Druga lista zadań z Algebry 2 Zad.1. Sprawdź, że podane

Druga lista zadań z Algebry 2
Zad.1. Sprawdź, że podane funkcje ( q , q ) są iloczynami skalarnymi w rozważanych przestrzeniach liniowych:
a) (~x, ~y ) = 2x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + x2 y2 dla ~x = (x1 , x2 ), ~y = (y1 , y2 ) ∈ R2 ;
"
4 −1
b) (~x, ~y ) = [x1 x2 ]
−1 1

#"
y1
y2
#
dla ~x = (x1 , x2 ), ~y = (y1 , y2 ) ∈ R2 ;


2 0 −1
y1



c) (~x, ~y ) = [x1 x2 x3 ]  0 1 0   y2  dla ~x = (x1 , x2 , x3 ) , ~y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 ;
y3
−1 0 1
d) (p, q) =
n+1
X
p (xi ) q (xi ) dla p~, ~q ∈ Rn [x], gdzie x1 < x2 < . . . < xn+1 ;
i=1
Z1
(x + 1)f (2x)g(2x) dx dla f, g ∈ C ([−2, 2]) .
e) (f, g) =
−1
Zad.2. Uzasadnij dlaczego podane funkcje ( q , q ) nie są iloczynami skalarnymi w rozważanych przestrzeniach
liniowych:
a) (~x, ~y ) = 2x1 y1 + 3x1 y2 − x2 y1 + 5x2 y2 dla ~x = (x1 , x2 ) , ~y = (y1 , y2 ) ∈ R2 ;



1 2 −1
y1



b) (~x, ~y ) = [x1 x2 x3 ]  1 4 −1   y2  dla ~x = (x1 , x2 , x3 ) , ~y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 ;
y3
3 8 1
c) (p, q) = p(1)q(1) − p(2)q(2) dla p, q ∈ R1 [x];
d) (p, q) =
n
X
p (xi ) q (xi ) dla p, q ∈ Rn [x], gdzie x1 < x2 < . . . < xn ;
i=1
Zb
|f (x)g(x)| dx dla f, g ∈ C ([a, b]);
e) (f, g) =
a
Z1
f ) (f, g) =
−1
x
2
f (x)g
dx dla f, g ∈ C ([−1, 1]) .
Zad.3. W przestrzeni euklidesowej E 4 ze zwykłym iloczynem skalarnym:
a) oblicz normę wektora (−1, 1, 2, −3);
b) zbadaj ortogonalność wektorów (1, 4, −1, 2), (3, −1, 2, −1);
c) oblicz kąt między wektorami (1, 3, 0, −1), (3, 1, 1, 0);
d) opisz zbiór wszystkich wektorów ortogonalnych do każdego z wektorów (2, 1, 0, 1), (0, −2, 1, 1) i wskaż jeden
wektor z tego zbioru o normie równej 2.
Zad.4. Sprawdź, że podane zbiory wektorów są bazami ortogonalnymi lub ortonormalnymi w odpowiednich
przestrzeniach euklidesowych:
1
1
a) ~v1 = √ (3, −1) , ~v2 = √ (1, 3);
10
10
b) ~v1 = (1, 3, −2), ~v2 = (−1, 1, 1), ~v3 = (5, 1, 4);
c) ~v1 = (1, 1, 1, 1), ~v2 = (3, −1, −1, −1), ~v3 = (0, 2, −1, −1), ~v4 = (0, 0, 1, −1);
d) p1 ≡ 1, p2 = 2 − x, p3 = 6 − 3x − x2 w przestrzeni R2 [x] z iloczynem skalarnym (q1 , q2 ) = a1 a2 +
(3a1 − b1 ) (3a2 − b2 ) + (2b1 + c1 ) (2b2 + c2 ) , gdzie q1 = a1 x2 + b1 x + c1 , q2 = a2 x2 + b2 x + c2 .
1 cos x sin x cos 2x sin 2x
Zad.5. Uzasadnij ortonormalność układu nieskończonego funkcji √ , √ , √ , √ , √ , . . . w przeπ
π
π
π
2π
Z2π
strzeni C ([0, 2π]) z iloczynem skalarnym (f, g) =
f (x)g(x) dx.
0
Zad.6. Zortogonalizuj metodą Grama–Schmidta podane układy wektorów:
a) (2, 1, 3), (1, 6, 2) w przestrzeni E 3 ;
b) (4, 3, 2, 1), (4, 3, 2, 0), (4, 3, 0, 0) w przestrzeni E 4 ;



2 −1 0
y1



c) (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) w przestrzeni R3 z iloczynem skalarnym (~x, ~y ) = [x1 x2 x3 ]  −1 1 0   y2  ,
y3
0 0 2
Z1
d) 1, x + 1, |x|, sin x w przestrzeni C ([−1, 1]) z iloczynem skalarnym (f, g) =
f (x)g(x) dx.
−1
Zad.7. Wyznacz bazy ortogonalne danych przestrzeni euklidesowych zawierające wskazane wektory:
a) (1, −1, 2) w przestrzeni E 3 ;
b) (1, 1, 1, 1) w przestrzeni E 4 ;
c) (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, −1) w przestrzeni E 4 ;
d) (1, 0, 3, −2), (−1, 0, 1, 1), (5, 0, 1, 4) w przestrzeni E 4 ;
2
e) f1 ≡ 1 w przestrzeni lin 1, sin x, sin x , x ∈ [0, π], z iloczynem skalarnym (f, g) =
Zπ
f (x)g(x) dx.
0
Zad.8. Wyznacz dopełnienie ortogonalne podanych podprzestrzeni liniowych przestrzeni euklidesowej E n , jeżeli
a) V = lin {(1, 1, 0), (0, 1, 1)} ⊂ E 3 ;
b) V = lin {(2, 0, 0, 0), (1, 3, 3, 0), (0, 4, 6, 1)} ⊂ E 4 ; c) V = lin {(1, 1, 0, −1), (0, 1, 1, −1)} ⊂ E 4 .
Zad.9. Wyznacz dopełnienie ortogonalne podanych podprzestrzeni liniowych
a) V = {p ∈ R3 [x] : p(0) = 0}; b) V = p ∈ R3 [x] : p0 (0) = 0
, w przestrzeni R3 [x] z iloczynem skalarnym
Z1
(p, q) =
p(x) q(x) dx. Wyznacz dopełnienia ortogonalne tych podprzestrzeni w przestrzeni R3 [x].
−1
Zad.10. Sprawdź, że podane wektory są ortogonalne do wskazanych podprzestrzeni przestrzeni euklidesowych:
a) E0 = lin {(2, 0, 3, 1), (−1, 1, 2, 0), (1, 1, 0, 1)}, ~v = (1, 1, 0, −2) ∈ E 4 ;
b) E0 = R1 [x], p0 =
6x2
− 6x + 1 w przestrzeni R2 [x] z iloczynem skalarnym (p, q) =
Z1
p(x)q(x) dx.
0
Zad.11. Znajdź rzuty ortogonalne podanych wektorów na wskazane podprzestrzenie przestrzeni euklidesowych:
a) ~u = (3, −1, 1) ∈ E 3 , E0 jest płaszczyzną π : 2x − y + 3z = 0 w E 3 ;
b) ~u = (3, 1, 2, 0) ∈ E 4 , E0 = lin {(1, 2, 1, 2), (0, 1, 1, 1)};
c) ~u = (1, 0, 0, 0) ∈ E 4 , E0 = lin {(1, 1, 0, 0), (0, 1, 2, 0), (0, 0, 3, 4)};
d) f = x, E0 = lin {1, cos x} w przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych na przedziale [0, 2π] z iloczynem
Z2π
skalarnym (f, g) =
f (x)g(x) dx.
0
Zad.12. Wyznacz rzuty ortogonalne podanych wektorów na podprzestrzenie o wskazanych bazach ortogonalnych:
a) ~u = (2, 1, 3) ∈ E 3 , E0 = lin {(−1, 4, 1)};
b) ~u = (1, −1, 2, 0) ∈ E 4 , E0 = lin {(2, 0, 1, −1), (1, 1, −2, 0), (1, 1, 1, 3)};
c) ~u = (1, 2, . . . , n) ∈ E n , E0 = lin {(1, 0, . . . , 0), (0, . . . , 0, 1)};
d) p =
x2
n
o
− x, E0 = lin 1, 2x − 1 w przestrzeni R[x] z iloczynem skalarnym (p, q) =
Z1
p(x)q(x) dx.
0
Cześć zadań z list 1 i 2 pochodzi ze skryptu T.Jurlewicz, Z.Skoczylas, Algebra liniowa 2. Przykłady i zadania.