Zmiana wartości pieniądza w czasie

Zmiana wartości pieniądza
w czasie
Stopa dyskontowa
Wydatki i efekty następują w różnym czasie, trzeba
więc uwzględnić fakt, że wartość pieniądza zmienia się
w czasie, więc taka sama suma pieniędzy będzie miała
inną wartość w różnym czasie. Aby doprowadzić do
porównywalności sumy pieniędzy wydatkowanych
w różnym czasie posługujemy się metodą dyskonta.
Współczynnik dyskontujący określony jest wzorem:
at = (1 + i)–t
i – stopa dyskontowa,
t – liczba lat pomiędzy rokiem rozpatrywanym a rokiem,
w którym poczyniona została inwestycja (rokiem
bazowym).
Stopa dyskontowa
Dla lat poprzedzających rok bazowy at staje się
współczynnikiem kapitalizacji odsetek pozwalającym na
obliczenie wartości końcowej (F – Final (lub Future)
Value) przy znanej wartości bieżącej (P - Present
Value), tzn.
Ft = P (1 + i)t
Dla lat następnych po roku bazowym at staje się
współczynnikiem wartości bieżącej, pozwalającym na
obliczenie wartości bieżącej P przy znanej wartości
końcowej F, tzn.
Pt = F(1 + r)–t
Dyskontowanie pieniądza
Wartość końcową kapitału po n latach, przy np.
oprocentowaniu składanym okresowym określa wzór:
Sn = S (1 + r ) n
wyrażenie (1 + r ) nosi nazwę czynnika
oprocentowującego i jest oznaczane symbolem u:
Sn =S u n
S
Przyszła wartość pojedynczej wpłaty
czynnik oprocentowujący
Współczynnik Sn / S. określa przyszłą wartość
wpłaty S=1 zł po „n” okresach procentowych
o stopie „r”
0
1
2
Sn
n
= (1 + r ) ; Sn = u n
S
Sn
Dyskontowanie pieniądza
Równanie pozwala obliczyć wartość początkową
pożyczonego kapitału:
Sn
S=
1
(1 + r) n
(1 + r ) n
wyrażenie
nosi nazwę czynnika dyskontującego
i jest oznaczane symbolem v, można zapisać je więc w
następującej postaci: S = Sn v n
S
Aktualna wartość pojedynczej wpłaty
Współczynnik S / Sn określa aktualną wartość
wpłaty 1 zł dokonanej po n okresach
procentowych od dzisiaj przy oprocentowaniu
„r” w okresie
0
1
n
2
S
1
=
S n (1 + r )n
Sn
Dyskontowanie pieniądza
W przypadku gdy przedmiotem oprocentowania składanego
okresowego są coroczne stałe raty A ponoszone na koniec roku
wartość końcowa kapitału Sn oprocentowanego procentem r
wyniesie:
n −1
2
S n = A(1 + r )
+ ... + A(1 + r ) + A(1 + r ) + A
S n (1 + r ) = A(1 + r ) n + ... + A(1 + r ) 2 + A(1 + r )
Odejmując powyższe równania od drugiego pierwsze otrzymujemy:
Wyrażenie
Sn
=
A
S n (1 + r ) − S n = A(1n+ r ) n − A
(1 + r ) −1
Sn = A
r
(1 + r ) n − 1
r
nosi nazwę czynnika kapitalizującego
Współczynnik Sn / A określa przyszłą wartość wpłat 1 zł w n okresach
procentowych przy oprocentowniu „r” w okresie
Dyskontowanie pieniądza
Wysokość rat można przedstawić na dwa sposoby :
a)
1
r
A = Sn = Sn
s
(1 + r ) n − 1
A
r
=
wyrażenie S n (1 + r )n − 1
jest nazywane odwrotnością czynnika
kapitalizującego.
Współczynnik A / Sn określa aktualną wartość wpłat okresowych, w n okresach
procentowych przy oprocentowaniu „r” w okresie których Sn wartość jest równa 1 zł
b)
n
1
1
r
(
1
+
r
)
A = S n = S (1 + r ) n ⋅ = S
s
s
(1 + r ) n − 1
wyrażenie
nosi nazwę czynnika umorzeniowego
Współczynnik A / S. określa wielkość wpłaty w n okresach procentowych
których wartość aktualna S jest 1 zł
Dyskontowanie pieniądza
Wartość początkowa kapitału:
wyrażenie
(1 + r ) n − 1
S=A
r (1 + r ) n
n
S r ⋅ (r + 1)
jest nazywane odwrotnością czynnika
=
n
A (r + 1) − 1
umorzeniowego
Współczynnik S / A określa teraźniejszą wartość wpłat 1 zł w n okresach
procentowych przy oprocentowaniu „r” w okresie
Dyskontowanie pieniądza
Wartość początkowa kapitału:
wyrażenie
(1 + r ) n − 1
S=A
r (1 + r ) n
n
S r ⋅ (r + 1)
jest nazywane odwrotnością czynnika
=
n
A (r + 1) − 1
umorzeniowego
Współczynnik S / A określa teraźniejszą wartość wpłat 1 zł w n okresach
procentowych przy oprocentowaniu „r” w okresie
Oprocentowanie natychmiastowe
Wartość końcowa kapitału obliczaliśmy ze wzoru :
rnom 

S n = S 1 +

m 

mn
a
m
Po podstawieniu za r = a i pamiętając, iż
nom
równanie można przekształcić następująco:
a

1 
S n = S 1 +  
 a  
Wyrażenie
e rnom
1

lim 1 +  = e powyższe
a →∞
a

rnom n
= S ⋅ e rnomn
nosi nazwę czynnika oprocentowującego.
Oprocentowanie natychmiastowe
Wartość początkowa kapitału liczymy z następującego
wzoru:
S=
Sn
e rnomn
1
Przy czym
e rnom
nosi nazwę czynnika dyskontującego.
Stawkę nominalną (nieciągłą) rnom i stawkę efektywną
(ciągłą) r można połączyć następującą zależnością:
m
rnom 

r
1 + r = 1 +
 = e nom
m 

m
 r 
r = 1 + nom  − 1 = errnom
→∞ − 1
m 

rnom = ln(1 + r )
Oprocentowanie natychmiastowe
W przypadku gdy przedmiotem oprocentowania są nakłady A
ponoszone na koniec roku, to często zastępuje się je coroczną sumą
nakładów A ponoszonych stale w ciągu roku. Po podzieleniu roku na m
okresów otrzymujemy kolejną grupę wzorów na:
–
wartość końcową pożyczonego kapitału po n latach; oblicza się
rnom
(1 + r ) n − 1
r
=
S
=
A
n
podstawiając do wzoru
m . Otrzymujemy
r
wtedy:
m
nrnom
rnom
 rnom 
1 +

A
m 
Sn =
rnom
m
m
−1
e rnomn − 1
=A
rnom
e rnomn − 1
Wyrażenie r
reprezentuje czynnik kapitalizujący.
nom
Oprocentowanie natychmiastowe
W ysokość corocznych nakładów :
A = Sn
W yrażenie
rnom
e rnom n − 1
rnom
e
rnom n
jest
−1
odw rotnością
czynnika
kapitalizującego .
rn
Podstaw iając S n = S ⋅ e otrzym ujem y:
rnom ⋅ e rnom n
rnom
A = S rnom n
=S
e
−1
1 − e − rnom n
W yrażenie
rnom ⋅ e
e
um orzeniow ym .
r nom n
r nom n
−1
jest
z
kolei
czynnikiem
Oprocentowanie natychmiastowe
Wartość początkowa kapitału obliczamy z wzoru:
S=A
e
Wyrażenie
e
rnom n
rnom ⋅ e
rnom n
rnom ⋅ e
umorzeniowego.
−1
rnom n
− rnom n
1− e
=A
rnom
−1
rnom n
jest
odwrotnością
czynnika
Oprocentowanie składane i natychmiastowe
Oprocentowanie
składane
natychmiastowe
Symbol
czynnika
Oprocentowanie
składane okresowe
Czynnik
oprocentowujący
Czynnik
dyskontujący
u
1+ r
v
1
1
=
u 1+ r
Czynnik
kapitalizujący
s
(1 + r ) n − 1
r
Odwrotność
czynnika
kapitalizującego
Czynnik
umorzeniowy
1
s
r
(1 + r ) n − 1
p
r (1 + r ) n
(1 + r ) n − 1
rnom ⋅ e nom
(1 + r ) n − 1
r (1 + r ) n
e nom − 1
Nazwa czynnika
Odwrotność
czynnika
umorzeniowego
1
p
e
r nom
1
r
e nom
r
n
r
n
e nom − 1
rnom
rnom
e nom − 1
r
r
n
n
e nom − 1
r
n
rnom ⋅ e
rnom n