OKRĘGI DOPISANE DO TRÓJKĄTA

OKRĘGI DOPISANE DO
TRÓJKĄTA
Definicja okręgu dopisanego do
trójkąta
Okręgiem dopisanym do trójkąta nazywamy
okrąg, który jest styczny do jednego boku i
przedłużeń dwóch pozostałych boków.
Środek okręgu dopisanego wyznaczany jest
jako punkt przecięcia dwusiecznych kątów
zewnętrznych przy dwóch wierzchołkach trójkąta
i dwusiecznej kąta wewnętrznego przy trzecim
wierzchołku.
Rysunek poglądowy
•
•
•
•
•
•
•
•
•
A1, A2, A3 – wierzchołki
trójkąta,
Q1, Q2, Q3 – środki okręgów
dopisanych do trójkąta,
r1, r2, r3 – promienie okręgów
dopisanych,
r – promień okręgu wpisanego w
trójkąt,
S – środek okręgu wpisanego w
trójkąt,
1, 2, 3 - kąty w trójkącie
(przy czym kąt 1 leży przy
wierzchołku A1, 2 przy A2, 3
przy A3),
R – promień okręgu opisanego
na trójkącie,
m1, m2, m3 – środkowe trójkąta,
p – połowa obwodu,
Wzory na pole trójkąta
Pole trójkąta A1, A2, A3 równa się sumie pól
trójkątów parami przestających SD1A2 i
SD2A2, SD2A3 i SD3A3, SD3A1 i SD1A1.
P  2P1  2 P2  2 P3
Wiemy, że:
1
 ( p  a2 )  r
2
1
P2   ( p  a1 )  r
2
1
P3   ( p  a3 )  r
2
P1 
Więc:
P  ( p  a2 )  r  ( p  a1 )  r  ( p  a3 )  r
P  r  ( p  a2  p  a1  p  a3 )
P  r  (3 p  2 p)
P  r p
P  ( p  ai )  ri
dla i = 1,2,3
p  WA2  a3  WA1  a3  A1D3
ponieważ A1Q2W jest taki sam
jak  A1Q2D3 (mają wspólną
przeciwprostokątną A1Q2, tej
samej długości przyprostokątną
Q2W i Q2D3 równą r2 i
odpowiadający kąt prosty).
Z trójkąta A2Q2W wynika, że :
tg
2
tg
2
tg
2
2
2
2

WQ2 r2

WA2
p

r2
p

r
p  a2
p  r  r2  ( p  a2 )
P  r2  ( p  a2 )
Rozpatrując trójkąty A1Q1W2 i
A3Q3W3 analogicznie dowodzimy,
że
P  r1  ( p  a1 )
P  r3  ( p  a3 )
Wzór na promień okręgu wpisanego
w trójkąt
Wiadomo, że:
r
P
p
P  p  r
Podstawiając za pole trójkąta wzór Herona otrzymamy:
r
p( p  a1 )( p  a2 )( p  a3 )
p
Podnosimy obie strony równania do kwadratu.
r2 
r2 
p( p  a1 )( p  a2 )( p  a3 )
p2
( p  a1 )( p  a2 )( p  a3 )
p
Po z pierwiastkowaniu dochodzimy do wzoru końcowego.
r
( p  a1 )( p  a2 )( p  a3 )
p
Zależności między długościami
boków trójkąta a promieniami
okręgów dopisanych
r1  (r2  r3 )
a1 
r1  r2  r2  r3  r1  r3
r2  (r1  r3 )
a2 
r1  r2  r2  r3  r1  r3
r3  (r1  r2 )
a3 
r1  r2  r2  r3  r1  r3
Bok a1 ma długość:
a1  2  p  a2  a3
a1  ( p  a2 )  ( p  a3 )
Korzystając ze wzoru na pole trójkąta:
p  a2 
P
r2
p  a3 
P
r3
A zatem:
a1 
P P

r2 r3
Sprowadzamy do wspólnego mianownika.
a1 
r2  P  r3  P
r2  r3
a1 
P  (r2  r3 )
r2  r3
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta.
P  r  r1  r2  r3
a1 
r  r1  r2  r3  (r2  r3 )
r2  r3
a1 
r1  (r2  r3 )
r1  r2  r2  r3  r1  r3
Obie strony równanie podnosimy do
kwadratu.
r  r1  r2  r3  ( r2  r3 ) 2
a1 
2
2
r2  r3
2
r  r1  ( r2  r3 ) 2
r2  r3
a1 
2
Obliczamy r ze wzoru:
1 1 1 1
  
r r1 r2 r3
r
r1  r2  r3
r1  r2  r2  r3  r1  r3
i podstawiamy do wzoru na a1.
r1  r2  r3  (r2  r3 ) 2
a1 
(r1  r2  r2  r3  r1  r3 )  r2  r3
2
2
r1  (r2  r3 ) 2
r1  r2  r2  r3  r1  r3
2
a1 
2
Pierwiastkujemy obie strony równania i otrzymujemy wzór końcowy.
a1 
r1  (r2  r3 )
r1  r2  r2  r3  r1  r3
Rozumując analogicznie i uwzględniając wzory:
a2  ( p  a1 )  ( p  a3 )
a3  ( p  a1 )  ( p  a2 )
dowodzi się wzory na :
a2 
r2  (r1  r3 )
r1  r2  r2  r3  r1  r3
a3 
r3  (r1  r2 )
r1  r2  r2  r3  r1  r3
Długość środkowej trójkąta
Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta
A1A2P wynika:
()
1
1
m12  a32  (  a1 ) 2  2  a3   a1  cos  2
2
2
1 2
m12  a32   a1  a3  a1  cos  2
4
Z trójkąta A1A2A3 wyliczymy cos.
a22  a32  a12  2  a3  a1  cos 
a22  a32  a12
cos  
 2  a3  a1
Do wzoru () podstawiamy wyliczony cos2.
a 2  a32  a12
1
m12  a32  a12  a3  a1  2
4
 2  a3  a1
m12 
4a32 a12 a22  a3  a1  a33  a1  a13  a3
 
4
4
 2  a3  a1
4a32 a12 (a22  a32  a12 )  a3  a1
m 
 
4
4
 2  a3  a1
2
1
m12 
m12 
m12 
m12 
m12 
m12 
4a32 a12 a22  a32  a12
 
4
4
2
2
2
2
4a3 a1 2(a2  a32  a12 )
 
4
4
4
2
2
2
4a3 a1 2a2  2a32  2a12
 
4
4
4
2
2
2
4a3  a1  2a2  2a32  2a12
4
2
2
2a3  2a2  a12
4
1
 (2a32  2a22  a12 )
4
W analogiczny sposób udowadniamy wzory dla m2 i m3.
1
 (2a32  2a12  a22 )
4
1
m32   (2a22  2a12  a32 )
4
m22 
r1 
P
p  a1
Zależność między środkowymi a
promieniami okręgów dopisanych.
r1  r2  r3  r  4R
Dowód:
r1  r2  r3  r  4R
Udowadniamy.
Z wzoru na pole trójkąta wiemy, że:
r1 
P
p  a1
Następnie korzystamy ze wzoru Herona:
p( p  a1 )( p  a2 )( p  a3 )
r1 
p  a1
r1 
2
p( p  a1 )( p  a2 )( p  a3 )
( p  a1 ) 2
r1 
2
p( p  a2 )( p  a3 )
( p  a1 )
r1  ( p  a1 )  p( p  a2 )( p  a3 )
2
r1  r1  ( p  a1 )  p( p  a2 )( p  a3 )
r1  ( p  a1 )  P
A zatem:
r1  P  p( p  a2 )( p  a3 )
r1 
p( p  a2 )( p  a3 )
P
W analogiczny sposób wyliczamy r2 i r3.
r2 
p ( p  a1 )( p  a3 )
P
r3 
p( p  a2 )( p  a1 )
P
Następnie obliczamy lewą stronę równania:
r1  r3  r3  r  4R
r1  r3  r3  r 
p( p  a2 )( p  a3 ) p( p  a1 )( p  a3 ) p( p  a2 )( p  a1 ) ( p  a1 )( p  a2 )( p  a3 )



P
P
P
P
r1  r3  r3  r 
a1a2 a3
P
Podstawiamy do wzoru:
r1  r3  r3  r  4R
a1a2 a3
 4R
P
R
a1a2 a3
4  P
WYKONALI:
DAWID OBAL
SŁAWOMIR MOŁOKO
POD NADZOREM
PANI
mgr ELŻBIETY WESOŁOWSKIEJ