Tajemniczy ciąg Fibonacciego

Tajemniczy ciąg
Fibonacciego
Przygotowała:
Justyna Wolska
Leonardo
Fibonacci
włoski matematyk pochodzący z Pizy,
żył w latach 1175-1250.
Bez większej przesady można
powiedzieć, że europejska
matematyka po wielu wiekach
uśpienia zaczęła się odradzać
na przełomie XII i XIII wieku
dzięki i za sprawą
Fibonacciego nazwanego też
Leonardo z Pizzy.
 Matematyk epoki średniowiecza.
 Wprowadził do Europy cyfry arabskie.
 Zwolennik i propagator dziesiątkowego
systemu liczbowego.
 Uważał 0 za pierwszą liczbę naturalną.
 Zajmował się rozkładem liczby na
czynniki pierwsze.
 Pracował nad cechami podzielności.
 Nauczał działań na liczbach mieszanych i na ułamkach.
 Dodawał i odejmował ułamki o różnych mianownikach
sprowadzając je do wspólnego mianownika – znajdując
najmniejsza wspólną wielokrotność mianowników.
Ciąg Fibonacciego
to ciąg liczb naturalnych określony w następujący sposób:
Pierwsza liczba: 1
Druga liczba : 1
Trzecia liczba : 2
Czwarta liczba : 3
Każda następna liczba jest sumą dwóch liczb poprzednich.
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987, …
Ciąg Fibonacciego ma zastosowanie w geometrii –
pokrycie płaszczyzny kwadratami będącymi n-tym
wyrazem ciagu.
Ciąg Fibonaciego
należy do ulubionych ciągów
spotykanych w przyrodzie – można go
odnaleźć w wielu jej aspektach –
zarówno w kształtach fizycznych
struktur, jak i w przebiegu zmian
w strukturach dynamicznych.
W XIII w. Leonardo Bonacci, postawił w jednym ze swych dzieł następujący
problem:
Ile par królików może spłodzić jedna para królików w
ciągu roku, jeżeli staje się płodna po miesiącu, a w
ciągu miesiąca może spłodzić jedną parę?.
Policzmy.
W pierwszym miesiącu jest
jedna para królików, w
następnym dalej jedna, gdyż
jeszcze się nie rozmnożyła.
W trzecim miesiącu są już
dwie stara i młoda. W
czwartym trzy, gdyż stara para
rozmnoży się ponownie. W
piątym miesiącu mamy pięć
par, gdyż rozmnożyły się już
dwie pary. Ogólnie każda
kolejna liczba jest sumą dwóch
poprzednich, jako że pierwsza z
nich reprezentuje potomstwo
płodnych par, a druga liczbę par
dorosłych królików, która
pozostaje bez zmian.
Okazuje się, że ta błaha z pozoru zależność często
odzwierciedlana jest w przyrodzie. Przyjrzyjmy się trutniom.
Samiec pszczoły przeciwieństwie do samicy (królowej, która
ma zarówno ojca, jak matkę – inną królową) powstaje
wyłącznie dzięki matce.
Jak więc wygląda jego drzewo genealogiczne?
samiec ---- samica
samica
samiec ---- samica
I
I
I
samica
samiec ---------- samica
I
I
samiec --------------------------- samica
I
samica
I
samiec
Również wśród roślin występuje ta zależność.
Przykładem może być wszędobylski krwawnik, którego pędy
rozwijają się zgodnie z naszym ciągiem.
Jeszcze jedną ciekawostką dotyczącą ciągu Leonarda z Pizy jest spirala
Fibonacciego.
Najlepszym jej przykładem w przyrodzie są muszle. Gdyby spojrzeć na muszlę
łodzika (morskiego mięczaka) w przekroju:
widać, że ułożona jest spiralnie i zbudowana z szeregu komór, z których każda
następna jest większa od poprzedniej dokładnie o tyle, ile wynosi wielkość tej
poprzedniej. Wynika to z faktu, że im są większe, tym szybciej rosną.
Własności ciągu Fibonacciego
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
Jeśli od kwadratu którejkolwiek liczby z ciągu
Fibonacciego odejmiemy iloczyn liczb sąsiednich,
to zawsze otrzymamy 1 lub -1.
Sprawdź: