Prezentacja pt. „Elementy Teorii Mnogości”

Elementy teorii mnogości
Konrad Skrzeczkowski 1b
Pojęcie zbioru
Pojęcie zbioru jest pojęciem pierwotnym, to znaczy takim
pojęciem jakiejś teorii, którego nie definiuje się w języku tej
teorii.
Gdybyśmy jednak spróbowali to sobie wytłumaczyć to
moglibyśmy powiedzieć ,że zbiór to nieuporządkowany zestaw
różnych obiektów.
Inkluzja i równość zbiorów
Zbiory oznaczamy na ogół dużymi literami np. A,B,C…
Elementy zbioru oznaczamy zwykle małymi literami np. a,b,c…
Zapis
oznacza, że przedmiot a jest elementem zbioru A. Podobnie
zapis, a  A oznacza, że przedmiot a nie jest elementem zbioru A.
Symbolem
oznaczamy zbiór pusty, to znaczy zbiór który nie posiada żadnego
elementu.
O zbiorze A powiemy, że zawiera się w zbiorze B ( co zapisujemy A  B ),
jeżeli każdy element zbioru A jest również elementem zbioru B.
Jeżeli A  B i B  A to mówimy, że zbiory A i B są równe co zapisujemy B  A.
Symbolem | A | oznaczamy moc zbioru A, to znaczy (w przypadku gdy zbiór A
jest skończony) ilość elementów zbioru A .
Zadania
Zadanie 1
Czy prawdą jest, że A  B jeżeli:
a)
A  {1;2;3;4;5;6;7}
b)
A  {1;2;9}
c)
A
,
,
B  {2;3;4;7}.
B  {2;9;11}.
zbiór wszystkich liczb rzeczywistych ,
Zadanie 2
Wypisz, wszystkie podzbiory zbioru
B
A  {1;2;3}
zbiór liczb całkowitych.
Działania mnogościowe na zbiorach
Sumą mnogościową zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony z wszystkich tych
elementów, które należą do zbioru A lub należą do zbioru B.
Sumę mnogościową zbiorów A i B oznaczamy symbolem A  B .
Iloczynem mnogościowym zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony z
wszystkich tych elementów, które jednocześni należą do zbioru A i do
zbioru B.
Iloczyn mnogościowy zbiorów A i B oznaczamy symbolem A  B
Różnicą mnogościową zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony z wszystkich
tych elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B.
Różnicę mnogościową zbiorów A i B oznaczamy symbolem A \ B .
Diagramy Venna
B\ A
Zadania
Wyznacz zbiory
a)
b)
,
A  {1;2;3;4;5;6;7}
A  {x  C : x | 16}
,
,
B  {2;3;4;7}
,
,
jeżeli:
,
B  {2;3;4;7} ,
c) Zbiór A jest zbiorem ludzi, zbiór B jest zbiorem ssaków.
Moc sumy zbiorów skończonych
Jeżeli A, B i C są zbiorami skończonymi to zachodzi następujący wzór
| A  B  C || A |  | B |  | C |  | A  B |  | A  C |  | B  C |  | A  B  C |
Podstawiając C   i uwzględniając , że |  || A   || B   || A  B   | 0
C 
Otrzymujemy wzór na moc sumy dwóch zbiorów skończonych
| A  B || A |  | B |  | A  B |
Zadania
W klasie jest 20 uczniów i każdy uczy się co
najmniej jednego języka, przy czym angielskiego
uczy się 10 osób, niemieckiego zaś 15 osób. Ile
osób uczy się języka angielskiego i języka
niemieckiego?