Liczby pierwsze

Matematyka dyskretna — ćwiczenia 10
Równania z kongruencjami
Stefan Sokołowski
Elbląg, 17 V 2013
Zadanie 0:
Policzyć bez użycia kalkulatora (i nie zaplątać się w wielkich liczbach) resztę z
dzielenia:
(a) 12133 + 48185 przez 9
(b) 2123456789 · 801234567 przez 3
(c) 201150 przez 6
(d) 2123456789 · 801234567 + 987654321 przez 11
Rozwiązanie:
Dla rozwiązania zadania 1(a) można wyliczyć 12133 + 48185 a następnie podzielić przez 9,
ale wtedy nie unikniemy wielkich liczb. Więc lepiej jest od razu liczyć reszty. Reszta z dzielenia liczby przez 9 jest równa reszcie z dzielenia jej sumy cyfr przez 9:
[1213]9 = [1 + 2 + 1 + 3]9 = [7]9
[12133 ]9 = [7 · 7 · 7]9 = [49 · 7]9 = [4 · 7]9 = [28]9 = [1]9
[4818]9 = [4 + 8 + 1 + 8]9 = [21]9 = [2 + 1]9 = [3]9
[48185 ]9 = [35 ]9 = [27 · 9]9 = [0]9
[12133 + 48185]9 = [1 + 0]9 = [1]9
Dlatego resztą z dzielenia liczby 12133 + 48185 przez 9 jest 1.
Pozostałe punkty tego zadania można rozwiązać analogicznie.
Zadanie 1:
Wyznaczyć zbiory:
(a) [1019932]997 ∩ {0, 1, 2, . . . , 996}
(b) [−1019932]997 ∩ {0, 1, 2, . . . , 996}
1
Zadanie 2:
Wyznaczyć dwie ostatnie cyfry liczb:
(a) 22013 + 32014
(b) 243 112 609 − 1
Zadanie 3:
Rozwiązać równanie
2912x ≡3060 284
(1)
Rozwiązanie:
Najpierw policzmy największy wspólny dzielnik 2912 i 3060:
nwd(3060, 2912) = nwd(2912, 148) = nwd(148, 100)
= nwd(100, 48) = nwd(48, 4) = 4
Ponieważ jest on dzielnikiem wyrazu wolnego 284, więc zamiast równania (1) możemy
rozwiązywać równanie
284
2912
· x ≡ 3060
4
4
4
(2)
czyli
728 · x ≡765 71
Przedstawmy 1 jako kombinację liniową liczb 728 i 765 (algorytm Euklidesa):
765 · (−59) + 728 · 62 = 1
stąd
765 · (−59) · 71 + 728 · 62 · 71 = 71
i
728 · 62 · 71 ≡765 71
Rozwiązaniem równania (2) jest więc
62 · 71 = 4402 ≡765 577
Wszystkie rozwiązania są postaci 577 + k · 765 dla dowolnych k ∈ Z.
2
Zadanie 4:
Znaleźć wszystkie takie liczby x, że
(a) 5x ≡7 4
(c) 7x ≡11 2
(e) 35x ≡79 3
(b) 4x ≡8 5
(d) 96x ≡324 84
(f) 99x ≡13 12
Zadanie 5:
Rozwiązać układy równań w Z11 :
(a)
(
2x + 3y = 1
6x + 5y = 5
(b)
(
5x + 2y = 3
6x + 4y = 3
Zadanie 6:
Skonstruować tabelkę dodawania oraz tabelkę mnożenia dla pozycyjnego układu liczenia o podstawie:
(a) 5
(b) 7
3