Matura 2016P III zestaw cz III


Materiał powtarzany w II etapie
II 4. Ciągi
3𝑛 − 1, 𝑑𝑙𝑎 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑧𝑦𝑠𝑡𝑦𝑐ℎ
1. Wyznacz sześć początkowych wyrazów ciągu 𝑎𝑛 = {𝑛+1
, 𝑑𝑙𝑎 𝑛 𝑛𝑖𝑒𝑝𝑎𝑟𝑧𝑦𝑠𝑡𝑦𝑐ℎ
𝑛−2
2. Które wyrazy ciągu 𝑎𝑛 = 𝑛2 − 2𝑛 − 2 są równe 1?
3. Uzasadnij, że liczby
4
,
1
√5−1 √5+2
, √5 − 5 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.
4. Oblicz sumę stu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (𝑏𝑛 ), w którym
𝑏1 =
𝜋
2
i iloraz 𝑞 = −√2.
5. Oblicz 𝑥 wiedząc, że liczby 4, 𝑥 − 5, 36 tworzą ciąg geometryczny.
6. Dany jest ciąg 𝑎𝑛 =
𝑛−1
𝑛
. Wyznacz wzór ogólny ciągu 𝑏𝑛 = 𝑎𝑛+2 − 𝑎𝑛 , gdzie
n ∈ 𝑁 +.
7.
Ciąg (an) dany jest wzorem an = n2 – 20. Wyznacz liczbę ujemnych wyrazów tego ciągu.
8. Wpłacono na lokatę 5000 zł . Oblicz stan oszczędności po trzech latach, jeżeli
oprocentowanie w skali roku wynosi 4%, a odsetki są kapitalizowane co pół roku.
9. Znajdź średnią arytmetyczną drugiego i czwartego wyrazu ciągu 𝑎𝑛 =
2𝑛2 −3
𝑛2 +1
.
10. Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 2 i są
mniejsze od 100.
11. Liczby x1 i x 2 są pierwiastkami równania 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = 0. Wykaż, że liczby x1, −√3 ,
x 2 tworzą ciąg geometryczny.
12. Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego równa się 2, a piąty jest równy 12. Oblicz sumę
siedmiu początkowych wyrazów tego ciągu.
13. Liczby 3,x,y są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Jeśli liczbę x zmniejszymy o
5, a liczbę y zwiększymy o 17, to otrzymane liczby będą kolejnymi wyrazami ciągu
geometrycznego. wyznacz wartości liczbowe x i y.
14. Dany jest ciąg arytmetyczny (an) dla n ≥ 1, w którym a7=1, a12=11 .
Oblicz pierwszy wyraz a1 i różnicę r ciągu (an).Sprawdź, czy ciąg (a7, a8, a11) jest
geometryczny.
15. W pewnym ciągu arytmetycznym wyraz dziesiąty jest liczbą dwa razy większą niż
wyraz piąty i zarazem liczbą o 2 mniejszą od wyrazu piętnastego.
Znajdź pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
n 3 n
16. Dany jest ciąg (a n ) określony wzorem a n   1
dla n  1. Oblicz a4  3a1
n2
17. Oblicz sumę wszystkich parzystych liczb całkowitych dodatnich nie większych od 500
i niepodzielnych przez 5.
18. Marek chce przekopać przydomowy ogródek. Pierwszego dnia przekopał 27m². Aby
przyspieszyć prace postanowił każdego następnego dnia przekopać o 4m² więcej niż
poprzedniego. W ciągu ilu dni zakończy pracę, jeśli powierzchnia ogródka wynosi 7,83
a?
19. W ciągu geometrycznym różnica kwadratów pierwszego i drugiego wyrazu wynosi 12,
zaś różnica kwadratów pierwszego i trzeciego wyrazu 15. Znajdź 5 wyraz tego ciągu.
20. Liczby 7, x+5, y-2, -8 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz 𝑥 𝑦 .
21. Znajdź te wyrazy ciągu 𝑎𝑛 =
𝑛2 +12𝑛+8
𝑛
, które są liczbami naturalnymi.
22. Ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛 ) jest określony wzorem 𝑎𝑛 = −𝑛2 − 4√3 dla 𝑛 ≥ 1. Sprawdź,
którym wyrazem tego ciągu jest liczba −32 − (2 + √3)2 .
23. Ciąg (6, 𝑥, 18) jest arytmetyczny, a ciąg (𝑥, 48, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny. Oblicz
𝑥, 𝑦 oraz 𝑧.
24. Za trzy książki, których ceny tworzą ciąg geometryczny, zapłacono 57 złotych.
Za pierwszą i drugą razem zapłacono o 3 złote więcej niż za trzecią.
Ile zapłacono za każdą z książek?
Matura 2015 (maj i czerwiec)
1. W rosnącym ciągu geometrycznym (an), określonym dla n > 0, spełniony jest warunek
a4 = 3a1. Iloraz q tego ciągu jest równy
A)
1
3
B)
1
3
√3
3
C) √3 D) 3
2. Kwotę 1000 zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokosci 4%
w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest
podatek w wysokości 19%. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można
wypłacić z banku, jest równa
A)
1000 (1 -
D) 1000 (1 -
81
4
100 100
19
4
100 100
) B)
1000 (1 +
19
4
100 100
)
C) 1000 (1 +
81
4
100 100
)
)
3. W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n > 0, suma jedenastu
początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego,
trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an),
w podanej kolejności , tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn).
Oblicz k.
4. Ciąg geometryczny (an) jest określony wzorem an = 2n , dla n > 0. Suma dziesięciu
początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
A) 2(1-210) B) -2(1-210) C) 2(1+210) D) -2(1+210)
5. Suma pierwszego i szóstego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 13.
Wynika stąd, że suma trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równa
A) 13 B) 12 C) 7 D) 6
6. Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (an), dla n > 0 taki, że a5 = 18.
Wyrazy a1 , a3 oraz a13 tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim
wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na n - ty wyraz ciąg (an).
II 3. Geometria
25. Rozważmy prostokąt o polu mniejszym od 24, w którym jeden bok jest od drugiego
dłuższy o 5. Oblicz długość dłuższego boku prostokąta, jeśli jest ona liczbą całkowitą
parzystą.
26. Na przekątnej 𝐴𝐶 równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 obrano punkt 𝐾.
Wyznacz stosunek pól trójkątów 𝐴𝐾𝐵 𝑖 𝐴𝐷𝐾
27. Wykaż, że w równoległoboku dwusieczne sąsiednich kątów wewnętrznych są
prostopadłe.
28. Miary kątów trójkąta są w stosunku 1:2:3. Obwód koła opisanego na tym trójkącie jest
równy 12𝜋. Oblicz pole tego trójkąta.
29. Pięć jednakowych puszek o średnicy 6 cm chcemy okleić taśmą w sposób pokazany na
rysunku. Czy do takiego oklejenia wystarczy nam taśmy, jeżeli jej długość wynosi 48
cm? Odpowiedź uzasadnij.
30. Oblicz stosunek pola koła opisanego na trójkącie równobocznym o boku a do pola koła
wpisanego w ten trójkąt
31. Stosunek długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równy 3:4, a jego pole
wynosi 48 dm2. Oblicz obwód tego trójkąta.
32. W trójkącie prostokątnym 𝐴𝐵𝐶 przyprostokątna 𝐴𝐶 jest 6 razy krótsza niż
przeciwprostokątna 𝐴𝐵.
Oblicz: a) 𝑠𝑖𝑛(∡𝐶𝐵𝐴), b) 𝑡𝑔(∡𝐶𝐴𝐵).
33. W dwóch trójkątach równoramiennych kąty przy podstawach są równe.
Podstawa i ramię w jednym trójkącie wynoszą odpowiednio 5cm i 8cm, a obwód
drugiego trójkąta wynosi 35cm. Oblicz długość podstawy i ramienia drugiego trójkąta.
34. Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o obwodzie 20cm, jeżeli
wiesz, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 1 cm.
35. Architekt zaprojektował klomb w kształcie trójkąta prostokątnego równoramiennego
o przyprostokątnych długości 8 m. W środku klombu ma być okrągła sadzawka. Jaka
jest maksymalna średnica tej sadzawki?
36. W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma miarę 120 . Oblicz obwód
tego trójkąta, wiedząc że jego podstawa ma długość 10 cm.
37. Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 7 i 9 opisano okrąg.
Oblicz długość promienia tego okręgu.
38. Oblicz długość boku trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o promieniu długości
2.
39. Na trójkącie opisano okrąg. Wierzchołki trójkąta podzieliły okrąg w stosunku 2:3:4.
Oblicz miary kątów trójkąta.
40. Miara kąta utworzonego przez dwa promienie okręgu wynosi 130 . Oblicz miarę kąta,
który tworzą styczne poprowadzone przez końce tych promieni.
41. Oblicz pole trapezu prostokątnego, w którym ramiona mają długości 15 i 9, a krótsza
podstawa ma długość 6
42. Długość jednej z przekątnych rombu wynosi 8, zaś pole tego rombu jest równe 24.
Oblicz długość boku i wysokości rombu.
43. Na jednym z ramion kata o wierzchołku O wybrano punkty A, B, na drugim ramieniu
punkty C, D, przy czym OA = OC oraz OB = OD. Wykaż, że trójkąty OAD i OCB są
przystające.
44. Oblicz długość boku trójkąta równobocznego wiedząc, że wysokość tego trójkąta jest o
1 krótsza od jego boku.
45. Stosunek obwodów dwóch trójkątów równobocznych jest równa 3, zaś suma ich pól
wynosi 20√3. Oblicz długość boku każdego z tych trójkątów.
46. W okręgu narysowano dwie średnice AB i CD. Udowodnij, że czworokąt ACBD jest
prostokątem.
47. Oblicz pole prostokąta, którego przekątne tworzą kąt 60o wiedząc, że dłuższy bok tego
prostokąta ma długość 12.
48. Oblicz obwód czworokąta wiedząc, że jego przekątna, której długość wynosi 7, dzieli go
na dwa trójkąty o obwodach 25 i 35.
49. Wyznacz kąty wewnętrzne trójkąta równoramiennego wiedząc, że kąt wewnętrzny przy
podstawie jest 4 razy większy od kąta wewnętrznego między ramionami.
50. W trójkącie ABC kąty wewnętrzne przy wierzchołkach A i C są odpowiednio równe 80o
i 70o. Wyznacz kąt ostry między wysokościami tego trójkąta poprowadzonymi
z wierzchołków A i C.
51. Dwusieczna kąta prostego tworzy z wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną kąt
12o. Wyznacz kąty ostre tego trójkąta.
52. Wiadomo, że trójkąt A`B`C` jest podobny do trójkąta ABC, w którym AB=12, BC=10,
AC=8. Oblicz długości boków trójkąta A`B`C` wiedząc, że jego obwód jest równy 45.
53. Oblicz długości odcinków na jakie dzieli przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego
o przyprostokątnych długości 9 i 12 wysokość opuszczona na tę przeciwprostokątną.
54. Trójkąt o bokach 8, 10, 12 podzielono prostą równoległą do najdłuższego boku na
trójkąt i trapez o równych polach. Oblicz obwód otrzymanego trapezu.
55. W okręgu rysujemy średnicę AB i równoległą do niej cięciwę CD. Udowodnij, że
różnica miar kątów ACD i CAD jest równa 90o.
56. Obwód równoległoboku jest równy 48, zaś stosunek długości jego wysokości wynosi
5:7. Oblicz długości boków tego równoległoboku.
57. Punkt P dzieli średnicę okręgu na odcinki o długościach 18 i 8. Oblicz długość cięciwy
tego okręgu przechodzącej przez punkt P i prostopadłej do tej średnicy.
58. Drabinę o długości 5m oparto o ścianę budynku na wysokości 2,5m. Oblicz miarę kąta,
jaki tworzy drabina z ziemią.
Matura 2015 (maj i czerwiec)
1. Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 200 mniejsza od miary kąta środkowego opartego na
tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa:
A) 50 B) 100 C) 200 D) 300
2. Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę α. Wtedy
A) 140 < α < 150 B) 290 < α < 300 C) 600 < α < 610 D) 750 < α < 760
3. Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty k i M są
środkami odcinków - odpowiednio - AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że
1
1
3
3
|BL| = |BE| i |DN| =
|DE| (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN
do pola kwadratu ABCD jest równy 1:3.Zadanie 17 (1 pkt)
4. Miary kątów wewnętrznych pewnego trójkąta pozostają w stosunku 3 : 4 : 5.
Najmniejszy kąt wewnętrzny tego trójkąta ma miarę:
A) 450 B) 900 C) 750 D) 600
5. W trójkącie ABC w którym |AC| = |BC| , na boku AB wybrano punkt D taki, że
|BD| = |CD| oraz |ACD| = 210 (zobacz rysunek). Wynika stąd, że kąt BCD ma miarę:
A) 570 B) 530 C) 510 D) 550
6. Długości boków trójkąta są liczbami całkowitymi. Jeden bok ma 7 cm a drugi 2 cm.
Trzeci bok tego trójkąta może mieć długość:
A) 12 cm B) 9 cm C) 6 cm D) 3 cm
7. Boki trójkąta mają długości 20 i 12, a kąt między tymi bokami ma miarę 1200.
Pole tego trójkąta jest równe:
A) 60
B) 120 C) 60 3 D) 120 3
8. Bok AB czworokąta ABCD wpisanego w okrąg jest średnicą tego okręgu
(zobacz rysunek). Udowodnij, że: |AD|2 + |BD|2 = |BC|2 + |AC|2