez n itd.)
1. * Podczas I wojny ±wiatowej przechwycono nast¦puj¡cy steganogram:
President's embargo ruling should have immediate notice. Grave
situation affecting international law. Statement foreshadows ruin
of many neutrals. Yellow journals unifying national excitement
immensely.
Rozszyfruj wiadomo±¢.
2. * Rozszyfruj nast¦puj¡cy steganogram, który powstaª z u»yciem tej samej metody, co
steganogram z zadania 1.
Apparently neutral protest is thoroughtly discounted and ignored.
Isman hard hit. Blocade issue affects pretext for embargo on
by-products, ejecting suets and vegetable oil.
3. Trzy poni»sze frazy s¡ szyframi pªotowymi tego samego tekstu. Jaki to tekst? Podaj
te» wysoko±ci pªotów.
kyonkksraezarlmo
koszkmealronryak
koszmarnykarolke
4. Odszyfruj poni»sze szyfry pªotowe.
ez ctisco¢tsenank«n±rnnelaooadn
róknsobjixucjznRa
wysoko±¢ pªotu: 4,
pozycja: 2.
wysoko±¢ pªotu: 3,
pozycja: 0.
5. Zªam poni»sze szyfry pªotowe.
srtzfpooyyªw
kdesoyankonªmadai
6. Zªam szyfry kwadratowe:
wrtzyzaokynsosetaoddlknwyliadaek
kynsyzaoosetwrtzylialknwdaekaodd
7. W przypadku szyfru pªotowego, bezpiecze«stwo zmniejsza si¦ je±li zwi¦ksza si¦ wyso-
ko±¢ pªotu. Czy podobna sytuacja wyst¦puje w przypadku szyfru kwadratowego?
srpawzdambyezipecez«swtosyzfrkuwardatwoegpoq
sazpwardmyzebpceizets«wzsoyfkdrwruaatepogqwor
szzeskpap«zwrmisyaayetfdwbcwrrdezouatpvbhnoqwciowrxdjpesyekqgtzflrouagms
syeftsbktpb«rotcluresuwudmvaztkevenwwpwwgwfoxdioaoxg
pyzesdpyhqzaczrqziramzyarajsb
Semestr zimowy 2014/15
Wst¦p do kryptografii zadania cd.
8. Oblicz w arytmetyce modulo 26. Wyniki dziaªa« zawarte s¡ mi¦dzy 0 i 25.
3 + 5,
(f ) 13 − 5,
(k) 2 · 5,
7 + 15,
(g) 17 − 25,
(l) 7 · 5,
(a)
(b)
23 + 8,
(h) 8 − 23,
(m) 8 · 23,
17 + 10,
(i) 7 − 10,
(n) 7 · 11,
(c)
(d)
19 + 25,
(j) 19 − 12,
(o) 19 · 12.
(e)
Dynamiczny rozklad jazdy.
fraz¦ Dynamiczny rozklad jazdy.
9. Szyfrem Cezara z kluczem 16 zaszyfruj fraz¦
10. Szyfrem Beauforta z kluczem 23 zaszyfruj
11. Podaj klucz deszyfruj¡cy dla szyfru Cezara z kluczem szyfruj¡cym
(c) 20,
12.
(b) 13,
Podaj klucz deszyfruj¡cy dla monoalfabetycznego szyfru Beauforta z kluczem szy-
fruj¡cym
13.
(a) 8,
(d) 25.
(a) 5,
(b) 7,
(c) 15,
(d) 25.
U»ywaj¡c szyfru Cezara z kluczem (szyfruj¡cym) 20, odszyfruj fraz¦
uqhcu hiqsl itefu xdutx sjej,
14. U»ywaj¡c szyfru Beauforta z kluczem (szyfruj¡cym) 7, odszyfruj fraz¦
sqhe.
qcecf cemod
qhfan udxih
opsad dlpsp izlxl hzdgo t.
16. Zªam szyfr monoalfabetyczny Beauforta: firjv aehau qmtut rjefv aw.
17. Dan¡ fraz¦ szyfrujemy szyfrem szyfrem cyklicznym (z kluczem Kc ), a nast¦pnie szyfrem Beauforta (z kluczem Kb ). Takie podwójne szyfrowanie nazywamy zªo»eniem szyfrów.
15. Zªam nast¦puj¡cy szyfr cykliczny (Cezara):
Czy po tej operacji otrzymamy jaki± znany nam ju» szyfr?
18.
Jakim szyfrem jest zªo»enie dwóch szyfrów Cezara? A jakim szyfrem jest zªo»enie
dwóch szyfrów Beauforta?
19. Dla szyfru Beauforta o kluczu 4 znajd¹ punkt (punkty) staªe, tj. litery, które si¦ nie
szyfruj¡ (przechodz¡ na siebie). Uogólnij to zadanie, tzn. zast¡p 4 przez dowoln¡ liczb¦
Nast¦pnie uogólnij to zadanie ze wzgl¦du na liczb¦ liter w alfabecie, tj.
N > 1.
zast¡p
26
k.
przez
Czy szyfr Cezara posiada punkty staªe?
20. Parzyste litery nast¦puj¡cego szyfru zostaªy zakodowane systemem Beauforta albo
Cezara, natomiast nieparzyste drugim z tych dwóch systemów.
scpmp omsbs ktkcv ywskw wdazc s
Zªam szyfr wiedz¡c, »e najcz¦stsz¡ liter¡ w tek±cie jawnym jest
i.
21. Oblicz w arytmetyce modulo 26. Wyniki dziaªa« zawarte s¡ mi¦dzy 0 i 25.
(a)
(f )
22.
5 · 5,
13 · 5,
(b)
(g)
7 · 15,
8 · 13,
18 · 23,
(h) 13 · 13,
(c)
(d)
(i)
18 · 10,
21 · 5,
(e)
(j)
19 · 11,
23 · 17.
W arytmetyce modulo 26 oblicz liczby odwrotne do podanych lub uzasadnij, »e
liczba taka nie istnieje.
1,
(h) 13,
(a)
(b)
(i)
3,
15,
(c)
(j)
4,
17,
(d)
(k)
5,
19,
(e)
(l)
7,
21,
Semestr zimowy 2014/15
9,
(m) 23,
(f )
11,
(n) 25.
(g)
Wst¦p do kryptografii zadania
23.
(7, 8), (b) (9, 1), (c) (4, 7),
ciekawe co wyjdzie. Dla których z tych
Posªuguj¡c si¦ kluczami
(szyfrem anicznym) fraz¦
(a)
(d)
(13, 2)
zaszyfruj
kluczy istniej¡ klucze
deszyfruj¡ce?
piqon okivw fgqmf, gdzie
fraz¦ nwodu nhkct uo, wiedz¡c,
(11, 16).
24. Odszyfruj fraz¦
kluczem odszyfrowuj¡cym jest
25. Odszyfruj
»e pierwszy element klucza odszyfrowu-
j¡cego to 7.
26. Odszyfruj fraz¦
j¡cego to
lmdja pwnju viawn,
wiedz¡c, »e drugi element klucza odszyfrowu-
17.
27. Zauwa», »e szyfry Cezara oraz Beauforta s¡ tak»e szyframi anicznymi. Jakie s¡ ich
klucze jako szyfrów anicznych?
28. Klucz szyfruj¡cy
te» równy
(25, 4).
(25, 4)
kodu anicznego ma t¦ wªasno±¢, »e klucz deszyfruj¡cy jest
Czy jest to jedyny klucz o tej wªasno±ci? Wypisz wszystkie. Uogólnij to
zadanie na przypadki, gdy liczba liter w alfabecie jest równa
(n, k),
jakie powinny speªnia¢ wspóªrz¦dne klucza
szyfruj¡ce byªy identyczne. Czy istnieje
N,
N > 1,
tzn. napisz warunki,
aby odpowiadaj¡ce mu przeksztaªcenia
dla którego nie ma klucza z identycznymi prze-
ksztaªceniami szyfruj¡cym i deszyfruj¡cym?
29.
Dla podanych kluczy szyfruj¡cych szyfru anicznego podaj klucze deszyfruj¡ce (o
ile istniej¡).
(a)
(f )
(1, 8),
(13, 7),
(b)
(g)
(7, 13),
(25, 1),
(18, 23),
(h) (1, 25),
(c)
(d)
(i)
(23, 18),
(1, 1),
(e)
(j)
(19, 11),
(9, 0).
30. Zªam nast¦puj¡ce szyfry aniczne.
uqrmlerlgrqpqtwlercfguqire, wskazówka: pierwsze dwie litery to KO,
(b) miaoa ikyqn akhpk sjypk cks, wskazówka: zaczyna si¦ od uwaga pora roku.
31. Dla szyfru anicznego o kluczu (3, 6) znajd¹ punkt (punkty) staªe, tj. litery, które
si¦ nie szyfruj¡ (przechodz¡ na siebie). Powtórz to zadanie dla klucza (5, 0).
32. Niech f (P ) = aP + b, gdzie 0 6= a 6= 1 oraz N > 1 (liczba liter w alfabecie).
Udowodnij, »e je±li N jest liczb¡ pierwsz¡, to istnieje dokªadnie jeden punkt staªy. Podaj
przykªad N > 2 i takiego przeksztaªcenia f , które nie ma punktów staªych oraz takiego
przeksztaªcenia g , które ma dokªadnie 2 punkty staªe.
(a)
33. Nast¦puj¡cy tekst zostaª zapisany alfabetem zªo»onym z 37 liter na pocz¡tku 26
liter od A do Z, nast¦pnie spacja i na ko«cu 10 cyfr od 0 do 9, a nast¦pnie zaszyfrowany
szyfrem anicznym. Rozszyfruj wiadomo±¢ wiedz¡c, »e ko«czy si¦ ona podpisem 007.
11tls hxdlx jnp2m ol119
34. Nast¦puj¡cy tekst zostaª zaszyfrowany kluczem deszyfruj¡cym z poprzedniego zada-
nia. Znajd¹ odpowiedni klucz i odczytaj wiadomo±¢.
cvavl
vqig2
qlytu
j2c1q
v gq2
qonvq
cy tg
Semestr zimowy 2014/15
wcvn1
Wst¦p do kryptografii zadania cd.
35.
Uªó» alfabet szyfruj¡cy opieraj¡c si¦ na sªowie-kluczu dlaczego.
U»ywaj¡c tego
alfabetu, rozszyfruj tekst
ciday zgmdi edlzs kbzyd ayxkd rbzmc pvzqs xtbms qyxrb zczj
36.
Wiadomo, »e zªo»enie dwóch szyfrów anicznych jest szyfrem anicznym. Napisz
dwa takie klucze, aby zªo»enie odpowiadaj¡cych im szyfrów anicznych daªo szyfr Cezara
(Beauforta). Jakie ogólne zale»no±ci pomi¦dzy kluczami musz¡ by¢ speªnione, aby w wyniku
zªo»enia otrzyma¢ szyfr Cezara (Beauforta)?
37. Korzystaj¡c ze wskazówki zawartej w którym± z powy»szych zada«, odszyfruj tekst
zqamu qrmql otiot kgfnd xl
38.
Wykorzystuj¡c jako hasªo, imi¦ z poprzedniego zadania, zªam nast¦pujacy szyfr
Playfaira.
erohh mfimf iamkn cgcox mc
39. Zªam nast¦puj¡cy szyfr aniczny lub cykliczny, wiedz¡c »e najcz¦stsze samogªoski w
tek±cie jawnym to A, I oraz U:
dzujq brebr zjkre slcl
40.
Napisz klucze szyfruj¡cy i deszyfruj¡cy dla nast¦puj¡cych alfabetów szyfrowych w
kodzie anicznym.
(a)
(b)
(c)
petix mbqfu jyncr gvkzo dshwl a
yxwvu tsrqp onmlk jihgf edcba z
dozkv grcny jufqb mxite palwh s
41. Rozszyfruj wiadomo±¢, która dotyczy prezydenta Kennedy'ego:
onrrn sqwql kmnxq okrbo tmyxn vqsnr cnm
42. Nast¦puj¡ce przeksztaªcenia alfabetów zapisz w postaci cykli.
(a)
q w e r t y u i o p a s d
(b)
f g h j k l m n b v
j
k m n p q r s t u v w x y
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
w e d c b y h g n k j m l
c x z
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
d l a c z e g o b f h i
(c)
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
i
r q p o z u t x a v f s
Semestr zimowy 2014/15
Wst¦p do kryptografii zadania
43. Nast¦puj¡ce cykle permutacji zapisz w postaci alfabetów szyfruj¡cych.
(asdf ghjkl)(qwertyuiop)(mnbvcxz)
(b) (asd)(uhb)(plm)(ok)(ijn)(ygv)(tf c)(rxz)(ewq)
(c) (ab)(cd)(ef )(gh)(ij)(kl)(mn)(op)(qr)(st)(uv)(wx)(yz)
(a)
44. W systemie Delastelle'a (bez hasªa) zaszyfruj sªowo Francja. Szyfr ten jest hasªem
do nast¦pnego szyfru Playfaira.
45. Rozszyfruj nast¦puj¡cy szyfr Playfaira
bictv hysaq hwowf rlguh cxick ghbkm cxick ghbkm gwgfc qgc
46. Znaj¡c hasªa Szczecin, Pozna«, odszyfruj
xuzff mutzq fwvki nmnsu ivvvo qlzdn ealvb nooxa
47. Zªam nast¦puj¡cy szyfr Beauforta, wiedz¡c »e 0 to 273:
jamzj hzaii eognx
48. Znajd¹ hasªo dla szyfru Vigenere'a takie, aby wyraz obcokrajowiec zaszyfrowaª si¦
aaaaa aaaaa aaa
49. Znajd¹ hasªo dla szyfru Beauforta takie, aby wyraz obcokrajowiec zaszyfrowaª si¦
jjjjj jjjjj jjj
50. * Zªam nast¦puj¡cy szyfr:
53[[=
305))
6];48
26)4[
.)4[)
;806]
;48=8
/60))
85;;7
8];:[
]8=83
(88)5
]=;46
(;88]
96]{;
8)][(
;485)
;5]=2
:][(;
4956]
2(5]
4)8/8
];406
9285)
;)6= 8
)4[[;
1([9;
48081
;8:8[
1;48=
85;4)
485=5
28806
]81([
9;48;
(88;4
([{34
;48)4
[;161
;:188
;[{;
Sªuszne jest zaªo»enie, »e najcz¦stsz¡ liter¡ w odpowiadaj¡cym tek±cie jawnym jest E,
a najcz¦stszym sªowem jest THE. Kryptogram ten pochodzi z ksi¡»ki Edgara Alana Poe
,,Zªoty »uk.
Semestr zimowy 2014/15
Wst¦p do kryptografii zadania cd.
51. * Nast¦puj¡ca wiadomo±¢ zostaªa zaszyfrowana szyfrem Viginere'a z trzyliterowym
sªowem kluczem. Aby znale¹¢ pierwsz¡ liter¦ klucza, we¹ ci¡g liter skªadaj¡cy si¦ z co trzeciej litery kryptogramu, pocz¡wszy od pierwszej. Najcz¦±ciej wyst¦puj¡c¡ liter¡ nie jest E!
Sprawd¹ przypadki, »e E jest drug¡, trzeci¡ lub czwart¡ co do cz¦sto±ci liter¡. Je»eli przy
sprawdzaniu oka»e si¦, »e która± z rzadko wyst¦puj¡cych liter jest w±ród czterech najcz¦stszych, odrzu¢ ten przypadek.
Podobnie post¦puj aby znale¹¢ drug¡ i trzeci¡ liter¦ sªowa
kluczowego. Tym razem jednak, E mo»e by¢ najcz¦stsz¡ liter¡.
awyvp
xacel
jezif
pxqlt
qgulm
dgshi
frmvt
cssrg
qctbl
wcjtq
wimjd
bxdpv
bzwgq
wsfgl
rztwh
ifwb
wylpa
markd
lldag
tagsg
apqct
rztwe
wmftb
sqjwu
dlwcs
cqmay
fvrzt
baurz
plsvc
opqzx
pgbus
xbudl
ltglp
wtgmm
twshq
vifwn
lyimf
hface
kdplx
pjxtw
vflxr
mbcvx
qsxbo
plvwy
ldlld
seqcj
sgfrm
ldkwp
agjjv
wcfhm
vifwd
lwlbw
tnwpr
vtlgu
rlwcs
gcssg
etrzx
pavgf
52. Odczytaj wiadomo±¢ zaszyfrowan¡ autokluczem ze starterem
afahs
wsrgb
yuxja
xphdp
lifwn
lyppj
pjetq
ebyjx
clwpg
igwhc
lpksh
qsxbf
xtwsg
kpewg
q.
hvoyb jwlpw ugrplj
53.
Odczytaj wiadomo±¢ zaszyfrowan¡ autokluczem ze starterem, którym jest nazwa
koncernu produkuj¡cego telefony.
ekeiq sscqb rxws
54.
Odczytaj wiadomo±¢ zaszyfrowan¡ przez przesuwanie alfabetów, gdzie pierwszy
alfabet jest uªo»ony wg hasªa
szyfrowanie.
xzpyy euqri uhzzo daoyd
55. Pierwszy z poni»szych szyfrów jest pªotowy. Po zªamaniu ka»dego szyfru otrzymu-
jemy wskazówk¦ do innego. Zªam poni»sze szyfry.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Dwkwxxxwauziaxdaxddodhrozacaxrnatpi.
vtezm bidvs mwmeg qpixs as
Debeeoxisrbknzarou.zzmjTxmmxxraaswukliixsnlawyaatxsyKPUimLQVo
.MRWdINSXmJOTY
dzdsl suvxl csghb ssxip ujsga kqvbl xsruj jztpf
gclhn xmhpb cdxzd jh
vdtob yhojd rvhnv rjytt jmifr ahg
vtbkm qdmem dwhmm zjwzn wvhdo fipnn plhck zdojo tskxa rtbfi
kyzme yizpo pafdj h
pacit vejxn qlcec fecpo isqsc fyddr msciw fabmw vabty daisu g
Semestr zimowy 2014/15
Wst¦p do kryptografii zadania
56. U»ywaj¡c przynajmniej trzech ró»nych metod sprawd¹, czy nast¦puj¡ce macierze s¡
odwracalne (modulo 26).
9 1
A=
,
7 2
3 1
B=
,
5 3
8 11
C=
,
1 9
2 1
D=
.
1 7
57. Znajd¹ macierz odwrotn¡ (o ile istnieje) do
19 1
A=
,
7 8
8 11
B=
,
1 9
13 9
C=
,
7 20
2 17
D=
.
1 7
58. Zaszyfruj w systemie Hill'a wiadomo±¢ CIEMNA NOC u»ywaj¡c macierzy
4 3
1 6
oraz alfabetu 26literowego, a nast¦pnie u»yj tej samej macierzy ale alfabetu 27literowego
(ze spacj¡ numer 26).
59.
60.
61.
1 5
Znajd¹ macierz odwrotn¡ do
i rozszyfruj z jej pomoc¡ tekst uqgmanioou.
7 2
Zªam szyfr sxarwharerqliegdekoxgjku wiedz¡c, »e sx 7→ te oraz ar 7→ re.
Nast¦puj¡cy tekst otrzymano u»ywaj¡c szyfru Hill'a 2 × 2:
dvpkuussjtfmuulhzv
Rozszyfruj wiadomo±¢ wiedz¡c, »e zaczyna si¦ ona od DZIENNI lub NOCNI. Uzasadnij,
dlaczego odrzucasz jedn¡ z mo»liwo±ci.
62.
Udowodnij, »e zªo»enie (tj.
zaszyfrowanie tekstu jawnego, a nast¦pnie ,,zaszyfro-
wanie szyfru) systemu kryptogracznego Hilla opartego na macierzy
macierzy
A2
A1
oraz opartego na
jest te» szyfrem Hilla.
63. Sprawd¹, czy macierze


7 13 4
 1 12 1 ,
12 6 9


7 13 5
 1 11 2 ,
13 7 8

oraz
s¡ macierzami szyfruj¡cymi, a je»eli tak, to zaszyfruj tekst
64. Znajd¹ macierz odwrotn¡ do
65.
Tutaj,


3 3 4
4 3 4
4 3 3

7 13 6
 1 13 3
14 8 9
szyfrujemy hillem.
i odszyfruj tekst
qsaltgimy.
Jaki szyfr jest zªo»eniem dwóch szyfrów anicznych z kluczami
A1 , A2
s¡ macierzami
n × n,
a
b1 , b2
wektorami o
n
A1 , b1
oraz
A2 , b2 ?
wspóªrz¦dnych. Uzasadnij odpo-
wied¹.
2 × 2,
tlgef vgecu kkqoq rhwne pk
66. Zªam nast¦puj¡cy szyfr aniczny oparty na macierzy
jawny zaczyna si¦ od DZIENNI.
Semestr zimowy 2014/15
je±li wiadomo, »e tekst
Wst¦p do kryptografii zadania cd.
67. Nieparzyste litery poni»szego tekstu zostaªy zaszyfrowane pewnym szyfrem transpo-
zycyjnym
P,
a parzyste szyfrem transpozycyjnym
Q.
CVSCSRUUGVWYIS
Zªam szyfr, wiedz¡c »e
P Q = (a)(s)(bc)(wr)(dvpf kxgzyo)(jmunqlhtei).
Podaj te» obydwa
alfabety szyfrowe.
68. Nast¦puj¡cy tekst zostaª zaszyfrowany z u»yciem jednorotorowej maszyny szyfruj¡-
cej:
PKTYU KLUTH WPXZM OAQDJ TV
Wiadomo »e pogrubione litery, to zaszyfrowane sªowo szyfr oraz, »e szyfrant miaª do wyboru
trzy rotory, których pierwotne zadrutowania, to:
(al)(bm)(cv)(dn)(eg)(fu)(hj)(ik)(op)(qr)(sw)(ty)(xz)
(aw)(be)(cd)(fy)(gh)(in)(jk)(lm)(or)(pq)(sz)(tu)(vx)
(ad)(by)(co)(el)(fg)(hi)(jk)(mn)(pq)(rs)(tw)(uv)(xz)
Korzystaj¡c z tych informacji, odczytaj wiadomo±¢.
a1 , a2 , . . . , an jest szybko rosn¡cym ci¡giem liczb naturalnych, to
j ∈ {1, 2, . . . , n}. Sprawd¹, czy zachodzi implikacja przeciwna.
70. Poka», ci¡g a1 , a2 , . . . , an jest szybko rosn¡cy, je»eli dla j ∈ {1, 2, . . . , n − 1} zachodzi
nierówno±¢ aj+1 > 2aj . Sprawd¹, czy zachodzi implikacja przeciwna.
Poka», »e je»eli
69.
aj ≥ 2j−1
dla
Zaszyfruj tekst KUPUJ NATYCHMIAST opieraj¡c si¦ na szybko rosn¡cym ci¡gu
71.
(7, 9, 17, 43, 81, 169), gdzie w = 127 oraz m = 351.
72. Rozszyfruj ATRAU TAVTA VTAAA wiedz¡c, »e
kluczem szyfruj¡cym jest
(306, 374, 233, 19, 259)
oraz, »e
w = 17,
a
m = 464
(najpierw zamieniamy digramy na liczby).
Czy deniuj¡c kryptosystem plecakowy mo»emy nierówno±¢
73.
rosn¡cego ci¡gu mo»na zast¡pi¢ nierówno±ci¡
≥?
>
w denicji szybko
Uzasadnij odpowied¹ podaj¡c odpowiednie
przykªady lub (i) dowód.
74. Czy przy deniowaniu kryptosystemu plecakowego musimy wymaga¢ aby speªniona
byªa nierówno±¢
m > 2aN ?
Uzasadnij odpowied¹ podaj¡c odpowiednie przykªady lub (i)
dowód.
tu
75. Zªam szyfr plecakowy bgmciqdlwbmyemeftzfdrbmyhwp Kluczem szyfruj¡cym jest
(20, 72, 96, 212, 428, 844, 1676, 1991), m = 2009, a warto±¢ w jest maªa i mo»na si¦ jej
domy±li¢.
76. Znajd¹ rozkªad liczby
(a)
n = pq
n = 5429, ϕ(n) = 5280,
(b)
na czynniki, wiedz¡c »e
n = 5207, ϕ(n) = 5040,
Semestr zimowy 2014/15
(c)
n = 7189, ϕ(n) = 7020.
Wst¦p do kryptografii zadania
77. Mówimy, »e uªamek okresowy o okresie dªugo±ci
f
ma rozwini¦cie okresowe czyste,
je±li jest on liczb¡ zawart¡ mi¦dzy 0 i 1 oraz cyfry jego rozwini¦cia (po przecinku) przy
podstawie
b
powtarzaj¡ si¦ w blokach po
dziesi¦tne czyste o okresie dªugo±ci 1.
b
zapisany w systemie o podstawie
f
wtedy i tylko wtedy, gdy d|b − 1.
78. Niech
n
f
cyfr. Na przykªad uªamek
Udowodnij, »e uªamek
c/d
1/3
ma rozwini¦cie
w postaci nieskracalnej
ma rozwini¦cie okresowe czyste o okresie dªugo±ci
f
b¦dzie dodatni¡ liczba nieparzyst¡. Udowodnij, »e istnieje wzajemnie jed-
noznaczna odpowiednio±¢ mi¦dzy wszystkimi dzielnikami liczby n wi¦kszymi lub równymi
√
n i wszystkimi parami liczb caªkowitych nieujemnych (s, t) takimi, »e n = s2 − t2 . Wypisz wszystkie sposoby przedstawienia liczby 945 w postaci ró»nicy dwóch kwadratów liczb
nieujemnych.
79. Oblicz nast¦puj¡ce pot¦gi stosuj¡c metod¦ iterowanego podnoszenia do kwadratu
(a)
26191 mod 39
34187 mod 207
(b)
(a, b) znajd¹ ich NWD i przedstaw go w postaci
takie liczby caªkowite x, y , »e NWD(a, b) = ax + by .
80. Dla ka»dej z nast¦puj¡cych par liczb
kombinacji liniowej tych liczb, tj. znajd¹
(a)
26, 19
(b)
187, 34
(c)
841, 190
(d)
2613, 2171.
n = 383 · 563 (= 215629) oraz e = 49. Zatem tekst
49
jako E(m) = m
mod n. Poka», »e E 10 (c) = c dla dowolnej
dziesi¦ciokrotne zªo»enie funkcji E ). Wyja±nij, dlaczego tego
81. Rozwa»my system RSA, gdzie
jawny
liczby
m
c.
jest zaszyfrowany
10
(E
oznacza tu
rodzaju system nie jest dobrym kryptosystemem o kluczu publicznym.
82. U»ywaj¡c RSA z kluczem
(2047, 179)
oraz digramów jako jednostek tekstu jawnego
i trigramów jako jednostek tekstu zaszyfrowanego, zaszyfruj wiadomo±¢ DOBRA NASZA.
Zªam powy»szy szyfr bior¡c liczb¦
dA
odwrotn¡ do 179 modulo 88, tj. zauwa», »e wcze±niej
otrzymany kryptogram mo»na rozszyfrowa¢ kluczem
odwrotn¡ do 179 modulo
(2047, dA ).
Czy nasze
dA
jest liczb¡
φ(2047)?
83. Przy u»yciu RSA wysªano t¦ sam¡ wiadomo±¢ do trzech u»ytkowników, którzy maj¡
klucze (szyfruj¡ce)
(3763, 3), (2773, 3)
oraz
(2491, 3).
Otrzymane kryptogramy to, odpo-
wiednio, CKXBMMAAYAAA, BLJBMMCUQAAA oraz CIWBMMCQFAAA. Zªam szyfry,
wiedz¡c »e wiadomo±¢ jawna stanowi imi¦ pewnej piosenkarki. W tym zadaniu szyfrowane
s¡ digramy, a jednostkami kryptogramu s¡ trigramy.
84.
Mój klucz szyfruj¡cy (RSA), to
togramu s¡ trigramy.
(3551, 3).
Szyfrujemy digramy, jednostkami kryp-
Utwórz swoje klucze, podaj (swój utworzony) klucz publiczny oraz
zaszyfruj swoje imi¦ tak, aby wiadomo±¢ byªa poufna i autentyczna. W szczególno±ci klucze
publiczne wszystkich, którzy zrobi¡ to zadanie musz¡ by¢ ró»ne.
1000
85. Oblicz ostatni¡ cyfr¦ liczby 2
− 3.
340
86. Poka», »e 2
≡ 1 (mod 341).
α
87. Przypu±¢my, »e liczba m jest albo pot¦g¡ p liczby pierwszej p > 2, albo podwojon¡
2
pot¦g¡ nieparzystej liczby pierwszej. Udowodnij, »e je±li x ≡ 1 (mod m), to albo x ≡ 1
(mod m) albo x ≡ −1 (mod m). Podaj przykªad takiej liczby naturalnej m
2
liczby x, »e x ≡ 1 (mod m), ale x 6≡ 1 (mod m) ani x 6≡ −1 (mod m).
Semestr zimowy 2014/15
oraz takiej
Wst¦p do kryptografii zadania cd.
88. Poka», »e dla dowolnej liczby
liczba
b>2
i dowolnej liczby naturalnej nieparzystej
n > 3,
n
b +1
nie jest liczb¡ pierwsz¡.
n
89. Udowodnij, »e je±li 2 − 1 jest liczb¡ pierwsz¡, to
jest liczb¡ pierwsz¡, to
n
n jest liczb¡ pierwsz¡, a je±li 2n + 1
jest pot¦g¡ dwójki.
90. Rozªó» na czynniki liczby
512 − 1,
91. Udowodnij, »e je±li
105 − 1,
d = NWD(m, n)
108 − 1,
oraz
a>1
260 − 1.
jest dowoln¡ liczb¡ caªkowit¡, to
(am − 1, an − 1) = ad − 1.
NWD
219 − 1 jest liczb¡ pierwsz¡,
n = 73 · 37, to 2n−1 ≡ 1 (mod n).
92. Udowodnij, »e liczba
93. Poka», »e je±li
a
223 − 1
nie jest liczb¡ pierwsz¡.
94. Rozªó» na czynniki nast¦puj¡ce liczby
(a)
8633
(b)
92296873
(c)
88169891
(d)
68987
(e)
19578079
(f )
2701
95. Poka», »e je»eli
warto±ci¡
k
k = 2r,
gdzie
2 - r,
to za pomoc¡ ulepszonej metody Fermata z t¡
nie da si¦ rozªo»y¢ na czynniki »adnej liczby nieparzystej.
Semestr zimowy 2014/15