000420 Ciagi i szeregi funkcyjne

420 Ciągi i szeregi funkcyjne
Definicja
Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem i niech f n : X → K dla
n = 1,2,3,... , gdzie K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Ciąg
( f n ) nazywamy ciągiem funkcyjnym.
Definicja
Mówimy, Ŝe ciąg funkcyjny ( f n ) , gdzie f n : X → K dla n = 1,2,3,... jest zbieŜy
punktowo do funkcji f : X → K na zbiorze X , gdy ∀x ∈ X | f n ( x ) − f ( x ) |→ 0 ,
tzn.
∀ x ∈ X ∀ ε > 0 ∃ nε , x ∈ N ∀ n ≥ nε , x | f n ( x ) − f ( x ) |< ε .
Funkcję f ( x ) = lim f n ( x ) nazywamy granicą punktową ciągu funkcyjnego
n→∞
( f n ) . Piszemy wtedy f n ( x ) → f ( x ) dla kaŜdego x ∈ X .
Przykład
f n ( x ) = x n , x ∈< 0,+∞ ) . Jaka funkcja jest granicą punktową dla ciągu ( f n ( x )) ?
Definicja
Mówimy, Ŝe ciąg funkcyjny ( f n ) , gdzie f n : X → K dla n = 1,2,3,... jest zbieŜny
jednostajnie do funkcji f : X → K na zbiorze X , gdy sup | f n ( x ) − f ( x ) |→ 0 ,
x∈ X
tzn.
∀ ε > 0 ∃ nε ∈ N ∀ n ≥ nε sup | f n ( x ) − f ( x ) |< ε .
x∈ X
Funkcję f (x ) nazywamy granicą jednostają ciągu funkcyjnego ( f n ) . Piszemy
wtedy f n →
f na zbiorze X .
→
Uwaga
ZbieŜność jednostajna ciągu implikuje zbieŜność punktową.
Granicą jednostajną ciągu funkcyjnego moŜe być jedynie funkcja będąca
granicą punktową tego ciągu.
Jeśli f n →
f na zbiorze X , to równieŜ f n →
f na kaŜdym podzbiorze Y ⊂ X .
→
→
Mimo, Ŝe f n →
/ f na zbiorze X (punktowo lub jednostajnie), ciąg ( f n ) moŜe
być zbieŜny (punktowo lub jednostajnie) na pewnym podzbiorze Y ⊂ X .
1
Przykłady
f n ( x ) = x n . Wtedy
ciąg ( f n ) nie jest zbieŜny jednostajnie na przedziale < 0,1 > .
Jeśli 0 < δ ≤ 1 to ciąg ( f n ) jest zbieŜny jednostajnie na przedziale
< 0,1 − δ > .
Ciąg f n ( x ) = x n (1 − x ) n jest zbieŜny jednostajnie na < 0,1 > .
Ciąg f n ( x ) = x n (1 − x n ) nie jest zbieŜny jednostajnie na < 0,1 > .
Kryterium Cauchy’ego zbieŜności jednostajnej ciągu funkcyjnego
Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem i niech f n : X → K dla
n = 1,2,3,... , gdzie K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Ciąg
funkcyjny ( f n ) jest zbieŜny jednostajnie na zbiorze X wtedy i tylko wtedy, gdy
∀ ε > 0 ∃ nε ∈ N ∀ n, m ≥ nε sup | f n ( x ) − f m ( x ) |< ε .
x∈ X
Dowód
Definicja
Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem i niech f n : X → K dla
n = 1,2,3,... , gdzie K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych.
Szereg ∑ f n ( x ) nazywamy szeregiem funkcyjnym.
n
Definicja
Szereg funkcyjny
∑f
n
( x ) , gdzie f n : X → K dla n = 1,2,3,... nazywamy
n
zbieŜnym punktowo do funkcji f : X → K na zbiorze X , gdy jego ciąg
n
funkcyjny sum częściowych sn ( x ) = ∑ f k ( x ) jest zbieŜny punktowo do funkcji
k =1
f na zbiorze X , tzn. ∀x ∈ X | sn ( x ) − f ( x ) |→ 0 , a więc
∀x ∈ X ∀ ε > 0 ∃ nε , x ∈ N ∀ n ≥ nε , x
n
∑f
k =1
Funkcję f (x ) nazywamy sumą punktową szeregu
k
( x) − f ( x) < ε .
∑f
n
( x ) . Piszemy wtedy
n
f ( x ) = ∑ f n ( x ) dla kaŜdego x ∈ X .
n
Przykład
f n ( x ) = x n , x ∈< 0,1) . Jaka funkcja jest sumą punktową szeregu
∑f
n
( x) ?
n
2
Definicja
Szereg funkcyjny
∑f
n
( x ) , gdzie f n : X → K dla n = 1,2,3,... nazywamy
n
zbieŜnym jednostajnie do funkcji f : X → K na zbiorze X , gdy jego ciąg
n
funkcyjny sum częściowych sn ( x ) = ∑ f k ( x ) jest zbieŜny jednostajnie do
k =1
funkcji f na zbiorze X , tzn. sup | sn ( x ) − f ( x ) |→ 0 , a wiec
x∈ X
n
∀ ε > 0 ∃ nε ∈ N ∀ n ≥ nε sup
∑f
x∈ X
k =1
k
( x) − f ( x) < ε .
Funkcję f (x ) nazywamy sumą jednostajną szeregu funkcyjnego ∑ f n ( x ) .
n
Piszemy wtedy
∑f
→
n→
f na zbiorze X .
n
Przykład
f n ( x ) = x n . Wtedy
∞
Szereg funkcyjny
< 0,1) .
∑x
n
nie jest zbieŜny jednostajnie na przedziale
n =0
Jeśli 0 < δ ≤ 1 to szereg funkcyjny
∞
∑x
n
jest zbieŜny jednostajnie na
n =0
kaŜdym przedziale < 0,1 − δ > do funkcji f ( x ) =
1
.
1− x
Uwaga
ZbieŜność jednostajna szeregu implikuje zbieŜność punktową.
Sumą jednostajną szeregu funkcyjnego moŜe być jedynie funkcja będąca
sumą punktową tego szeregu.
Kryterium Cauchy’ego zbieŜności jednostajnej szeregu funkcyjnego
Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem i niech f n : X → K dla
n = 1,2,3,... , gdzie K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych.
Szereg ∑ f n jest zbieŜny jednostajnie na zbiorze X wtedy i tylko wtedy, gdy
∀ ε > 0 ∃ nε ∈ N ∀ n > m ≥ nε sup |
x∈ X
n
∑f
k = m +1
k
( x ) |< ε .
Dowód
3
Kryterium Weierstrassa zbieŜności jednostajnej szeregu funkcyjnego
Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem i niech f n : X → K dla
n = 1,2,3,... , gdzie K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. JeŜeli
istnieje ciąg ( an ) nieujemnych liczb rzeczywistych taki, Ŝe
sup | f n ( x ) |≤ an dla wszystkich liczb n ∈ N ,
x∈ X
∑a
n
< +∞ ,
to szereg funkcyjny
∑f
jest zbieŜny bezwzględnie i jednostajnie na zbiorze
n
X.
Dowód
Funkcja dzeta Riemanna
∞
1
, dla x ∈ (1,+∞ ) przyjmuje skończone wartości.
x
n =1 n
Pytanie o wartość funkcji ζ (x ) (w dowolnym x ) nadal nie jest rozwiązane.
Hipoteza Riemanna (1859):
„Wszystkie rozwiązania równania ζ ( z ) = 0 , z ∈ C , leŜą na jednej prostej.”
nadal nie jest udowodniona.
Funkcja ζ ( x ) = ∑
Kryterium Abela zbieŜności jednostajnej szeregu funkcyjnego
Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem i niech f n : X → R dla
n = 1,2,3,... . JeŜeli
f n ( x ) ≥ 0 dla wszystkich n ∈ N i x ∈ X ,
ciąg liczbowy ( f n ( x )) jest monotoniczny dla kaŜdego x ∈ X ,
ciągi liczbowe ( f n ( x )) są wspólnie ograniczone, tzn. dla pewnej liczby
0 ≤ M < +∞
sup sup | f n ( x ) |≤ M ,
x∈ X n∈N
szereg funkcyjny
to szereg
∑f
n
∑ g ( x)
n
jest jednostajnie zbieŜny na X ,
( x ) g n ( x ) jest równieŜ jednostajnie zbieŜny na X .
Dowód
Kryterium Dirichletta zbieŜności jednostajnej szeregu funkcyjnego
Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem i niech f n : X → R dla
n = 1,2,3,... . JeŜeli
f n ( x ) ≥ 0 dla wszystkich n ∈ N i x ∈ X ,
ciąg liczbowy ( f n ( x )) jest nierosnący dla kaŜdego x ∈ X ,
ciąg ( f n ) jest zbieŜny jednostajnie do 0 na X ,
ciąg sum częściowych szeregu
∑ g ( x)
n
jest jednostajnie wspólnie
ograniczony na X , tzn. dla pewnej liczby 0 ≤ M < +∞
4
n
sup ∑ g k ( x ) ≤ M ,
x∈ X k =1
to szereg
∑f
n
( x ) g n ( x ) jest równieŜ jednostajnie zbieŜny na X .
Dowód
Przykład
∞
sin nx
jest jednostajnie zbieŜny na kaŜdym przedziale
n
n =1
< δ ,2π − δ >, gdzie 0 < δ < π .
∞
sin nx
Szereg ∑
nie jest jednostajnie zbieŜny na przedziale (0,2π ) .
n
n =1
Szereg
∑
5