konkurs dla uczniów klas technikum w kategorii: mistrz trójkątów

KONKURS DLA UCZNIÓW KLAS TECHNIKUM W KATEGORII:
MISTRZ TRÓJKĄTÓW
ZADANIA DLA UCZNIÓW KLAS PIERWSZYCH
Zadanie 1
Trójkąt prostokątny równoramienny ma pole równe 2 cm2. Z tego wynika, że przyprostokątna ma długość:
A.√2 𝑐𝑚
B. 2 𝑐𝑚
C. 2√2 𝑐𝑚
D. 4 𝑐𝑚
Zadanie 2
Pole trójkąta o bokach długości 13, 14, 15 jest równe:
A.105 𝑐𝑚2
B. 91 𝑐𝑚2
C. 84 𝑐𝑚2
D. 42 𝑐𝑚2
Zadanie 3
Odcinek CD jest środkową w trójkącie ABC. Trójkąt DBC ma pole równe 3 𝑐𝑚2 . Pole trójkąta ABC wynosi:
A.4,5 𝑐𝑚2
B. 5 𝑐𝑚2
C. 6 𝑐𝑚2
D. 7,5 𝑐𝑚2
Zadanie 4
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 7 cm i 24 cm. Wysokość trójkąta opuszczona na
najdłuższy bok trójkąta ma długość:
84
25
168
148
A. 𝑐𝑚
B. 𝑐𝑚
C.
𝑐𝑚
D.
𝑐𝑚
25
2
25
25
Zadanie 5
W trójkącie równoramiennym ABC (AC = BC) poprowadzono wysokość CD. Obwód trójkąta ABC wynosi 30
cm, a obwód trójkąta ACD wynosi 20 cm. Oblicz długość wysokości CD.
Zadanie 6
Znajdź długości boków trójkąta, którego obwód wynosi 39 cm, a boki mają się do siebie jak 3 : 6 : 4.
Zadanie 7
Punkty A i B są środkami dwóch sąsiednich boków kwadratu. Jaką część pola kwadratu stanowi pole trójkąta
ABC.
Zadanie 8
Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, którego obwód jest równy 70 cm, a pole wynosi
210 cm2.
Zadanie 9
W trójkącie równoramiennym o polu 48 cm2 stosunek długości ramienia do wysokości opuszczonej na podstawę
jest równy 4:5. Oblicz obwód trójkąta oraz wysokość tego trójkąta.
Zadanie 10
W trójkącie równoramiennym ABC o polu 12 cm2 podstawa AB ma długość 8 cm. Oblicz wszystkie wysokości
tego trójkąta. Wyznacz długość odcinka CE, gdzie E jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka A.
KONKURS DLA UCZNIÓW KLAS TECHNIKUM W KATEGORII:
MISTRZ TRÓJKĄTÓW
ZADANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH
Zadanie 1
Trójkąt prostokątny równoramienny ma pole równe 2 cm2. Z tego wynika, że przyprostokątna ma długość:
A.√2 𝑐𝑚
B. 2 𝑐𝑚
C. 2√2 𝑐𝑚
D. 4 𝑐𝑚
Zadanie 2
Pole trójkąta o bokach długości 13, 14, 15 jest równe:
A.105 𝑐𝑚2
B. 91 𝑐𝑚2
C. 84 𝑐𝑚2
D. 42 𝑐𝑚2
Zadanie 3
Odcinek CD jest środkową w trójkącie ABC. Trójkąt DBC ma pole równe 3 𝑐𝑚2 . Pole trójkąta ABC wynosi:
A.4,5 𝑐𝑚2
B. 5 𝑐𝑚2
C. 6 𝑐𝑚2
D. 7,5 𝑐𝑚2
Zadanie 4
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 7 cm i 24 cm. Wysokość trójkąta opuszczona na
najdłuższy bok trójkąta ma długość:
84
25
168
148
A. 𝑐𝑚
B. 𝑐𝑚
C.
𝑐𝑚
D.
𝑐𝑚
25
2
25
25
Zadanie 5
Punkt S jest środkiem wysokości CD trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|=5 oraz |CD|=4. Ile
wynosi odległość punktu S od ramienia tego trójkąta.
Zadanie 6
W trójkącie równoramiennym wysokość poprowadzona do podstawy ma długość 6√6, a ramię jest o 30%
krótsze od podstawy .Oblicz obwód tego trójkąta.
Zadanie 7
8
W trójkącie prostokątnym sinus jednego z kątów ostrych jest równy . Wiedząc, że pole tego trójkąta wynosi
17
15 cm2 oblicz jego obwód.
Zadanie 8
W trójkąt równoboczny o boku długości 6 cm wpisano kwadrat. Oblicz pole tego kwadratu.
Zadanie 9
Dany jest trójkąt prostokątny, w którym a i b oznaczają długości przyprostokątnych, 𝛼 jest miarą kąta ostrego
leżącego naprzeciw przyprostokątnej a. Wiadomo, że sin𝛼 =
tangens kąta 𝛼 oraz wartość wyrażenia 3 ∙
𝑎
𝑎−𝑏
+2∙
𝑏2
𝑎2 +𝑏 2
√10
.
10
Oblicz
.
Zadanie 10
Dany jest trójkąt prostokątny o polu 2√3 i kącie ostrym 30°. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.
KONKURS DLA UCZNIÓW KLAS TECHNIKUM W KATEGORII:
MISTRZ TRÓJKĄTÓW
ZADANIA DLA UCZNIÓW KLAS TRZECICH
Zadanie 1
Pole koła opisanego na trójkącie o bokach 3 cm,4 cm, 5 cm jest równe:
A.5𝜋 𝑐𝑚2
B. 6,25𝜋 𝑐𝑚2
C. 10𝜋 𝑐𝑚2
D. 25𝜋 𝑐𝑚2
Zadanie 2
Pole koła wpisanego w trójkąt prostokątny o bokach 15 cm, 36 cm, 39cm jest równe:
A.36𝜋 𝑐𝑚2
B. 25𝜋 𝑐𝑚2
C. 16𝜋 𝑐𝑚2
D. 9𝜋 𝑐𝑚2
Zadanie 3
Pole trójkąta wynosi 48 cm2, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 3 cm. Zatem obwód tego
trójkąta jest równy:
A.16 𝑐𝑚
B. 32 𝑐𝑚
C. 72 𝑐𝑚
D. 144 𝑐𝑚
Zadanie 4
W trójkącie dwa boki mają długość 8 cm i 5 cm, a kąt między nimi ma miarę 150°. Pole tego trójkąta jest równe:
A.20 𝑐𝑚2
B. 10√3 𝑐𝑚2
C. 10√2 𝑐𝑚2
D. 10 𝑐𝑚2
Zadanie 5
Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt równoramienny, w którym podstawa ma długość 10 cm zaś ramię ma
długość 13 cm.
Zadanie 6
W trójkącie równoramiennym wysokość poprowadzona do podstawy ma długość 6√6, a ramię jest o 30%
krótsze od podstawy. Oblicz obwód tego trójkąta.
Zadanie 7
Punkt S jest środkiem wysokości CD trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|=5 oraz |CD|=4. Ile
wynosi odległość punktu S od ramienia tego trójkąta.
Zadanie 8
Boki trójkąta mają długości 25 cm, 39 cm i 40 cm. Wykaż, że trójkąt jest ostrokątny oraz oblicz pole tego
trójkąta.
Zadanie 9
1
W trójkącie prostokątnym tangens jednego z kątów ostrych jest równy 1 . Wiedząc, że obwód tego trójkąta jest
3
równy 36 cm oblicz pole trójkąta oraz wysokość opuszczoną z wierzchołka kąta prostego.
Zadanie 10
Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy 17 cm, a promień okręgu wpisanego w ten
trójkąt jest równy 6 cm. Oblicz pole tego trójkąta.
KONKURS DLA UCZNIÓW KLAS TECHNIKUM W KATEGORII:
MISTRZ TRÓJKĄTÓW
ZADANIA DLA UCZNIÓW KLAS CZWARTYCH
Zadanie 1
Pole koła opisanego na trójkącie o bokach 3 cm,4 cm, 5 cm jest równe:
A.5𝜋 𝑐𝑚2
B. 6,25𝜋 𝑐𝑚2
C. 10𝜋 𝑐𝑚2
D. 25𝜋 𝑐𝑚2
Zadanie 2
Pole koła wpisanego w trójkąt prostokątny o bokach 15 cm, 36 cm, 39cm jest równe:
A.36𝜋 𝑐𝑚2
B. 25𝜋 𝑐𝑚2
C. 16𝜋 𝑐𝑚2
D. 9𝜋 𝑐𝑚2
Zadanie 3
Pole trójkąta wynosi 48 cm2, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 3 cm. Zatem obwód tego
trójkąta jest równy:
A.16 𝑐𝑚
B. 32 𝑐𝑚
C. 72 𝑐𝑚
D. 144 𝑐𝑚
Zadanie 4
W trójkącie dwa boki mają długość 8 cm i 5 cm, a kąt między nimi ma miarę 150°. Pole tego trójkąta jest równe:
A.20 𝑐𝑚2
B. 10√3 𝑐𝑚2
C. 10√2 𝑐𝑚2
D. 10 𝑐𝑚2
Zadanie 5
1
Dwa boki trójkąta mają długość 28cm i 25cm, a promień okręgu opisanego w tym trójkącie jest równy 14 .
6
Wiedząc ,że pole trójkąta wynosi 210 cm2, wyznacz długość trzeciego boku oraz promień okręgu wpisanego w
ten trójkąt.
Zadanie 6
Dwa boki trójkąta mają długość 7 i 8 a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy√5. Wiedząc, że pole
trójkąta wynosi 12√5 oblicz sinusy kątów tego trójkąta.
Zadanie 7
Dany jest okrąg (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 3 . Oblicz pole trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg.
Zadanie 8
Punkty A=(3;4), B=(0;3), C=(1;0) i należą do okręgu. Oblicz pole trójkąta równobocznego opisanego na tym
okręgu.
Zadanie 9
W trójkącie równobocznym ABC dane są wierzchołek A=(7;3√3) i środek okręgu wpisanego S=(4; 2√3 .
Oblicz pole trójkąta ABC.
Zadanie 10
Na przedłużeniu przeciwprostokątnej AB trójkąta prostokątnego ABC obrano punkt D tak że BD=BC. Oblicz
CD, jeśli wiadomo, że BC=15 cm i AC=8cm.