Podzielność w zadaniach OMG

Joanna Ochremiak, Poznajemy Olimpiadę Matematyczną Gimnazjalistów
Podzielność w zadaniach OMG
Reszty z dzielenia
1. (11 test próbny VII OMG) Liczby całkowite a, b, c są dodatnie. Każda z nich daje resztę 1
z dzielenia przez 3. Wynika z tego, że
T
a) liczba a + b + c jest podzielna przez 3;
T
b) suma cyfr liczby a + b + c jest podzielna przez 3;
T
c) liczby a + b oraz c są różne.
2. (4 1 etap IV OMG) Wyznacz wszystkie takie pary (a, b) dodatnich liczb całkowitych, że
liczba a + b jest liczbą pierwszą oraz liczba a3 + b3 jest podzielna przez 3.
3. (4 3 etap II OMG) Ile jest takich liczb n należących do zbioru {1, 2, ..., 2007}, dla których
liczba n4 − 1 jest podzielna przez 9?
4. (5 1 etap V OMG) Przy każdym wierzchołku 55-kąta foremnego napisano liczbę całkowitą. Żadna z tych liczb nie jest podzielna przez 5. Wykaż, że istnieją takie dwie liczby a
i b, napisane przy sąsiednich wierzchołkach tego wielokąta, że liczba a2 − b2 jest podzielna
przez 5.
5. (3 2 etap V OMG) Wyznacz wszystkie takie dodatnie liczby całkowite n, dla których
obie liczby
n2 + n + 1 oraz n2 + n + 3
są pierwsze.
6. (4 1 etap VII OMG) Każda spośród pewnych 99 liczb naturalnych ma w zapisie dziesiętnym 10 jedynek, 20 dwójek oraz pewną liczbę zer. Udowodnij, że liczb tych nie można
rozdzielić na dwie grupy w taki sposób, aby iloczyn liczb z pierwszej grupy był równy
iloczynowi liczb z drugiej grupy.
Parzysta — nieparzysta
7. (5 test próbny VII OMG) Suma pewnych czterech różnych dodatnich liczb całkowitych
jest liczbą nieparzystą. Wynika z tego, że
T
a) co najmniej jedna z tych liczb jest nieparzysta;
T
b) iloczyn tych liczb jest liczbą parzystą;
N
c) co najmniej dwie z tych liczb są parzyste.
8. (1 2 etap IV OMG) Wyznacz wszystkie trójki (a, b, c) liczb nieparzystych dodatnich
spełniające zależność
a+c−b a
= .
b+c−a b
9. (3 1 etap V OMG) Liczby całkowite a, b, c, d spełniają układ równań
(
a + b + c + d = 101
ab + cd = 200
Wykaż, że dokładnie jedna z liczb a, b, c, d jest nieparzysta.
Joanna Ochremiak, Poznajemy Olimpiadę Matematyczną Gimnazjalistów
10. (1 3 etap VI OMG) Czy istnieją takie liczby całkowite a i b, że liczby a2 +b oraz a+b2
są kolejnymi liczbami całkowitymi?
11. (4 2 etap II OMG) Czy istnieją takie dodatnie liczby całkowite a, b, c, d, że liczba
(a + b)(b + c)(c + d)(d + a)
jest w systemie dziesiętnym zakończona cyframi ” 10”?
12. (4 2 etap I OMG) Wyznacz wszystkie dodatnie liczby całkowite n, dla których liczba
14n − 9 jest pierwsza.
13. (4 2 etap III OMG) Czy istnieje taka dodatnia liczba całkowita n, dla której liczbę 2n
można przedstawić w postaci sumy co najmniej dwóch kolejnych dodatnich liczb całkowitych?
Cyfry
14. (4 1 etap III OMG) Dana jest liczba ośmiocyfrowa a. Liczba ośmiocyfrowa b powstaje
z liczby a poprzez przestawienie cyfry jedności liczby a na początek. Wykaż, że jeśli liczba
a jest podzielna przez 101, to liczba b jest także podzielna przez 101.
15. (1 3 etap IV OMG) Wyznacz wszystkie liczby całkowite dodatnie, które są 11 razy
większe od sumy swoich cyfr.
Liczby pierwsze i złożone
16. (8 test VII OMG) Dodatnia liczba całkowita n ma dokładnie trzy różne dodatnie
dzielniki. Wynika z tego, że
T
a) liczba n jest kwadratem pewnej liczby całkowitej;
N
b) liczba n jest iloczynem co najmniej dwóch różnych liczb pierwszych;
N
c) liczba n2 ma dokładnie sześć różnych dodatnich dzielników.
17. (1 1 etap V OMG) Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych a, b, c, dla których
a2 = b2 + c .
18. (1 3 etap V OMG) Dane są takie liczby całkowite a, b, c > 1, że największy wspólny
dzielnik liczb a − 1, b − 1, c − 1 jest większy od 1. Udowodnij, że liczba abc − 1 jest złożona.
19. (2 2 etap VI OMG) Dane są dodatnie liczby całkowite a i b. Wykaż, że jeżeli liczba a2
jest podzielna przez liczbę a + b, to także liczba b2 jest podzielna przez liczbę a + b.
20. (4 3 etap VI OMG) Liczby p i q są różnymi liczbami pierwszymi. Udowodnij, że liczba
p2 + q 2 nie jest podzielna przez liczbę p + q.
21. (5 3 etap I OMG) Dane są różne liczby pierwsze p, q oraz takie dodatnie liczby całkowite
a, b, że liczba aq daje resztę 1 przy dzieleniu przez p, a liczba bp daje resztę 1 przy dzieleniu
przez q. Wykaż, że
a b
+ > 1.
p q
22. (7 1 etap VI OMG) Udowodnij, że nie istnieją dodatnie liczby nieparzyste a i b spełniające równanie
a2 − b3 = 4 .