O przekątnych wielokątów foremnych

O PRZEKĄTNYCH WIELOKĄTÓW FOREMNYCH
Wojciech Guzicki
Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
TRZY PRZEKĄTNE DWUNASTOKĄTA FOREMNEGO
A12
A11
A1
Twierdzenie. Przekątne
A10
A2
A1 A8 ,
P
A9
A3
A3 A11
i
A5 A12
dwunastokąta foremnego
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12
A8
A4
przecinają się w jednym punkcie P .
A7
A5
A6
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
WSZYSTKIE PRZEKĄTNE DWUNASTOKĄTA FOREMNEGO
A12
A11
A1
A10
A2
A9
A3
A8
A4
A7
A5
A6
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
TRZY PRZEKĄTNE OSIEMNASTOKĄTA FOREMNEGO
A17 A18
A1
A16
A2
A15
Twierdzenie. Przekątne
A3
A1 A7 ,
P
A14
A2 A11
i
A4 A17
A4
osiemnastokąta foremnego
A13
A5
A1 A2 A3 . . . A16 A17 A18
A12
A6
A11
A7
A10
A9
przecinają się w jednym punkcie P .
A8
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
WSZYSTKIE PRZEKĄTNE OSIEMNASTOKĄTA FOREMNEGO
A17
A18
A1
A16
A2
A15
A3
A14
A4
A13
A5
A12
A6
A11
A7
A10
A9
A8
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
WSZYSTKIE PRZEKĄTNE PIĘTNASTOKĄTA FOREMNEGO
A15
A14
A1
A13
A2
A12
A3
A11
A4
A10
A5
A9
A6
A8
A7
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
WSZYSTKIE PRZEKĄTNE PIĘTNASTOKĄTA FOREMNEGO
A15
A1
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
WSZYSTKIE PRZEKĄTNE DWUDZIESTOTRZYKĄTA FOREMNEGO
A22 A23
A1
A21
A2
A20
A3
A19
A4
A18
A5
A17
A6
A16
A7
A15
A8
A14
A9
A13
A12 A11
A10
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
WSZYSTKIE PRZEKĄTNE DWUDZIESTOTRZYKĄTA FOREMNEGO
A23
A1
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
A23
A1
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
ZADANIE O TRÓJKĄCIE 80◦ − 80◦ − 20◦
Zadanie. Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym:
C
∡A = ∡B = 80◦
W tym trójkącie poprowadzono odcinki AD i BE tak, że
20◦
∡BAD = 50◦
oraz ∡ABE = 60◦
(zob. rysunek). Oblicz miarę kąta BED.
E
?
D
50◦
A
oraz ∡C = 20◦ .
60◦
B
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
ROZWIĄZANIE ZADANIA O TRÓJKĄCIE 80◦ − 80◦ − 20◦
Oznaczmy przez x szukany kąt BED. Nietrudno obliczyć, że
C
∡ADB = 50◦
oraz ∡AEB = 40◦ .
Stąd wynika w szczególności, że AB = BD. Następnie z twierdzenia sinusów dla trójkątów ABE i BDE otrzymujemy:
20◦
BE
AB
=
sin 80◦
sin 40◦
E
oraz
BE
BD
=
.
sin(x + 20◦ )
sin x
Ponieważ AB = BD, więc
?
sin(x + 20◦ )
sin 80◦
=
,
sin x
sin 40◦
D
czyli
50
A
◦
60
◦
B
sin x cos 20◦ + cos x sin 20◦
2 sin 40◦ cos 40◦
=
.
sin x
sin 40◦
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
ROZWIĄZANIE RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNEGO
Otrzymaliśmy równanie trygonometryczne:
2 sin 40◦ cos 40◦
sin x cos 20◦ + cos x sin 20◦
=
,
sin x
sin 40◦
czyli
cos 20◦ + ctg x sin 20◦ = 2 cos 40◦ .
Stąd otrzymujemy
2 cos 40◦ − cos 20◦
2 sin 50◦ − sin 70◦
sin 50◦ + sin 50◦ − sin 70◦
ctg x =
=
=
=
sin 20◦
sin 20◦
sin 20◦
sin 50◦ − sin 10◦
2 sin 20◦ cos 30◦ √
sin 50◦ − 2 sin 10◦ cos 60◦
=
=
= 3.
=
sin 20◦
sin 20◦
sin 20◦
Zatem x = 30◦ .
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
KĄTY ŚRODKOWE I WPISANE; KĄT MIĘDZY PRZEKĄTNYMI
W OSIEMNASTOKĄCIE FOREMNYM
A17
A18
A1
A16
A2
A15
A3
Kąt środkowy oparty na łuku łączącym dwa kolejne wierzchołki osiemnastokąta foremnego wpisanego w okrąg
(np. kąt A1 OA2 ) jest równy
360◦ : 18 = 20◦ .
20◦
A14
A4
120◦
O
A13
A5
A12
A6
60◦
A11
A7
A10
A9
Kąt środkowy oparty na łuku k razy
większym jest równy k · 20◦ , np.
∡A11 OA17 = 120◦ .
Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy
od kąta środkowego opartego na tym
samym łuku. Zatem np.
A8
Warszawa, 4 marca 2010 r.
∡A11 A7 A17 = 60◦ .
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
ROZWIĄZANIE ZADANIA O TRÓJKĄCIE 80◦ − 80◦ − 20◦
Niech A = A11 oraz B = A7 .
Niech C będzie punktem przecięcia prostych A17 A i A1 B.
Zauważmy, że wtedy
C
∡BAA17 = ABA1 = 80◦ ,
E=A17
A16
A18
A1
A2
A15
D
A3
A14
A4
A13
A5
A12
A6
A=A11
B=A7
A10
A9
A8
a więc trójkąt ABC jest trójkątem danym w zadaniu.
Ponieważ ∡ABA17 = 60◦ , więc A17 = E.
Ponieważ ∡BAA2 = 50◦ , więc punkt D jest punktem
przecięcia przekątnych A11 A2 i A7 A1 .
Pokażemy, że przekątne osiemnastokąta
A1 A7 ,
A2 A11
i
A4 A17
przecinają się w jednym punkcie. Wówczas
∡BED = ∡A7 A17 A4 = 30◦ .
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
PRZEKĄTNE SZEŚCIOKĄTA WPISANEGO W OKRĄG
Twierdzenie 2. Przekątne AD, BE i CF sześciokąta ABCDEF wpisanego w okrąg przecinają się w jednym punkcie P wtedy i tylko
wtedy, gdy
D
E
AB CD EF
·
·
= 1.
BC DE F A
P
F
A
C
B
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
DŁUGOŚCI PRZEKĄTNYCH
1≤k≤
17
16
18
n
2
1
17
2
d2
1
2
16
3
15
18
14
3
15
4
14
d7
13
5
12
6
d2
11
10
9
7
d9
13
5
d3
12
11
8
dk = dn−k
Warszawa, 4 marca 2010 r.
6
7
10
n
<k<n:
2
4
d5
9
8
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
TRZY PRZEKĄTNE WIELOKĄTA FOREMNEGO
E
dv
D
dl
dm
C
Twierdzenie. Przekątne AD, BE i CF
wielokąta foremnego ABCDEF przecinają się w jednym punkcie P wtedy i tylko wtedy, gdy
dk dl dm
·
·
= 1,
du dv dw
du
czyli
F
dw
dk · dl · dm = du · dv · dw .
dk
A
B
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
KONFIGURACJE TRYWIALNE
Przypuśćmy, że tak jak wyżej, AD, BE i CF są przekątnymi sześciokąta ABCDEF
wpisanego w okrąg, przy czym
AB = dk ,
BC = du ,
CD = dl ,
DE = dv ,
EF = dm ,
F A = dw
oraz
dk · dl · dm = du · dv · dw .
Konfigurację przekątnych nazywamy trywialną, gdy liczby u, v, w tworzą permutację
liczb k, l, m.
Istnieją trzy rodzaje konfiguracji trywialnych powstających z następujących permutacji:
• u = m, v = k, w = l;
• u = k, v = m, w = l;
• u = k, v = l, w = m.
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
PIERWSZA KONFIGURACJA TRYWIALNA
E
D
dk
dm
F
n = 48,
k = 4,
l = 13,
m = 7.
dl
dl
u = m,
dm
dk
C
v = k,
w = l.
Trzy średnice przecinające się
w środku okręgu
A
B
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
DRUGA KONFIGURACJA TRYWIALNA
E
dm
F
dm
D
n = 48,
dl
dl
dk
u = k,
l = 13,
v = m,
m = 7.
w = l.
Przekątne symetryczne przecinające się
na osi symetrii (średnicy)
dk
A
k = 4,
C
B
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
TRZECIA KONFIGURACJA TRYWIALNA
E
dl
D
dm
n = 48,
F
dl
k = 4,
u = k,
l = 13,
v = l,
m = 7.
w = m.
dm
Dwusieczne kątów trójkąta ACE
A dk
B
dk C
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
TRZY PRZEKĄTNE DWUNASTOKĄTA FOREMNEGO
A12
A11
A1
Przekątne
A10
A2
A1 A8 ,
A9
A3
A3 A11
i
A5 A12
dwunastokąta foremnego
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12
A8
A4
są dwusiecznymi kątów trójkąta A1 A5 A11 .
A7
A5
A6
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
TRZY PRZEKĄTNE OSIEMNASTOKĄTA FOREMNEGO
Twierdzenie. Przekątne
A17
A18
A1 A7 ,
A1
A16
A15
A3
P
A4
A13
A5
A12
A6
A11
A7
A10
A9
i A4 A17
osiemnastokąta foremnego
A2
A14
A2 A11
A1 A2 A3 . . . A16 A17 A18
przecinają się w jednym punkcie P .
Dowód. Niech P będzie punktem przecięcia przekątnych A2 A11 i A1 A7 . Zauważmy, że przekątna
A2 A11 jest osią symetrii osiemnastokąta foremnego. Przekątną symetryczną do A1 A7 jest A3 A15 .
Wystarczy zatem pokazać, że przekątne
A8
A1 A7 ,
A3 A15
i A4 A17
przecinają się w jednym punkcie.
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
TRZY NOWE PRZEKĄTNE OSIEMNASTOKĄTA FOREMNEGO
Mamy pokazać, że przekątne
A17 A18
A1 A7 ,
A1
A16
A2
A15
A3 A15
i A4 A17
osiemnastokąta foremnego
A3
A1 A2 A3 . . . A16 A17 A18
P
A14
A4
przecinają się w jednym punkcie P .
A13
A5
A12
Do tego wystarczy, by
A6
A11
d8 d1 d2
·
·
= 1,
d3 d2 d2
A7
A10
A9
A8
czyli
d8 · d1 = d3 · d2 .
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
LEMAT O DELTOIDZIE
A17
A18
A1
Mamy pokazać, że:
d8 · d1 = d3 · d2 .
Niech r będzie promieniem okręgu opisanego na
osiemnastokącie. Nietrudno zauważyć, że wtedy
r = d3 . Mamy więc pokazać, że
d8 · d1 = r · d2 .
O
Weźmy deltoid A18 A17 A9 A1 . Wówczas jego pole
jest równe
P =
1
2
· A18 A9 · A17 A1 =
1
2
· 2r · d2 = r · d2 .
Z drugiej strony kąty A18 A17 A9 i A18 A1 A9 są
proste, skąd wynika, że
A9
P = 12 ·(A18 A17 ·A17 A9 +A18 A1 ·A1 A9 ) = d8 ·d1 ,
co kończy dowód.
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
LEMAT O DELTOIDZIE – OGÓLNIE
A2n
A2n−k
Ak
Twierdzenie. Dany jest wielokąt foremny mający 2n boków wpisany w okrąg o promieniu r
i dana jest liczba k taka, że 1 ≤ k < n2 . Wtedy
dk · dn−k = d2k · r.
An
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
TWIERDZENIE O PRZEKĄTNYCH WIELOKĄTÓW FOREMNYCH
Niech n będzie liczbą boków wielokąta foremnego. Wówczas:
1. Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to żadne trzy przekątne nie przecinają się w jednym
punkcie.
2. Jeśli n jest liczbą parzystą, niepodzielną przez 6, to istnieją tylko konfiguracje
trywialne przekątnych przecinających się w jednym punkcie.
3. Jeśli n jest liczbą podzielną przez 6, to oprócz konfiguracji trywialnych istnieją 4
serie konfiguracji nietrywialnych oraz 65 tzw. konfiguracji sporadycznych.
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
CZTERY SERIE KONFIGURACJI NIETRYWIALNYCH
Dany jest wielokąt foremny mający 6n boków. Następujące równości opisują cztery serie
konfiguracji nietrywialnych:
• dn · dk · d2n−2k = d2n+k · dk · dn−k ,
gdzie 0 < k < n,
• dn · dk · d3n−3k = dn+k · d2k · dn−k ,
gdzie 0 < k < n,
• dn · dn−2k · d2k = d3n+k · dk · dn−2k ,
gdzie 0 < k <
• d2n+k · dk · d2n−4k = dn+k · d3k · dn−2k ,
n
2,
gdzie 0 < k <
Warszawa, 4 marca 2010 r.
n
2.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
TRZY PRZEKĄTNE OSIEMNASTOKĄTA FOREMNEGO
Twierdzenie. Przekątne
A17 A18
A1 A7 ,
A1
A16
A1 A2 A3 . . . A16 A17 A18
A3
P
A14
A4
A13
A5
A12
A6
A11
przecinają się w jednym punkcie P .
Dowód. Jest to konfiguracja nietrywialna II serii.
Wielokąt foremny mający 6n boków, 0 < k < n.
dn · dk · d3n−3k = dn+k · d2k · dn−k .
Dla n = 3 i k = 1 dostajemy
A7
A10
A9
A8
i A4 A17
osiemnastokąta foremnego
A2
A15
A2 A11
czyli
d3 · d1 · d6 = d4 · d2 · d2 ,
d6 d3 d1
·
·
= 1.
d4 d2 d2
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
CZTERY SERIE KONFIGURACJI NIETRYWIALNYCH
W TRZYDZIESTOKĄCIE FOREMNYM
Nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6n
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
k
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
2
l
4
3
3
4
5
5
6
8
3
2
6
2
m
11
12
13
14
12
9
8
9
16
17
11
12
u
1
2
3
2
2
3
3
3
2
1
3
1
v
5
5
4
4
4
4
5
4
3
4
3
6
w
8
6
5
5
6
7
6
5
5
5
6
7
6n jest liczbą boków wielokąta
dk · dl · dm = du · dv · dw .
k + l + m + u + v + w = 6n.
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
PRZYKŁADY KONFIGURACJI NIETRYWIALNYCH – I
30
1
30
2
1
3
6
24
8
22
11
12
Seria I; n = 5, k = 1
d1 · d4 · d11 = d1 · d5 · d8
Seria II; n = 5, k = 1
d1 · d5 · d12 = d2 · d4 · d6
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
PRZYKŁADY KONFIGURACJI NIETRYWIALNYCH – II
30
30
1
1
3
4
25
6
24
9
10
13
Seria III; n = 5, k = 1
d1 · d3 · d16 = d2 · d3 · d5
Seria IV; n = 5, k = 1
d1 · d6 · d11 = d3 · d3 · d6
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
KONFIGURACJE SPORADYCZNE – I
Nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6n
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
k
3
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
l
4
2
7
3
2
5
4
5
1
7
5
3
2
m
9
14
8
14
19
8
11
13
21
9
11
13
16
u
4
2
2
2
2
3
3
3
1
2
2
1
1
v
5
3
3
2
3
3
5
4
2
4
3
4
3
w
5
7
9
8
3
9
5
4
4
7
8
8
7
Nr
14
15
16
17
18
19
6n
42
42
42
42
42
42
Warszawa, 4 marca 2010 r.
k
3
2
1
1
1
1
l
5
8
9
7
7
2
m
15
13
15
19
13
26
u
4
3
2
3
2
1
v
5
7
7
4
3
3
w
10
9
8
8
16
9
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
KONFIGURACJE SPORADYCZNE – II
Nr
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
6n
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
k
3
3
3
1
1
1
5
5
4
3
3
l
5
5
5
16
13
13
10
8
11
11
6
m
29
27
25
18
27
25
17
19
13
18
23
u
4
4
3
3
5
3
8
6
5
5
4
v
6
5
6
5
6
8
9
9
6
7
5
w
13
16
18
17
8
10
11
13
21
16
19
Nr
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
6n
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
Warszawa, 4 marca 2010 r.
k
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
l
7
5
3
18
16
14
13
10
10
8
6
m
19
35
33
21
23
25
22
31
25
27
31
u
3
4
2
5
5
4
3
4
3
2
2
v
4
6
4
7
6
7
5
6
4
5
4
w
25
8
16
8
9
9
16
8
17
17
16
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
KONFIGURACJE SPORADYCZNE – III
Nr
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
6n
84
84
84
84
84
84
84
84
90
90
90
90
k
7
6
4
2
1
1
1
1
5
2
1
1
l
18
11
13
7
25
20
18
14
13
19
23
17
m
19
23
23
49
30
35
37
43
35
32
31
47
u
11
7
6
4
5
5
4
4
11
5
4
5
v
13
8
7
6
7
6
7
6
12
9
6
8
w
16
29
31
16
16
17
17
16
14
23
25
12
Nr
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
6n
120
120
120
120
120
120
120
120
210
210
210
210
Warszawa, 4 marca 2010 r.
k
13
10
6
2
1
1
1
1
14
13
6
1
l
18
19
23
13
42
36
32
26
41
21
28
45
m
31
29
29
73
43
49
53
61
48
83
97
121
u
16
12
8
6
7
7
6
6
15
15
15
11
v
19
13
13
10
11
10
11
10
31
24
17
14
w
23
37
41
16
16
17
17
16
61
54
47
18
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
PRZYKŁAD KONFIGURACJI SPORADYCZNEJ
30
1
3
21
10
13
d1 · d7 · d8 = d2 · d3 · d9
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
NOWE ZADANIE O TRÓJKĄCIE
Zadanie. Dany jest trójkąt ABC, w którym:
C
∡A = 70◦ ,
∡B = 84◦
oraz ∡C = 26◦ .
W tym trójkącie poprowadzono odcinki AD
i BE tak, że
∡BAD = 22◦
(zob. rysunek). Oblicz miarę kąta BED.
E
D
A
oraz ∡ABE = 46◦
B
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
NOWE ZADANIE O TRÓJKĄCIE
Zadanie. Dany jest trójkąt ABC, w którym:
∡A = 70◦ ,
∡B = 84◦
oraz ∡C = 26◦ .
W tym trójkącie poprowadzono odcinki AD
i BE tak, że
A84
A13
∡BAD = 22◦
A18
D
oraz ∡ABE = 46◦
(zob. rysunek). Oblicz miarę kąta BED.
A20
Rozwiązanie. Wystarczy zauważyć, że
d32 · d9 · d2 = d5 · d19 · d23
A61
A29
(konfiguracja sporadyczna nr 51 w 90-kącie foremnym). Wówczas
∡BED = ∡A29 A84 A20 = 18◦ .
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
LICZBY ZESPOLONE
a + bi,
gdzie i2 = −1.
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
b
a + bi
a
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
PIERWIASTKI Z JEDNOŚCI
Liczby 1, z, z 2 , . . . , z n−1 są pierwiastkami równania z n = 1.
Na rysunku n = 17:
z5
z
z4
6
z3
z2
z7
z
z8
1
z9
z 16
z 10
z 15
z 11
z
12
z
13
z 14
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
Lemat algebraiczny.
Niech n będzie liczbą nieparzystą i niech 1, z, z 2 , . . . , z n−1 będą pierwiastkami stopnia
n z jedności (tzn. pierwiastkami równania z n = 1). Niech następnie W (X) i V (X)
będą takimi wielomianami o współczynnikach całkowitych, że W (z) = V (z). Wtedy
W (z 2 ) = V (z 2 ).
Lemat geometryczny.
Liczby zespolone z, t, v i u leżą na okręgu jednostkowym. Wówczas odcinek o końcach
z i t jest równoległy do odcinka o końcach u i v wtedy i tylko wtedy, gdy zt = uv.
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
Twierdzenie. Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to żadne trzy przekątne n-kąta foremnego
nie przecinają się w jednym punkcie.
Szkic dowodu. Przypuśćmy, że przekątne o końcach 1 i z r , z s i z t oraz z u i z v przecinają
się w jednym punkcie:
z
r
zu
zs
zt
z
1
zv
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
Można wówczas udowodnić, że zachodzi równość:
(z s − 1)(z t − 1)(z u+v−r − 1) = (z u − 1)(z v − 1)(z s+t−r − 1).
(1)
Definiujemy dwa wielomiany:
A(X) = (X s − 1)(X t − 1)(X u+v−r − 1),
B(X) = (X u − 1)(X v − 1)(X s+t−r − 1).
Wtedy
A(z) = B(z).
Z lematu algebraicznego wynika, że
A(z 2 ) = B(z 2 )
i stąd
A(z 2 )
B(z 2 )
=
,
A(z)
B(z)
czyli
(z s + 1)(z t + 1)(z u+v−r + 1) = (z u + 1)(z v + 1)(z s+t−r + 1).
Warszawa, 4 marca 2010 r.
(2)
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
Dodajemy równości (1) i (2), korzystając z tożsamości
(a + 1)(b + 1)(c + 1) + (a − 1)(b − 1)(c − 1) = 2(abc + a + b + c).
Otrzymujemy
z s + z t + z u+v−r = z u + z v + z s+t−r
i stąd
(z u − z r )(z v − z r ) = (z s − z r )(z t − z r ).
Definiujemy następne wielomiany:
C(X) = (X u − X r )(X v − X r ),
D(X) = (X s − X r )(X t − X r ).
Mamy wówczas
C(z) = D(z).
Znów korzystamy z lematu algebraicznego, otrzymując kolejno:
C(z 2 ) = D(z 2 ),
C(z 2 )
D(z 2 )
=
,
C(z)
D(z)
(z u + z r )(z v + z r ) = (z s + z r )(z t + z r ).
Warszawa, 4 marca 2010 r.
(3)
(4)
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
Dodajemy stronami równości (3) i (4), otrzymując
2z u z v + 2z r z r = 2z s z t + 2z r z r ,
czyli
zuzv = zszt.
Z lematu geometrycznego wynika, że odcinki o końcach z u i z v oraz z s i z t są równoległe,
wbrew założeniu, że przecinają się w punkcie P . Ta sprzeczność pokazuje, że wybrane
trzy przekątne nie mogły przecinać się w jednym punkcie, co kończy dowód twierdzenia.
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
BIBLIOGRAFIA
[P] V. V. Prasolov, Intersection Points of the Diagonals of Regular Polygons, w: Essays
on Number and Figures
http://www.ams.org/bookstore/pspdf/mawrld-16-prev.pdf
[R] T. Rike, An Intriguing Geometry Problem, Berkeley Math Circle
http://mathcircle.berkeley.edu/BMC4/Handouts/geoprob.pdf
[PR] B. Poonen, M. Rubinstein, The Number of Intersection Points Made by the Diagonals of a Regular Polygon,
www-math.mit.edu/~poonen/papers/ngon.ps
http://www.math.uwaterloo.ca/~mrubinst/publications/ngon.pdf
http://arxiv.org/PS cache/math/pdf/9508/9508209v3.pdf
www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/SEQUENCES/regular-n-gon.ps
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.36.137
W obu ostatnich pracach znajduje się obszerna bibliografia. Wiele prac można znaleźć
w Internecie.
Warszawa, 4 marca 2010 r.
W. Guzicki
O przekątnych wielokątów foremnych
BIBLIOGRAFIA - ciąg dalszy
[C] The 80-80-20 Triangle, Cut-the-Knot
http://www.cut-the-knot.org/triangle/80-80-20/index.shtml
[K] C. Knop, Nine Solutions to One Problem, Kvant, 1993, no 6
K.Knop, Istori s geometrie, ili devtь rexeni odno zadaqi
http://kvant.mirror1.mccme.ru/
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1993/06/istoriya s geometriej.htm
[L] S. M. R. Lopes, Complexidade em geometria euclidiana plana, praca magisterska,
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
http://www.mat.puc-rio.br/~hjbortol/complexidade/
complexidade-em-geometria.pdf
Warszawa, 4 marca 2010 r.
KONIEC