LICZBY I ZBIORY – POWTÓRZENIE 1 / zeszyt kl

1
LICZBY I ZBIORY – POWTÓRZENIE 1 / zeszyt kl. I /
„Zdaj maturę”
1
1
1
1
1
1. 2/15 Oblicz :
Odp. 2005  1


 ... 

1 2
2 3
3 4
2003  2004
2004  2005
n 1
2. 1/116. Które z poniższych zdań jest prawdziwe ? Liczba postaci : 2  6  2  3  6
jest:
A. wielokrotnością liczby 8 dla każdej liczby naturalnej n
B. wielokrotnością liczby 5 dla pewnej liczby naturalnej n
C. wielokrotnością liczby 1944 dla pewnej liczby naturalnej n Odp. a, b , c
n
n 1
 2  3n2
3. 3/116 . Które z poniższych zdań jest prawdziwe ? Różnica 3 5  2  3 5  2 jest :
A. dodatnią liczbą niewymierną
B. liczbą naturalną
C. równa 1
4. 4/116. Zdanie „ Marek zdał maturę i nieprawda , że jeśli Jacek zrobił prawo jazdy , to Mirek nie
obronił pracy magisterskiej” jest prawdziwe . Czy możesz wnioskować , że Marek zdał maturę , Jacek
zrobił prawo jazdy , zaś Mirek obronił pracę magisterską ? uzasadnij swoje rozumowanie . odp.tak
5. 7/117. Wykaż , że 3 5 jest liczbą niewymierną .
6. 8/117. Korzystając z własności wartości bezwzględnej doprowadź do najprostszej postaci i podaj
1
konieczne założenia : x  1  3  x  1  3  2
Odp. 1
x  2x  8
7. 9/117. Suma dwóch liczb naturalnych dodatnich wynosi 504 , a ich największy wspólny dzielnik 36.
Wyznacz wszystkie pary liczb o tej własności .
8. 10/117. uzasadnij , że jeśli dowolne liczby całkowite a oraz b przy dzieleniu przez 5 daja odpowiednio
reszty równe 2 oraz 3 , to reszta z dzielenia podwojonej sumy kwadratów tych liczb przez 10 wynosi 6 .
9. 11/117. Usuń niewymierność z mianownika :
A.
1
odp.
15  6  35  14


5 2 7 3
12
B.
10. 1/121. Dzielnikiem liczby 28 ! jest :
A. 19
B. 77
C. 47
Odp. A,b
4
11. 6/121. Porównaj liczby : a  5  2 6 

12. 12/151. Oblicz : tg 25  tg  112
0
13. 3/188.Dane są liczby :
0
x  25

 tg45
3 2
0
, b  9  4 5  14  6 5 Odp.a=b
 tg 202  tg 650 Odp. 1
log0 , 2 3 log5
0
4
25
oraz y  log 1 1,5 . Zatem :
2
A. x jest liczbą wymierną
1 
B. x   ;1
3 
C. x – y < 0
odp. A , b
3
1 a
14. 4/188. Wiadomo , że log 3 4  a . Oblicz wartość log 12 27 .
Odp.
15. 5/188. Którą z poniższych własności ma funkcja o wzorze f ( x) 
1
:
3  3 x
x
 1
B. f (x)   0,  dla każdej liczby x  R
 2
C. Dla argumentu log 94 osiąga wartość równą 0,4 .
odp. A,b,c
A. jest parzysta
2
1
log3 6
 81
16. 4/193. Liczba postaci : 36
A. naturalna B. parzysta C. pierwsza
17. 6/193. uporządkuj rosnąco liczby : a 
1
log4 9
jest:
odp. A , b c
1
1
1
1


, b  0,125 3 , c 
Odp.bca.
log 3  log 4 
log 11 
18. 14/265. Wykaż , że jeżeli a , b  R , oraz a 2 + b 2 = 7 a b , to log
ab 1
 log a  log b  .
3
2

x
19. 18/269. Dla jakich x , suma trzeciego i piątego wyrazu dwumianu 
 2 

1
2 x 1
n

 jest równa


135 , jeżeli suma współczynników trzech pierwszych wyrazów równa 22. Odp. – 1 , 2 .
3
20. 4/313. Aby usunąć niewymierność z mianownika ułamka :
7
23 7
, korzystamy ze wzoru :
a3 – b 3 = ( a – b ) ( a 2 + a b + b 2 ) . Wykonaj powyższą czynność korzystając z powyższego wzoru .
odp. 43 7  23 49  7 .
Człapiński cz.II
21. 1/29. zapisz w postaci potęgi liczby 2 :
2 3  3
8
4
8 4 32
 2
4
1
2
22. 4/30. Dane liczby ustaw w ciąg rosnący : x  11  6 2 ,
Odp. 2 4
y  33 2 , z 
2
22 2
.
Odp. Z > x > y
23. 9/31. Ustal która z liczb jest większa :
1
log 27  log 7 , y  1  log 42  log 20
3
B. x  2 log 5  log 0,3, y  3 log 2  1
A. x 
x=y
x>y
4
2b  a
25. 11/31. Oblicz log 56 , jeżeli log 2 = a i log 2 7 = b .
odp. a ( b + 3 ) .
26. 13/31. Wiadomo , że log12 18 = a i log 24 54 = b . Uzasadnij , że 5 ( a –b ) + ab = 1 .
5  17
5  17
,
27. 1/115. Liczby :
, są pierwiastkami równania : x 2 – m 2x – n 2x + m n = 0 .
2
2
Wyznacz m i n .
odp. ( 2 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( - 2 , - 1 ) , ( - 1 , - 2 )
24. 10/31. Oblicz log 15 49 , jeżeli log 7 9 = a i log 7 45  b .
28. 8/119. Uporządkuj liczby : a 
1
2 3
, b  cos

6
 sin
Odp.

6
1
1
, c  2 2  3 2 . Odp. bca
Człapiński cz. I
29. 4/125. Wyznacz : NWW ( 14 , 35 , 112 ) , NWD ( 72 , 128 , 960 ) Odp. 560 , 8 .
30. 1/125. Wiedząc , że zdania p i q są prawdziwe , a zdanie r jest fałszywe , oceń uzasadniając wartość
logiczną zdań :
A. p  q  r  /1/ B. p  r  q  /0/ C. 7 nie jest liczbą złożoną lub 5 jest dzielnikiem liczby 20
/1/ .
14 19
, .
31. 5/126. Zapisz w postaci ułamka zwykłego : 0 , ( 14 ) , - 1 , 0 ( 5 ) . Odp.
99 18
3
Boniecka.
32. 10/23. Porównaj dodatnie liczby x , y :
A. log 2,1 x < log 2,1 y
B. log 0,75 x > log 0,75 y
5 cos 25 0
2 cos1630
3tg34 0
B.
C.
33. 42/31. Oblicz : A.
Odp. 5/4 , - 2 , 3/2
4 sin 115 0
sin 730
2ctg56 0
34.23/42. Oblicz log c x , wiedząc , że log a x = p , log b x = q , log abc x = r , a,b,c  R , a,b,c  1
odp.
rpq
pq  rq  rp
35. 24/42.Sprawdź tożsamość : log a x 
b
log a x  log b x
.
log b x  log a x
36. 1/106. Liczby a i b przy dzieleniu przez 5 dają te samą resztę 3 . Uzasadnij , że różnica kwadratów
liczb a i b jest podzielna przez 5 .
37. 2/106. Wykaż , że jeżeli od czwartej potęgi liczby całkowitej odejmiemy kwadrat tej liczby , to
otrzymana liczba jest podzielna przez 12 .
38. 3/106. Wykaż , że suma dowolnej liczby dodatniej różnej od 1 i odwrotności tej liczby jest większa od
2.
39. 4/106. Wykaż , że różnica kwadratów każdej pary liczb nieparzystych jest podzielna przez 8 .
1
1
40. 5/106. Wiedząc , że x 
jest liczbą całkowitą udowodnij , że x 2  2 jest liczbą całkowitą .
x
x
41. 1/108. Dwie liczby naturalne m i n przy dzieleniu przez p dają równe reszty . Uzasadnij , że różnica
kwadratów liczb m i n jest podzielna przez p .
42. 2/108. Wykaż , że dla każdej liczby naturalnej n niepodzielnej przez 3 każda liczba postaci n 2 + 2
dzieli się przez 3 .
43. 3/108. Liczby m i n są naturalne i żadna z nich nie jest podzielna przez 3 . Wykaż , że różnica m 2 – n 2
jest podzielna przez 3 .
4 8
44. 5/108. Wykaż , że dla każdego a > 0 zachodzi : a   2  2 .
a a
45.12/109. Wykaż , że jeśli a,b > 0 i a,b  1 , to : | log a b + log b a |  2 .
46. 13/109. Wykaż , że jeśli a, c, b > 1 , log a c + log b c
10  10  10 
10 
47. Oblicz : A.         ...   
0 1 2
10 
1997
1997
1997
48. Wyznacz ostatnia cyfrę liczby 2  3  5
 4 log ab c .
odp. 2
49. Aby wyznaczyć ułamek zwykły, który ma rozwinięcie dziesiętne 0,(172) można postąpić następująco:
(1)
(2)
Po odjęciu stronami równania oznaczonego (1) od równania oznaczonego (2) mamy:
Przeprowadź analogiczne rozumowanie i znajdź ułamek zwykły, który ma rozwinięcie dziesiętne
0,(75).
4
50. Podaj odpowiednie założenia i wykonaj działanie
3x 3  3 y 3 x 2  2 xy  y 2
:
2x  2 y
4x 2  4 y 2
51. Dane są liczby
5
3
 
3 1
1
3
a1  log  3 , a 2  log 1  , a3  2 0,1 , a 4 
, a5    , a 6  2
3
3 1
5
 
2 1
2 1
A. Która z podanych liczb jest rozwiązaniem równania : log 2 x  1,9 log 2 x  0,2 ?
B. Uzasadnij , które z podanych liczb są większe , które mniejsze od 1 , a które równe 1 ?
C. Rozwiąż nierówność x  a1 x  a2 x  a3 x  a6   0
Odpowiedź : A. a 3
B. a1< 1 , a 2 < 1 , a 3 > 1 , a 4 < 1 , a 5 < 1 , a 6 > 1
C.
0 ,1
x  2 ,2  log  3
2


52.
53. Wykaż , że :
A. Jeżeli n  N i n nie jest podzielne przez 3 to n 2 + 2 jest podzielne przez 3 .
B. Jeżeli a  C , to a 3 – a jest podzielne przez 6 .
C. Różnica kwadratów dwu kolejnych liczb całkowitych nieparzystych jest podzielna przez 8 .
D. Jeżeli kwadrat liczby całkowitej dającej z dzielenia przez 3 resztę 2 , przy dzieleniu przez 3 daje
resztę 1 …
54. Wykaż , że dla dowolnych a , b , c  R zachodzą nierówności :
A.
a 2  b 2  2 ab
ab
 ab
2
ab
b
C. a  b  a 
2
B. a  0  b   
D. a.  0  b  0 
2
1 1

a b
 ab
E. a  0  b  0  
a b
 2
b a
F. a2 + b 2 + 2  2a  b
G. a  0  b  0  a  b 
1 1
 4
a b
H. a 2 + b 2 + c 2  ab  ac  bc
55. Liczby całkowite a , b , c przy dzieleniu przez 4 dają odpowiednio reszty 1 , 2 , 3 . Oblicz resztę z
dzielenia sumy kwadratów tych liczb przez 4 .
56. Znajdź resztę z dzielenia sumy kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych przez 3 .
57. Suma dwóch liczb naturalnych dodatnich wynosi 168 , a ich największy wspólny dzielnik wynosi 24 .
Znajdź te liczby .
58. Wyznacz pary liczb całkowitych x , y spełniających równania :
A. x 2 – y 2 = 1
B. xy – y + x + 1 = 0
C. xy – 2 y + x – 5 = 0
5