Document

DYSTRYBUANTA. WARTOŚĆ
OCZEKIWANA I WARIANCJA
Definicja. Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F : R 7→ [0, 1] określoną wzorem
F (x) = P (X 6 x),
x ∈ R.
Dystrybuanta wyznacza rozkład zmiennej losowej w
sposób jednoznaczny.
Rozkład skokowy: {(xk , pk ), k = 1, 2, . . .},
∑
F (x) =
pk ,
x ∈ R.
k: xk 6x
Dystrybuanta jest funkcją schodkowa, nieciągłą.
y6
qp
1q
pp
pp
pp
pp
pp
qp
4/5 q
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
p
pp
q
q
3/5
pp
pp
pp
ppp
ppp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
p
p
qp
2/5 q
p
p
ppp
pp
pp
pp
pp
ppp
ppp
ppp
pp
pp
pp
pp
pp
p
p
p
pp
pp
pp
pp
1/5 q qpppp
pp
ppp
ppp
ppp
pp
pp
pp
pqp
x1
pp
pp
ppq
pp
pp
pqp
pp
pp
pqp
x2 x3
x4
pp
pp
pqp
-
x
0
Dystrybuanta rozkładu skokowego.
1
x5
Na rysunku widzimy przykładową dystrybuantę rozkładu skokowego: zmienna losowa przyjmuje wartości
xk , k = 1, . . . , 5, przy czym x1 < . . . < x5, z jednakowymi prawdopodobieństwami 1/5 (co powoduje,
że wszystkie skoki tej funkcji są jednakowe i wynoszą
1/5).
Dla podanego przykładu z poprzedniego działu z loterią:

0, gdy x < 0



0,94, gdy 0 6 x < 10
F (x) =
0,99, gdy 10 6 x < 50



1, gdy x > 50.
Rozkład ciągły o gęstości f :
∫ x
F (x) =
f (u)du,
−∞
x ∈ R.
Dystrybuanta jest funkcją ciągłą.
Jeśli dystrybuanta ma pochodną w każdym punkcie, to
ta pochodna jest gęstością odpowiadającą temu rozkładowi, czyli F ′(x) = f (x).
Pożyteczny wzór:
P (a < X 6 b) = P (X 6 b)−P (X 6 a) =
∫ b
= F (b)−F (a) =
f (x)dx.
a
2
Dystrybuanta rozkładu N (0, 1).
Pożyteczna własność rozkładu normalnego (standaryzacja): jeśli X ma rozkład N (a, σ 2), to Y = X−a
σ ma
rozkład N (0, 1), bowiem
X −a
6 x) = P (X 6 σx+a) = FX (σx+a)
FY (x) = P (
σ
=⇒ fY (x) = FY′ (x) = σFX′ (σx+a) = σfX (σx+a) =
1
(σx + a − a)2
x2
1
=σ·√
exp(−
) = √ exp(− ).
2
2σ
2
2πσ
2π
Przykład. Stwierdzono, że wzrost dorosłych Polaków
jest cechą X o rozkładzie normalnym N (176, 82). Jakie
jest prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba będzie
miała wzrost w granicach od 174 do 184 cm?
Niech X ma rozkład N (176, 82), wówczas X−176
ma
8
rozkład N (0, 1). Zatem
174−176 X −176 184−176
P (174 < X < 184) = P (
<
<
)=
8
8
8
3
X −176
= P (−0,25 <
< 1) = Φ(1) − Φ(−0,25),
8
gdzie Φ(·) jest dystrybuantą odpowiadającą rozkładowi
N (0, 1). Z tabeli wartości tej dystrybuanty odczytujemy, że
Φ(1) − Φ(−0,25) ≈ 0,841 − 0,401 = 0,440
(jeśli w tabeli nie są podane wartości dystrybuanty dla
ujemnych argumentów, to stosujemy wzór Φ(−x) =
1 − Φ(x)).
Własności dystrybuanty:
(i) jest funkcją niemalejącą;
(ii) jest funkcją prawostronnie ciągłą (czyli ciągła z prawej strony i niekoniecznie ciągła ze strony lewej);
(iii) limx→−∞ F (x) = 0, limx→+∞ F (x) = 1.
Definicja. Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X
nazywamy liczbę
∑
EX =
xk pk
(o ile istnieje),
k
gdy X ma rozkład skokowy wyznaczony przez
{(xk , pk ), k = 1, 2, . . .}, oraz liczbę
∫ +∞
EX =
xf (x)dx
(o ile istnieje),
−∞
4
gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f.
Jeśli zmienna losowa X posiada wartość oczekiwaną,
to zmienna losowa aX + b dla dowolnych a, b ∈ R też
posiada wartość oczekiwaną oraz
E(aX + b) = aEX + b.
Jeśli zmienne losowe X1, X2, . . . , Xn posiadają wartości oczekiwane, to zmienna losowa X1 +X2 +· · ·+Xn
też posiada wartość oczekiwaną oraz
E(X1 + X2 + · · · + Xn) = EX1 + EX2 + · · · + EXn.
Dla podanego przykładu z poprzedniego działu z loterią:
EX = 0 · 0,94 + 10 · 0,05 + 50 · 0,01 = 1.
Jeśli X ma rozkład dwupunktowy wyznaczony przez
{(x1, p), (x2, 1 − p)}, to EX = x1p + x2(1 − p).
∑n
1
Jeśli X ma rozkład równomierny, to EX = n i=1 xi.
Jeśli X ma rozkład dwumianowy (Bernoulliego) o parametrach n i p, to EX = np.
Jeśli X ma rozkład Poissona z parametrem λ, to EX = λ.
5
Jeśli X ma rozkład jednostajny U (a, b), to EX =
a+b
2 .
Jeśli X ma rozkład wykładniczy E(λ), to EX = λ1 .
Jeśli X ma rozkład normalny N (a, σ 2), to EX = a.
Definicja. Wariancją zmiennej losowej X nazywamy
liczbę
VarX = E(X−EX)2 = EX 2−(EX)2 (o ile istnieje).
∑
∑
2
(skokowy) VarX =
xk pk −(
xk p k )2
∫
k
+∞
k
x f (x)dx − (
∫
+∞
2
(ciągły) VarX =
−∞
xf (x)dx)2
−∞
Jeśli zmienna losowa X posiada wariancję, to zmienna
losowa aX + b dla dowolnych a, b ∈ R też posiada
wariancję oraz Var(aX + b) = a2VarX.
Dla podanego przykładu z poprzedniego działu z loterią:
VarX = 02 · 0,94 + 102 · 0,05 + 502 · 0,01 − 12 = 29.
Jeśli X ma rozkład dwupunktowy wyznaczony przez
{(x1, p), (x2, 1 − p)}, to VarX = (x1 − x2)2p(1 − p).
6
Jeśli X ma rozkład
równomierny,
∑
gdzie x̄ = n1 ni=1 xi.
to VarX = n1
∑n
2
(x
−
x̄)
,
i
i=1
Jeśli X ma rozkład dwumianowy (Bernoulliego) o parametrach n i p, to VarX = np(1 − p).
Jeśli X ma rozkład Poissona z parametrem λ, to VarX = λ.
Jeśli X ma rozkład jednostajny U (a, b), to VarX =
(b−a)2
12 .
Jeśli X ma rozkład wykładniczy E(λ), to VarX =
1
.
λ2
Jeśli X ma rozkład normalny N (a, σ 2), to VarX = σ 2.
Definicja. Zmienne losowe X1, X2, . . . , Xn nazywamy niezależnymi, jeśli dla dowolnych zbiorów B1, B2,
. . . , Bn ∈ B(R) zachodzi
P (X1 ∈ B1, X2 ∈ B2, . . . , Xn ∈ Bn) =
= P (X1 ∈ B1)P (X2 ∈ B2)·. . .·P (Xn ∈ Bn).
(Intuicyjnie: zmienne losowe są niezależne, jeżeli wyniki odpowiednich doświadczeń nie mają wpływu na
siebie.)
Dla niezależnych zmiennych losowych:
E(X1X2 . . . Xn) = EX1 · EX2 · . . . · EXn;
Var(X1 +X2 +. . .+Xn) = VarX1 +VarX2 +. . .+VarXn.
7