LICZBY RZECZYWISTE 1) Zbadaj, która z dwóch danych liczb jest

LICZBY RZECZYWISTE
1) Zbadaj, która z dwóch danych liczb jest większa nie posługując się przybliżeniami
i kalkulatorem. Odpowiedź uzasadnij.
2  3 czy 10
a)
b) 3100  2150 czy 350  2 75
c) 19 4 czy 16 18  20  22
d)
32003  1
czy
32004  1
32004  1
32005  1
(V PKM, etap rejonowy, poziom II)
2) Wykaż, że każda z poniższych liczb jest wymierna:
a)
42 3
3
10  6 3
 3
3 2 2  6 4 2
b)
3 2
c)
3 2
2 6
d) 3 20  14 2  3 20  14 2
e)
3
5 2 3
52
3) Wykaż, że
1
1
1
1
1
99


 ... 


1 2 2  3 3  4
98  99 99  100 100
4) Wykaż, że
1
1
1
1
1
50


 ... 


1 3 3  5 5  7
97  99 99  101 101
5) Oblicz sumę
1
1

1
1 2

1
2 3
 ...... 
1
999  1000
6) Długości butów trzech braci wyrażają się różnymi liczbami naturalnymi z przedziału
(20; 40) cm (przedział otwarty). Gdy odmierzali pokój o długości 3m 60cm otrzymali
dokładnie całkowite pomiary długości pokoju w (swoich) stopach. Podaj długość
butów każdego z braci.
7) Wykaż, że
44,44...  6,666...
8) Wyznacz wszystkie liczby całkowite n, takie, że liczba
n  11
jest całkowita.
n7
9) Dla jakich liczb naturalnych n ułamek
n3  n 2  2
jest liczbą całkowitą.
n 1
10) Wykaż, że dla dowolnej liczby całkowitej m liczba mm  1m  2m  3  1 jest
kwadratem liczby całkowitej.
11) Liczba m jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych. Wykaż, że liczba 2m też
ma tę własność.
12) Liczba m jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych. Wykaż, że liczba 13m też
ma tę własność.
n 4 n3 n 2
13) Sprawdź, czy dla dowolnej liczby naturalnej n liczba
jest kwadratem


4
2
4
liczby naturalnej.
14) Zapis liczby n w systemie dziesiętnym składa się z 2004 dziewiątek. Ile dziewiątek
występuje w zapisie dziesiętnym liczby n 2
Wskazówka: n  9999...9  10 2005  1
Odp. 2004 dziewiątek
15) Udowodnij, że jeśli w liczbie sześciocyfrowej cyfra pierwsza jest równa czwartej,
druga piątej, trzecia szóstej (licząc od rzędu najwyższego do najniższego) to liczba ta
jest podzielna przez 7, 11 i 13.
16) Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej n liczba n 3  3n 2  n  3 jest podzielna
przez 48.
17) Udowodnij, że różnica kwadratów dwóch liczb całkowitych nie dzielących się przez 3
jest podzielna przez 3.
18) Udowodnij, że kwadrat liczby naturalnej, która nie jest podzielna przez 3, przy
dzieleniu przez 3 daje resztę 1.
19) Pewna liczba całkowita przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, a przy dzieleniu przy 4
daje resztę 1. Jaką resztę daje ta liczba przy dzieleniu przez 12?
Odp. 5
20) Wykaż, że liczba 3111...115 (n jedynek) jest podzielna przez 7.
21) Wykaż równości:
a) 33...334 2  11...155...56
(n trójek, n+1 jedynek, n piątek)
b) 66...67 2  44...488...89
(n szóstek, n+1 czwórek, n ósemek)
22) Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p takie, że liczba p  4 jest kwadratem liczby
naturalnej.
23) Czy istnieje liczba pierwsza p taka, że liczba p  16 jest kwadratem liczby
naturalnej.
24) Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p i q takie, że liczba 4 pq  1 jest kwadratem
liczby naturalnej.
Odp. (2, 3), (3, 2)
25) Udowodnij, że jeżeli liczby 12 i n są względnie pierwsze, to n 2  1 jest podzielne
przez 24.
Rozwiązanie:
N jest liczbą nieparzystą, gdyż w przeciwnym wypadku 12 i n nie byłyby względnie
pierwsze. Zatem n-1 i n+1 są parzyste, a jedna z nich jest podzielna przez 4.Wśród
trzech kolejnych liczb n-1, n, n+1 jest dokładnie jedna podzielna przez 3. Nie może
być nią n, zatem n-1 albo n+1jest podzielne przez 3. Oznacza to podzielność iloczynu
przez 24. (V PKM, etap powiatowy, poziom II)
26) Znajdź wszystkie liczby pierwsze p i q takie, że p 2  2q 2  1 .
Odp. p=3, q=2
27) Znajdź wszystkie liczby pierwsze p, q, r takie, że p  q  r  pq  1
p  2
p  3


Odp. q  3 lub q  2
r  2
r  2


28) Wiedząc, że a  b  c  5 i
1
1
1
12
c
a
b





oblicz
.
ab bc ac 5
ab bc ac
(V PKM, etap powiatowy, poziom II)
Odp. 9
29) Udowodnij, że jeżeli a 3  b 3 i a  b są liczbami wymiernymi oraz a  b  0 , to
a 2  b 2 jest również liczbą wymierną.
30) Wykaż, że jeśli istnieją liczby całkowite a , b takie, że 2a  3b jest wielokrotnością
17, to 9a  5b też jest wielokrotnością 17.
Wskazówka: 9a  5b  17a  b  8a  12b  17a  b  42a  3b