Edudu.pl - Liczby naturalne i całkowite. Twierdzenie o rozkładzie

Ściąga eksperta
Liczby naturalne i całkowite. Twierdzenie o rozkładzie liczby naturalnej na czynniki pierwsze.
Zbiór liczb naturalnych to zbiór N={0,1,2,3,…,itd.} czyli nieskończony zbiór liczb, których pierwszym elementem jest liczba 0, kolejne liczby są
większe od poprzedniej od 1.
Zbiór N+={1,2,3,…,itd.} nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Zbiór liczb naturalnych składa się z liczb pierwszych i złożonych.
Definicja liczby pierwszej
Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną n większą od 1, której jedynymi dzielnikami są 1 oraz n.
Definicja liczby złożonej
Liczbą złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną n większa od 1, która nie jest liczbą pierwszą.
Z powyższych definicji wynika, że liczby 0 raz 1 nie są liczbami pierwszymi ani liczbami złożonymi.
Zadanie: Znajdź wszystkie liczby pierwsze w przedziale od 1 do 50. Posłużymy się metoda zwaną „sitem Eratostenesa”.
W tabelce poniżej zostały wypisane wszystkie liczby naturalne z przedziału od 1 do 50.
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 1/3
Ściąga eksperta
Twierdzenie o rozkładzie liczby naturalnej na czynniki pierwsze.
Każdą liczbę naturalną większa od 1 można jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.
Inaczej mówiąc liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze.
Np.:
Zadanie: Rozłóż na czynniki pierwsze liczbę 105.
105 3 jest najmniejszą liczbą pierwszą która jest dzielnikiem 105, 105:3=35
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 2/3
Ściąga eksperta
35 5 jest najmniejszą liczbą pierwszą która jest dzielnikiem 35, 35:5=7
7 7 jest liczbą pierwszą, 7:7=1
1
105=3·5·7
Warto przypomnieć sobie cechy podzielności liczb naturalnych
Dowolna liczba naturalna jest:
podzielna przez 2 jeżeli jej ostatnia cyfra jest parzysta lub jest nią zero.
podzielna przez 3 jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3. podzielna przez 4 jeżeli jej dwie ostatnie cyfry są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez 4
podzielna przez 5 jeżeli jej ostatnia cyfra jest 0 lub 5.
podzielna przez 6 jeżeli jednocześnie jest podzielna przez 2 i 3
podzielna przez 8 jeżeli jej trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8.
jest podzielna przez 9 jeżeli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 9
Przykład: Liczba 25764
jest podzielna przez 2 bo jej cyfrą jedności jest 4 podzielne przez 2,
jest podzielna przez 3 bo suma jej cyfr 24 jest podzielna przez 3,
jest podzielna przez 4 bo jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 64 podzielną przez 4, 64:4=16,
jest podzielna przez 6 bo jest jednocześnie podzielna przez 2 i 3
Obliczanie największego wspólnego dzielnika oraz najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch liczb naturalnych
Zadanie:
Znajdź największy wspólny dzielnik liczb 28 i 48 co symbolicznie zapisujemy NWD(28,48)
Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze:
28=2·2·7
48=2·2·2·2·3
Wypisujemy wspólne czynniki obu liczb są to 2 i 2, jest to NWD.
2·2=4
Zatem NWD(28,48)=4
Znajdźmy najmniejsza wspólną wielokrotność NWW tych samych liczb.
Ponownie rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze:
28=2·2·7
48=2·2·2·2·3
Wypisujemy wszystkie czynniki pierwsze z rozkładu jednej z liczb np..28 i dopisujemy do nich te czynniki z rozkładu drugiej liczby 48 które nie
występują w rozkładzie 28 bądź też występują większa ilość razy:
2, 2,7,2,2,3
Najmniejsza wspólna wielokrotność to iloczyn tych liczb
2·2·7·2·2·3=336
co zapisujemy NWW(28,48)=336
Zbiór liczb całkowitych to zbiór C={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}. Jako C+ oznaczamy zbiór liczb całkowitych dodatnich i jest on równy zbiorowi liczb
naturalnych dodatnich tj. C+={1,2,3,..}=N+
Liczbę -10 nazywamy liczbą przeciwną do liczby 10 i odwrotnie liczba 10 jest liczbą przeciwną do liczby -10.
W zbiorach liczb całkowitych, wymiernych i niewymiernych dla każdej liczby istnieje liczba przeciwna. O zbiorach liczb wymiernych i
niewymiernych opowiem w kolejnych rozdziałach.
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
Strona 3/3