1. liczby zespolone

1. LICZBY ZESPOLONE
Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci
z = a + bi
gdzie i jest jednostką urojoną natomiast a, b  R przy czym
i 2  1 ,
a = Rez – część rzeczywista liczby z,
b = Imz – część urojona liczby z.
Liczba
z  a  bi
nazywa się liczbą sprzężoną do liczby z = a + bi.
1.1. Działania na liczbach zespolonych
Dodawanie oraz mnożenie liczb zespolonych definiuje się
następująco
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi)(c + di) = (ac  bd) + (ad + bd)i
Przykłady
Obliczyć (3  2i) + (4 + 6i),
Rozwiązanie (32i)+(4+6i) = (3 + 4) + (2 + 6)i = 7 + 4i
Obliczyć (1  3i)(2 + 5i),
Rozwiązanie (1  3i)(2 + 5i) = 2 + 5i  6i +15 = 17  i,
1.1
4  2i
Obliczyć
.
1  2i
Ropzwiązanie:
Aby otrzymać iloraz dwóch liczb zespolonych w postaci a + bi
należy pomnożyć licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do
mianownika. Zatem
4  2i 4  2i 1  2i  8  6i 8 6


  i.
1  2i 1  2i 1  2i 
5
5 5
1.2. Interpretacja geometryczna, postać trygonometryczna oraz
wykładnicza liczby zespolonej
Liczbę zespoloną z = a + bi można utożsamić z punktem o
współrzędnych (a, b) na płaszczyźnie prostokątnego układu
współrzędnych.
Modułem lub wartością bezwzględną liczby z = a + bi nazywamy
z  a 2  b2 .
Argumentem liczby z = a + bi  0 nazywamy taką liczbę
 = arg z,
dla której
cos  
a
b
, sin  
z
z
,
jeśli przy tym  <    to nazywamy go argumentem głównym
liczby i oznaczamy Arg z.
Argumentem zera jest dowolna liczba rzeczywista.
1.2
Każda liczba zespolona z = a + bi daje się przedstawić w postaci
trygonometrycznej
z  z cos  i sin  
Każdą liczbę zespoloną z  z cos  i sin   można przedstawić w
postaci wykładniczej
z  z ei .
Przykład
Wyznaczyć moduły oraz sprzężenia liczb zespolonych:
a) 3 + 2i ,
b)1i,
c)  6.
Rozwiązanie
a)
z  32  2 2  13, z  3  2i ,
2
z

1
  1  2 , z  1  i ,
b)
2
c)
z 
 62  0 2
 36  6, z  6 . 
Przykład
Przedstawić w postaci trygonometrycznej oraz wykładniczej liczby
a) 1 + i,
Wyznaczamy dla liczby z = 1 + i kolejno:
z  12  12  2 ,
cos  
1
2


2
1
2


sin  

2 ,
2 skąd
4 czyli
2

i



4
1  i  2  cos  i sin   2e ,
4
4

1.3
b)
1
3

i,
2 2
1
3

i kolejno:
Wyznaczamy dla liczby
2 2
2
2
 1   3 
z    
 1  1,
 2   2 

1
3



sin



skąd
3 czyli
2,
2

 i
1
3
 
 

i  cos    i sin     e 3
2 2
 3
 3
cos  
c) 3.
Rozwiązanie: Wyznaczamy dla liczby z = 3 kolejno:
z 
 32
 3,
cos   1 , sin   0 skąd
 
czyli
 3  3cos   i sin    3ei . 
1.3. Wzór Moivre’a
Dla każdej liczby zespolonej zachodzi wzór Moivre’a
 z cos   i sin   
n
 z
n
cos n  i sin n 
Przykład : Obliczyć (1 + i)10
Rozwiązanie: Wykorzystując wyniki przykładu a) mamy



1  i  2  cos  i sin  .
4
4

Zatem
1.4
1  i 
10

 
 
  2  cos  i sin 
4
4 
 
10

 2
10
10
10

 i sin
 cos
4
4



 25  cos  i sin   32i . 
2
2




1.4. Pierwiastki z liczb zespolonych
Istnieje dokładnie n różnych pierwiastków n-tego stopnia z
liczby zespolonej z  z cos   i sin    0 . Pierwiastki te mają postać:
  2k
  2k 

wk  n z  cos
 i sin
,
n
n


gdzie k = 0, 1, ..., n  1, natomiast
n
z
jest pierwiastkiem
arytmetycznym z liczby rzeczywistej z .
Przykład: Rozwiązać równanie z3 = 8.
Rozwiązanie: Rozwiązanie sprowadza się do wyznaczenia
Ponieważ
zatem
8  8,   arg8  0 ,
0
0

w0  3 8  cos  i sin   2 ,
3
3

0  2
0  2 

w1  3 8  cos

3
 i sin
3
  1  3i ,

0  4
0  4 

w2  3 8  cos
 i sin
  1  3i . 
3
3


1.5
3
8.
1.5. Rozwiązywanie równań kwadratowych
Pierwiastkami równania
az2+bz+c=0
są liczby
z1 
b 
b 
, z2 
,
2a
2a
2
gdzie   b  4ac .
Przykład: Rozwiązać równanie
z2 + 2z + 4 = 0.
Rozwiązanie: Obliczamy kolejno
  2 2  4  1  4  12 ,
 2   12
 2  2 3i

 1  3i ,
2
2
.
 2   12
z2 
 1  3i
2
z1 
Zadania
1.1. Wykonać działania:
a) (4  i) + ( 3 + 3i) , b) (2 + i)  (5  7i) , c) (8i  4)  (9  10i)
d) (4  i)( 3 + 3i),

g) 6  5i

7
e) (2 + i)(5  7i) ,
f) (8i  4)(9  10i) ,
 3  2i
j)  1  i .

6  2i
1 i
3i , h)
, i)
,
1 i
6 i
1.2. Znaleźć liczby rzeczywiste a i b spełniające równanie:
a) a(4  i) + b( 3 + 3i) = 5  i,
b) a(2 + i)  b(5  7i) = 1,
c) (4  ai)( 3 + bi) = i,
d) 1  i  1  i  0 .
a
1.6
b
1.3. Wyznaczyć moduły oraz sprzężenia liczb zespolonych:
b ) 3  4i ,
a) 2 + i ,
c) 4 ,
d) 5i ,
e) 6  5i .
1.4. Udowodnić, że dla dowolnych liczb zespolonych z1 i z2:
a) z1  z 2  z1  z 2 ,
b) z1  z 2  z1  z 2 ,
 z1  z1
c)  z   z gdzie z2  0,
 2
2
d) z1  z 2  z1  z 2 ,
e) z1  z 2  z1  z 2 .
1.5. Przedstawić w postaci trygonometrycznej oraz
wykładniczej liczby zespolone:
a) 6,
b)  4,
c) 2i,
d) 5i,
e) 2 + 2i,
f) 44i,
g) 1 3i ,
h)  3  i ,
i) sin  icos.
1.6. Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiory liczb
spełniających warunki:
a) Rez < 2,
b) Imz > 3,
c) Rez = Imz,
d) 0  Argz  ,
e) |z| = 3,
f) |z|  3,
g) |z  2 + i| = 4,
h) 1 < |z  2 + i|  2,
i) Im(z  2) >1 oraz |z  2 + i|<6.
1.7. Udowodnić, że:
a) Arg(z1z2) = Arg(z1) + Arg(z2),
b)
Arg
z1
z2
= Arg(z1)  Arg(z2) , gdzie z2  0.
1.7
1.8. Obliczyć:
a) (1 + i)n dla n = 2, 3, 4, 5,
d)

3 i
,
b) (1  i)10 ,

c) 1  3i

12
,
1  i n
e)
1  i n2 dla n=1, 2, 3, 4.
8
1.9. Wykorzystując wzór de Moivre’a wyprowadzić wzór na:
a) sin2 ,
b) cos2 ,
c) sin3 ,
d) cos3.
1.10. Obliczyć oraz zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej
pierwiastki:
a)
d)
i
3
,
8
b)
,
e)
4
4
1 i
16
,
,
c)
f)
3
6
3i
,
1.
1.11.Rozwiązać równania:
a) z3  1 = 0 , b) z4  1 = 0 ,
c) z4  i = 0 ,
d) z4 + 1 + i = 0.
1.12. Rozwiązać równania:
a) z2  4z + 13 = 0,
b)  z2 + 10z  29 = 0,
c) z2 + 8z +17 = 0,
d) z2 + 2iz  5 = 0,
e) z2 + 2iz + 3 = 0,
f) 2z2 + z + 4 = 0.
1.13. Rozwiązać równania:
a) z4  3z2  4 = 0,
b) z4 + 8z2 + 15 = 0,
c) z4  3iz2 + 4 = 0,
d) 2z4  3z2 + 1 = 0.
1.8